LIVRE I
Remarque. Il serait donc |>lus iialm'cl,en tant (ju’il s’agit d’angles, de n’introduire dans les formules que les rapports des lignes trigonoinétriques au rayon ; mais lorsqu’il s’agit d’établir ces formules par des considérations géométriques, il est presque toujours plus commode de remplacer les angles par les arcs, et par suite le rayon s’y rencontre. Cependant il est facile de ramener les choses à l’état où elles seraient si l’on n’avait point introduit cet élément étranger ; il suffit pour cela de supposer que le rayon est l’unité à laquelle on rapporte les lignes trigonométriques. Soit par exemple donnée la formule
tg(a-\-b) =
r ’ — tga tgb
En établissant cette relation , on est censé avoir laissé arbitraire l’unité de longueur à laquelle les lignes trigonométriques des arcs a , b sont rapportées. Nommons A , B les angle» qui sont mesurés par ces arcs : si nous nommons sinus, tangente, etc., d’un angle, la valeur du sinus, de la tangente, etc., de l’arc, divisée par le rayon; nous aurons
tg (A-+-B) =
d’où
= tga = r.tgli, tgb = rlgK (3)
En substituant ces valeurs dans (1), on en chassera les arcs pour y introduire les angles. Mais il est évident , tl’après les formules (3) , que /g(a-+-6) , tga , tgb se changent respectivement en <g ( A-l-B ) , tg A, <gB, pourvu qu’on fasse r= 1 ; faisons donc dans (1) r= 1 , et remplaçant a par A, b par B, nous aurons immédiatement
tg(A+B) =
<gA-4-tgB
1— tgA/gB
Réciproquement, pour repasser de la formide (4) à (t).
TRIGONOMÉTRlt.
il suffit de remplacer <g-(A+B), tgh-, <^B, par les valeurs que fournissent (2).
Pour ne pas multiplier les notations, on représente ordinairement l’arc et l’angle par la même lettre. Ainsi , pour rapporter la formule (1) aux angles, on y fait r= 1 , ce qui donne
tg (rt-l-A) =
fgfl4-<g b \—tgatgb'
et pour revenir de celle-ci à (1), ce que l’on appelle rétablir le rayon , on donne à chaque facteur trigonométrique du premier degré le diviseur r, d’où
ou
tg{a->rb)
tg(a-i-b)
r ’ — tg a Igb
On n’oubliera pas que cette manière d’opérer est une abréviation.
Rien n’empêche d’ailleurs, dès le principe, c’est-à-dire
lorsqu’on établit les premières relations trigonométriques,
de prendre le rayon pour unité : les notations sin, cos...
n’y désignent plus que des rapports; y remplacer sin,
sin cos , , ,
cof, etc. , par — , — , etc., ce nest alors autre chose r r
que les rendre bomogcncs par rapport aux sin, cos, etc. r.
Car les rapports — , — , etc. , par lesquels on remplace
sin , cos, . . . sont tous du degré zéro , et les formules où on les substitue seront, si l’on ne fait que cette substitution , sans autre transformation, aussi du degré zéro.
