LIVRE
«Sjj«= —
COI - a
multipliant les deux termes de la rraction par 2s(n ^ a , on a
tg^a=-
S«in - a cos -a
Hais (p. 13)
2sin’ 2 ® ~ ^ “
et (p. 12)
2*<n 2 a cot 2 ® ~ <*•
1 1 — COJ a
Ij7- 0 = :
2 Jtna
AÙ lieu de multiplier par 2iin ^ a , multipiions par 2coj - a ■ il
tp~a =
1 1 2jtn - O COJ 2 a
2eoj’ - O
l-i-COJO
Ces deux expressions de ® s'accordent, comme on pent le vérifler en les égalant.
CO, -a
on peut encore remplacer iin ^ a et coj - a par leurs valeurs tirées de la prop. 13 , et on a
1 1 / 1— COJ a
^ V 1-t-co, a
'1— COJ a 1-+-COJO
35 a TRIGONOMÉTRIE.
En mullipUant les deux termes de la fraction par 1 — cot a, on trouve
1 1— eot«
Si on remplaçait ici l/i—cos'‘a par sin a, on tronverait encore 1 1 — cos O
pour ^ a deux valeurs, ± ^ , ce qui ne s’accorde pas
avec la formnle (2). Mais c'est qno cette substilntion est une erreur : tg^-a est tantôt positif, tantôt négatif ; dans (4) c'est le
donble signe qui donne la faculté de choisir celle des deux valeurs qui convient. Ainsi quand ^ a ae termine dans les quadrants impairs , on a
la- a =r ■
1— coia
- Y 1— cos’o
Or dans ce cas ^ a est de la forme fcll-i-J', i étant <90°; par <0
suite a est de la forme 21 : 11 - 1 - 2 ^, et sin a = sin 2^, qui est >0, vu que 2^'<180».
De là on conclut que dans ce même cas iina=-t-Y' 1— cos’a. et
1 1— eoso
''2 sin O
An contraire , si —a tombe dans le s quadrants pairs, ^'es<> 90°
et <180°; tp- a est<0, et sin a aussi esl<0: dans ce cas
1 1— cosa
tg -a= .
et tin a — — Y' i —cos' a
cat'a
d’où encore
1 — cos a
‘^'2“= sina
C’est donc + Y' i—cos'a qu’il faut remplacer par sino dans
1 1— cot O
2 “ ~ ± Y'i—cot'a
tlVRE I.
La foriDtilc 1 a = ~
donne lieu à une remarque semblable. On sait que dt K l+lÿ’a = séc a.
Or, ici encore , c'esl dans le cas où il faut prendre devant le radical dans (a) le signe -t- que sic a est > 0; el toutes les fois que dans (a) il faut prendre le signe — , séc a est <0. En effet . mettant l'arc a sous la forme on a reconnu tout à l’heure
que si 2', qui est > 0,, se termine dans le premier et dans le quatrième quadrant, il faut prendre tg\ a= ° ■ mais
i tga
dans ce cas séc a = séc (2JtlI-i-2^) = sec2^ est précisément positif; 1 — l-i-séca
par suite tg . Au contraire , si 2]“ tombe dans le
deuxième ou le troisième quadrant, on a dû prendre ta ~ a
— 1— j/l-t-tÿ’a
~ iga ’ *««<* c»> négatil et égal à
- kfl-+-tÿ’ 'o; d'où encore
/ . 1 — 1-t-jéca
to - a = —
*'2 tga ■
PROBLÈSIE.
Établir une équation entre deux lignes trigonomêtriques . Vune de l are na , l’autre de l'arc ia, n et i étant entiers positifs.
Soit X la ligne de l’arc na.y celle de l’arc ia; si x est un sinus ou un cosinus . on a x = f (sinna); s'il n’est ni l’un ni l’autre , les formules de la pr. 9 permettront do l’exprimer en fonction de sinna; donc dans tous les cas on peut écrire
X —f(sin na\
Do même y — ip (sin ia\
Mais la formule (9; donne sinna et sfr» ia en fonction de sina; donc
354 TRIGONOMÉTRIK.
on aura x=;F(jino) , y-:; Fi (jtn o).
Il ne reste plus qu'à éliminer jin a entre cos équations, et l'on aura la relation cherchée.
Semargue 1. Dans les cas particuliers il sera sourent possible (l’opérer d’une manière plus simple.
Par exemple , il s'agit de x ~ cos3a et y = iga.
Ici x = coi3a=: 4cos3a- 3cosa,
et
-tga =
\/ 1— coi’a cota
posant eota = z, on a à éliminer z entre les équations
ou z’y» = 1— z’.
Remarque 2. Supposons qu’on cherche tg - a en fonction de
zina, et qu’à cet effet on parte de l’équation.
ou x’+ ; — .X — 1=0.
Iga
On a iga = -
stn'a
; donc l’équation devient
