LIVRE

PROPOSITION xxin.

D’un point donné mener une tangente à un cercle donné.

Si le point donné est sur la circonférence en D, on tire pjg. 31. le rayon DA , et au point D on lui mène la perpendiculaire *

BC, qui sera la tangente demandée (p. 6).

Mais si le point donné est hors du cercle, soit Ace point, Fig. 54. DCE le cercle. Joignez le point A au centre B de ce cercle, et sur AB, comme diamètre, décrivez une circonférence qui coupera la circonférence donnée en deux points D,

E ; tirez les droites AD, AE , qui seront toutes les deux des tangentes. Car si l’on mène le rayon BD , l’angle BDA , inscrit dans le demi-cercle BDA , sera droit (p. 22 , c. 2) ; donc AD, perpendiculaire à l’extrémité du rayon BD, est une tangente (p. 6). Même raisonnement pour AE.

Remarque 1. La ligne des centres BA étant pcrpendi- ' culaire au milieu de la corde commune DE (p. 9) , il s’ensuit que le point A est également distant des points D et E (I. 1 , p. 13). Donc les parties AD, AE sont égales.

Remarque 2. La tangente par un point extérieur peut Fig. 55. encore se construire ainsi qu’il suit: Soit A le point donné,

DCE le cercle donné, B son centre. De ce point B avec un rayon double du rayon BD décrivez un cercle FG; du point A décrivez un second cercle qui passe par le centre B , et qui coupera le précédent en deux points F et G ; joignez ces points au centre B par les cordes BF, BG, qui couperont le cercle donné en deux points D, E : les droites AD,

AE seront les tangentes demandées. Car la corde BF, rayon du cercle FBG, étant double de BD, le point D sera le milieu de cette corde, et la droite AD, menée par le centre A du cercle FGet par ce milieu , .sera perpendiculaire à la corde (p. 3) , ou , en d’autres termes , AD est perpen-

diculaire à rexlrcmilé D du rayon BD; donc AO est tan- • gent au cercle DCE.

PROBLÈME

Fig. 50. Sur une droite donnée AB , décrire un segment capable * d’un angle donné, c’est-à-dire un segment tel que tout angle qui y sera inscrit soit égal à cet angle donné.

Au point A de la droite AB faites l’angle BAD égal à l’angle donné C; en ce même point A élevez sur AD la perpendiculaire AO , et au point E , milieu de AB , tirez la ligne EO perpendiculaire à AB; ces deux droites AO, EO se couperont en un point O, et si de ce point O, comme ceijtre avec le rayon AO , on décrit un cercle , BAH sera le segment cherché. En effet , puisque EO est perpendiculaire au milieu de AB, le point O est également distant de A et de B ; ainsi le cercle décrit du centre O et du rayon AO passera en B. De plus , tout angle inscrit dans le segment BHA est égal à l’angle au centre qui intercepterait la moitié de l’arc BIA (p. 22) ; mais AD, perpendiculaire au rayon AO , est une tangente ; donc l’angle BAD, formé par une tangente AD et une corde BA (p. 22) , est aussi égal à ce même angle au centre; donc tout angle inscrit dans ce segment est égal à l’angle BAD, qui lui-même est égal à l’angle donné C. Donc le segment BHA est capable de l’angle donné.