LIVRE NEUVIÈME. l

D’un rayon égal à Vu, et en prenant successivement pour centres les points i , a, 3, 4, etc., décrive* des arcs qui coupent successivement la plus petite circonférence aux points 1 , 2 , 3 , 4, etc. , jusqu’à la fin.

Les cordes du cercle intérieur, ou les dis-r tances de u à 1 , de 1 à a, de a à 3, de 5 à 4, etc., seront les côtés ab, ac , bc , çd, etc. , de la nouvelle figure que l’on construira triangle par triangle; avec la distance du point v au point 1 , on déterminera les deux points a et b; des centres a et b , et avec la seconde et la troisième distance , prise dans le cercle intérieur ( la seconde du point 1 au point a , et la troisième du point a au point 3) , décrivez deux arcs qui se coupenten c ; des contres c et a, et avec les distances quatrième et cinquième, prises dans le cercle intérieur (la quatrième de 3 à 4, et la cinquième de 4 à 5) , décrivez deux arcs qui se coupent en d ; on déterminera de la même manière les points e et f, et la figure sera construite.

Démonstration. Les cordes du cercle intérieur sont aux cordes homologues du cercle extérieur, comme le rayon Ov est au rayon O V (93) , ou comme y / 2 est à y/5 : donc tous les côtés des triangles de la figure a b ce/d, et les

i5o géométbie du compas.

cotés homologues des triangles de la figure A B CE F D sont dans le même rapport; donc les triangles des deux figures sont équiangles entre eux , et par conséquent semblables (5 , liv. 6 , déf i ) ; donc les deux mêmes figures polygones sont semblables ( 20 , liv. 6) , et les surfaces étant entre elles comme les carrés des côtés homologues , la surface du polygone abcef d sera à celle du polygone ABCEFD , comme 2 est a 5 ; donc la surface de la plus petite des deux figures sera à celle de la plus grande , comme 2 est à 5.

D’après cet exemple , il est facile de voir la méthode à suivre pour résoudre le problème , quel que soit le rapport qu’on propose d’étahlir entre la surface de la figure à construire et celle de la figure donnée.

On décrira deux circonférences v et V avec des rayons qui soient entre eux comme les racines des nombres qui expriment le rapport des surfaces ; sur celle des deux circonférences qui correspond à la figure donnée, on portera successivement comme cordes les côtés des triangles dans lesquels cette figure est supposée divisée. On déterminera , par la méthode ci-r dessus exposée , dans l’autre circonférence, des cordes proportionnelles qui seront les côtés