LIVRE VII

rétoudre le premier cas , et qu’il s’agisse de résoudre le siiiéme.

Oii construira un Irièdre qui ait pour faces A'= 180— o, B'= 180—1».

C'= 180 - c ; soient a', b', c' les dièdres opposés que nous supposerons trouvés. On aura aussi (1. 5, p. 28}

A =180— O', B = 180 -6'. C = 180-c',donc , des trois angles a, ii . c. on pourra déduire les trois faces A , B , C.

De même le cinquième cas se ramène au deuxième, le quatrième au troisième. 11 suffit donc de résoudre les trois premiers.

1° Connaistant A , B , C , Iroucer a ,b , c.

Soit SABC l'angle trièdre. Si les faces CS.A , CSB étaient des angles droits , la droite CS serait perpendiculaire an plan BSA, les Fjg. s20. angles dièdres SA , SB seraient droits, et la face ASB mesurerait le dièdre SC. Ce cas ne donne donc lieu à aucune construction, et nous en ferons abstraction.

D’un point C , pris à volonté sur l’arête CS, menez à AS et BS des plans perpendiculaires , le premier coopéra la face CSA suivant une droite CA perpendiculaire à SA , et la face BSA suivant AU également perpendiculaire à SA; l’angle CAD mesurera le dièdre SA. Le second plan, celui qui est perpendiculaire à BS , détermine de même l’angle CBD, mesure du dièdre BS , et l’intersection de CCS deux plans CAD, CDD sera une droite CD , perpendiculaire an plan ASB. Pour avoir sur la même figure la mesure du troisième dièdre, on peut mener par le point C un plan perpendiculaire à l’aréle CS, lequel coupera les faces suivant les trois droites £C, CF, EF, dont les deux premières comprennent l’angle cherché. Ainsi, il suffira de construire les trois triaoglcs CAD,

CBD , CEF.

A cet effet, soient pris sur un plan les trois angles C'S’A', A'S'B',

B'S'C", respectivement égaux aux faces CSA, ASB, BSC; supposons la face ASB placée sur A'S'B', et ouvrant l’angle Irièdre dans l’aréte CS, faisons tourner le plan CAS autour de A'S' pour le placer en A'S'C', et le plan CSB en B'S C", de sorte qu’on aura CS=C'S' = C"S', C'A' = CA, A'D' = AD, D'B' = DB, etc.; ou ce qui revient au même, prenant C'S' =C"S' = CS, qui est arbitraire , menons C'A', C''B' perpendiculaires à S'A' et S'B'. Pour construire le triangle CAD, on a l’hypothénuse C'A' = CA , le côté A'D'= AD ; on le construira donc en faisant l’angle droit A'D‘c , décrivant de A' avec le rayon A'C' un arc qui coupe la perpendi-

GÉOaÉTRIli.

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cuUire D'o en un point e, et joignant A'c, l'angle cA'D' aéra égal à CAD. De mèuie arec le côté D'B' qui =DB, et l'bypothénuae B'C" = BC, on construit le triangle rectangle D'B'c', dans lequel l'angle D'B'c' est égal à DBC.

Pour construire lo triangle CEF, on remarquera que dans le développement du triédre le côlé CE , perpendiculaire à CS , se confondra avec C'E', perpendicniaire à C'S', le côté CF avec C"F', perpendiculaire à C' S', et par suite le côté EF avec E'F'. Avec les trois côtés C'E', E'F , F'C" on construira donc le triangle e"E'F', qui sera égal à CEF ; par conséquent, e" est la mesure du troisième dièdre CS.

Si la perpendiculaire CD tombe sur le prolongement de DA au deli de A par rapport à D, le triangle CAD ne renferme plus la mesure du dièdre AS , mais bien sOn supplément. C'est aussi ce que donnera le triangle C'A D'.

2° Connaissant deux faces B'S'A', A'S'C' et le dièdre compris, trouver les autres éléments.

Menez A volonté une droite C'D' perpendiculaire à S'A'; au point A' faites l'angle cA'D' égal A la mesure du dièdre donné ; prenez cA' = C'A', menez cD' perpendiculaire A A'D‘; du point D' menez sur S'B' la perpendiculaire indéflnie D'B', et coopez-la par un arc de cercle décrit du point S' comme centre avec le rayon C'S' ; soit C" le point d'intersection ; tirez C"S', l'angle C"S'B' sera la troisième face. Car, si au moyen des trois faces C'S'A', A'S'B', B'S'C" on cherche (premier casj , les dièdres , on trouvera cA'D'. Bien n'empècbe de trouver maintenant les dièdres e'B'D' et e".

Fig. 221. 3° Connaissant deux faces B, et le dièdre a opposé à l'une de ces

faces, trouver le reste.

Soit SABC le trièdre , CS.A , BSA les faces données ; on connaît de plus le dièdre opposé à CSA. Par un point A pris A volonté sur AS, on mènera deux plans: lo premier ABE perpendiculaire A l'arète BS, le second ADE perpeudiculaire A AS. Cos deux plans , tous les deux perpendiculaires au plan BSA , se couperont suivant une droite AE perpendiculaire A ce plan BS.4. Le plan ABE, perpendiculaire A BS, déterminera l'angle EBA , mesure dudièdre BS; ainsi dans le triangle ABE on connaîtra le côté AB, l'angle en B et l'angle droit eu A ; on trouvera donc le côté AE. On connaît AD; donc on pourra construire le triangle ADE rectangle en A , ce qui fera connaître l'angle ADE. Dès lors , dans le triangle ADC ,