LIVRE

3° Les bissectrices des trois angies ÂHC , CIE , BGE se coupent en un point M , centre d'un ccrcie tangent aux droites Cll.IlG,

GE. Le rayon est ta perpendiculaire abaissée de M sur une de ces droites.

4° Enflii, les bissectrices des angies AGI , AHD, DtG se coupent en un point N, centre d'un cerctc tangent aux trois droites ,\G ,

Gl , ID. Le rayon est ta perpendicutaire abaissée de N sur une de CCS droites.

Remarque. Si t'on prolonge LU , bissectrice de i’angle DHI , tes angles que ce prolongement fera avec CII , IIG , seront respectivement égaux à Lllt, LllB, et'seront par conséquent égaux entre eux. Ce prolongement se confondra donc avec BM , bissectrice de CIIA.

De plus, les deux bissectrices ML, UN sont perpendiculaires entre elles. Car l’angle AIIN est la moitié de AlID, l’angle .AIIM est la moitié de AUC ; donc AIIN+AÜM ou NIIM est la moitié de la somme des deux angles supplémentaires ABU, ABC ; donc NBM est droit.

Des propriétés analogues ont lieu on G et I.

PéFistTion XI. On entend par angle inscrit tout angle Fig. 4'j tel que BCD , formé par deux cordes.

Définition xii. On entend par segment de cercle l’espace compris entre un arc et sa corde.

THÉORKME.

L’angle inscrit, ainsi que l’angle formé par une tangente et une corde, est égal à l’angle au centre qui intercepte la moitié de l’arc compris entre les côtés du premier.

Soit d’abord l’angle inscrit BCE dont l’un des côtés est Fig. 49. un diamètre. Menez le diamètre FG parallèle à BC; l’angle au centre FAE sera égal à BCE , à cause des parallèles BC ,

FG, coupées par CE (1. 1 , p. 16, 1"). Or, les angles CAG ,

FAE étant égaux, les arcs FE, CG le sont (p. 4). D’un autre côté , les arcs CG, BF sont aussi égaux (p. 7). Donc

GÉOMÉTRIK.

Tare FE=BF, et l’are FE, intercepté par l’angle au centre FAE, est la moitié de l’arc BFE, intercepté par l’angle inscrit BCE, égal à FAE.

Cela posé, s’il s’agit d’un angle inscrit tel queBCD, on tirera le diamètre CE; les angles BCE, ECD seront, d’après ce qui vient d’étre prouvé, respectivement égaux aux angles au centre qui intercepteraient les moitiés des arcs BE, ED. Donc BCE+ECD sera égal à l’angle au centre qui intercepterait la moitié de BE-|-ED ou de BED.

Fig. 50. Si le diamètre CE passe hors de l’angle BCD , l’angle BCE sera égal à l’angle au centre qui comprend la moitié de l’arc BDE, et DCE à celui qui comprendrait la moitié de DE; donc l’angle BCD, c’est-à-tlire BCE — DCE, sera égal à l’angle au centre qui intercepte la moitié de BDE — DE ou de BD.

Fig. 51. En second lieu , soit l’angle BDC formé par une tangente DC et une corde BD. Menons le diamètre DE qui sera perpendiculaire à la tangente (p. 6). Or, Si l’on lire deux diamètres perpendiculaires ED, FH, les 4 angles autour de A étant égaux, les 4 arcs DF, FE, EH , IID le seront. Donc l’angle droit ËDC est égal à l’angle au centre qui intercepte le quart de circonférence, c’est-à-dire lu moitié de l’arc EFD. On vient d’ailleurs de prouver que ‘ l’angle BDE est égal à l’angle au centre qui intercepte la moitiéde BE; donc l’angleBDC est égal à l’angle au centre qui intercepte la moitié de l’arc BFD.

Fig. 52. Corollaire I. Les angles B, B', etc., inscrits dans le même

segment ABC , sont égaux entre eux, comme étant égaux à l’angle au centre qui intercepte la moitié de l’arc ADC. Fig. 53. Corollaire 2. Tout angle BAC , inscrit dans un demicercle, est droit. Car il est égal à l’angle au centre qui intercepte la moitié d’une demi-circonférence ou un quart de circonférence , et l’on vient de voir que cet angle au centre est droit.