LIVRE VII
Ou voit que , quelque pelit qu’on prenne ec , on ne pourra jamais
rendre cette différence moindre que ■ ou • Cetle
limite est moindre que plus grande que
qui est un peu plus grand que ■
Ainsi on ne saurait avoir r^ à moins de , mais on peut
l'avoir à moins de
Actuellement, si deux nombres diffèrent de ■ 5 ^ ou de , de
oüuu <1103
combien différent leurs racines cubiques?
Soient n, n+æ les racines cubiques ; on a
(» + a!)î-n3= ggjj et(n-+-iT
, „ 1 ■ 1 ou x3 + 3nx>-|-3»»a!— *^-i-3nx’-|-3r»'*x — =0,
si l'on diminue n, la valeur positive do x augmentera, et réciproquement; or l'inégalité
r3 > — — ou >
donne r>0,9; de même r<l,l.
Donc l'équation x3+3x 0,9 . x’-i-3 X (0,9)’x— = 0 donnera
une valeur trop grande, et x 3 -l- 3 xl,lx*- 4 - 3 (l,l)"x— 57 ^ 5=0
donnera une valenr trop petite.
La première de ces équations a pour limite supérienre — ^ — , la
seconde a pour limite inférienre
; la mesure de l’approxi-
mation poussée le plus loin possible est renfermée entre ces deux fractions.
r.ÉOUKTRIE.
Proposont-nous , par cxcinple, do cbercber r i inoina de prés.
La dirréreoce des cubes sera
—ni ou 0,000001 +0,0003. rk+0,03>».
Mettant pour n une valeur trop petite , savoir 0,0 , on a
Ainsi il sultlt que les cubes difTèreut du celte quantité ou d'une quantité moindre.
Fixons cette différence à 0,01 , et cberchuns combien il faut employer de décimales dans t pour obtenir avec cette approxiraation-là.
Ou posera donc
(i<0,0i ou
t>400t:(it + <x)
Remplaçons au numérateur k par 3,2, au dénominateur k et & + X par 3 , il viendra
72 + 208710 «<640 X9 ou 4+ 11595 x< 320
et
Il sufOra donc de prendre -n avec deux décimales.
On trouve ainsi ri<
et >-
r3< 1,038515 quotient pris en plus et > 1,035156 id. ■ en moins ;
la première limite donne r < 1,02 racine prise en plus ; la seconde r>l,01 id. en moins.
Voilà la valeur de r à moins de 0,01 prés.
3* Trouver à moins de O'",! le rayon d’une sphère dont le volume est de 288“^.
Solution. On a - 7 T r’ = 288 , d’où =: —
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LIYKK VII.
Or, pour que r soit connu à moins de O*”,! , il suffît que r’ le soit à moins de 0,00 1. Soient k, k-\- a deux nombres qui comprennent n.
On posera
d’où
Pour que celte inégalité soit satisfaite, il suffit que l’on ait
On prendra donc tt = 3,14169 ou jr = 3,1416.
El l’on aura
^ ^ ^Ï 4 i 59 ^ 68,765 quotient pris en plus
STïTô ^ quotient pris en moins.
On trouve ainsi r < 5"',1 et r ^ 4"',(»9.
On a trouvé pour deux limites qui ne diffèrent, en effet, que de 0,001 ; cela lient à ce que les valeurs de n, au lieu de n’èlre exactes qu’à 0,0004, comme cela suffit, le sont à moins de 0,000003 , puisque = 3,1 4 1 5926 H-ele-
2' Solution. Puisque r3= — , ou a r3 <72 cl r3>54, de lorle
que r est entre 3 et 5. Cela posé, soient n et n+0,1 deux valeurs qui comprennent r; on aura
(nH-0,l)3 n3 = 0,001 +0,03 . n+0,3n , et comme n> 3 , cette différence est
Ainsi, pour que les valeurs de r diffèrent de moins que 0,1 , il ' suiflt que celles de r3 différent de 2,791 ou do moins.
rosoni donc — r~ — —mm ^ o 7 Qi
OU
d'où
Donc on peut prendre » = 3,1.
Et l'on a >3 < 00 < 69,678 quotient en plu» ,
r3 >32 ou > 67,5 quotient en moins.
Ce» valeurs dilTèrent, en elTet , de moins que 2,791 ; ainsi leurs racines cubique» exactes différeront de moins que 0,1 ; mais leur» racines approchées, la première en plus, la seconde en moins , sont r <4,2 et r > 4,0. Il ne sufflt pas de pousser la racine cubiqne jusqu’aux centièmes; la question reste encore indécise ; mai» si l'on prend n avec une décimale de plus, on trouve
r3<68,7dO et r3 > 68,571,
nombres dont les racines cubiques sont 4,1 pour le premier en plus, et 4,0 pour le second en moins.
PROBLÈME
Étant donnés trois des six éléments d'un triangle sphérique, trouver par des constructions planes les trois autres.
Au lieu du triangle sphérique, on considérera l’angle Iriédro qui , ayant son sommet au centre de la sphère , intercepte ce , triangle.
Soient A , B, C les trois faces, a. b. c les dièdres opposé» on les angles plans qui mesurent ces dièdres. La question présente six cas, dont voici le tableau :
Étant donnés 1" A , B , C 2° A , B , c 3» A , B , O 4» k , a, c .5» A , b . c 6“ a , 6 , c
on demande a , b ,c.
ft. B, C.
An moyen du triédre supplémentaire, les trois derniers casse ramènent aux trois premiers. En effet , supposons qu’on sache
