I.IVRU l

PROBLÈME

Trouvei--les relations qui lient entre elles les lignes trigonométriques d’un même arc.

On Ta d’abord prouver que ces relations se réduisent à cinq formules dont toutes les autres dérivent. En effet,

(p. 7, r.) une ligne trigonométrique étant donnée, tous les arcs qui y répondent ont une même origine et deux fins différentes ; par conséquent les autres lignes trigonométriques sont déterminées et chacune d’elles a au plus deux valeurs. Mais si chaque ligne trigonométrique détermine les cinq autres, il faut qu’il y ait entre ces six lignes, einq relations distinctes, et pas davantage.

Ce même résultat peut s’établir au moyen d’une figure Fig. 2. qui fournira ces relations. Soit AC un arc qui n’est point un multiple du quadrant : ses six lignes trigonométriques forment avec le rayon les trois Iriangfes ODC ,

OAE , OBG , semblables entre eux , et rectangles. Deux triangles semblables fournissent deux proportions distinctes entre leurs côtés; la comparaison du triangle ODC avec chacun des deux autres donnera donc quatre relations distinctes ; la comparaison de ces deux derniers fournirait encore deux et même trois proportions, mais qui seraient des conséquences des quatre premières. Nommons a, fi, y les trois côtés de l’un des triangles; a! , /?', ceux du second ; et' , (i", y" ceux du troisième; les quatre relations en question sont

» jTil * t f ’ ff ^ 0 *

Réciproquement, en vertu de ces quatre relations, supposées vraies, les trois triangles seront semblables, et les autres proportions, que fournissent les côtés, se déduisent de ces quatre égalités.

tiugonûmktrii;.

En outre les trois triangles sont rectangles ; pour trailuire celte propriété en équation, il suffit d’ajouter aux quatre relations ci-dessus la formule

Car celle-ci exprime que l’un des triangles est rectangle; par suite les deux autres, qui lui sont semblables, le sont aussi, et réciproquement.

Pour avoir les cinq relations, on suivra donc la marche qui vient d’élre tracée, ce qui peut se faire de plusieurs manières. Voici celle qui fournit les formules les plus commodes.

SoilAC = rt.

Le triangle ODC donne

OD-f-DC:=OC , ou eof ’ n-t-s/n’ a =■ (1)

ODC et OAE donnent les deux proportions

OD: DC:: OA : AE, d’où AE ou tgn — (2)

° cos a '

OD : OA : : OC : OE, d’où OEouséca^ (3)

cos a

Les triangles ODC, OBG donnent deux proportions ;