LIVRE I

«in a, mais bien en function de sin’a; car elle ne change pas si l’on change tina en — sina; il s'ensuit qu'elle convient aussi aux arcs

dont le sinus est — «in* ou —sina ; on a donc encore

x — if (*n- i *) =—ig ^ «,

X — tp[(2*+l)H-t-*] = — cot ^ * , ce qui complète les quatre valeurs.

PROBLÈME

Transformer une somme de deux sinus ou cosinus en un produit , et réciproquement.

On prend les rormiiics

sin(a-\~b') = sin a cos b-\-sin b cos a , sin(a — b") — sin a cos b — sin b cos a , cos(a-+-b')=cos a cosb — sina sin b , cos(a — b')~cosa cosb-{-sina sin b.

Ajoutant et retranchant les deux premières, puis les deux dernières, on a

(1) sin{a-\-b)-^sin(a — b) = ÿsina cos b ,

(2) sin{a-\-b) — sin(a — b) = ‘2sinb cosa,

(3) cos(a-‘rb)-\-cos(a — b^—^cosa cosb ,

(4) cos(a —b) — cos(a-\-b')=^sin a sin b.

Ici on posera a-f-5=p , a—b — q,

‘l’où «= 2 (P+9) ’ * = 2

et (6) sinp-+-sinqz= 2sin ^ (p-hq) cos ^ (p—q),

TRIGONOMETRIE.

(6) sinp—sin q ~ 2sin ^ (p—q) cos ^ (p+q),

(7) cosp-+ cosq=2cos^ (p+q) cos~(p—q),

(8) cosq—cosp=2sin^(p-i-q).sfn^(p—q).

Ces dernières formules transforment une somme et une différence de deux sinus ou de Jeux cosinus en un produit, ce qui est utile dans les calculs de logarithme. S’il s’agissait de sinp±cosq, on remplacerait dans (5), (6), q par 90 — q.

Pour transformer au contraire un produit en une somme, on se servira des formules (I)-(4), qui donnent

sina cosb = ^ sin («-+-3)+^ «m (a — b),

etc.

S’il s’agit d’un produit tel que sina cos b sine , on a d’abord

Pin /» ^ fin /! I — fin i n —

(9) sin a cos b sin c — sin c sin (a-t- 3)+ ^ sin (a — b)

~ 1 ^ sin (a — b'), sin c ;

mais si dans (4) on remplace a par a-\-b , et b par c, on en tire

sin {a->rb') sine— cos(a->rb—c')— ^ coj(a-|-34-c).

Changeant b en — b,

sin (fl— b ) . sin c=^cos(a—b—c)—^cos (a—b-\-c). Substituant dans (9), on trouve