LIVRE I

Pour démontrer ces formules, reprenons l’équation 5, pr. 16,

cos a sin b = sin c cos A+i/Vi. a cos b cos C , permutant a et b ,

cos b sin a — sin c cos B-j-j/n b cos a cos C.

Ajoutant ces équations et ayant égard à la valeur de sin (a+A) , il vient

sin (a-\-b) — sin c {cos\-+-cosJi)-\-sin (n-\-b) . cos C , d’où (a) «ne (cOi A-|-coiB) = i/n (a+A) .(1— cof C). Mais de sin A : sin B ; sinC : ; sin a : sin b : sine on lire sin A+«'n B ; sin C r: sina-{-sin b : sin c sin A — sinB ; sin C :: sin a — sin b : sine

ou {sin A+i/n B) sin c — {sin a+sm b) sin C.

(sin A — sin B) sine =. [sin a — sin b) sinC. Divisant chacune de ces égalités par (o) , on a

, sin\-\-sinB sina-\-sinb sinC, cofA+coiB sin{a-+b) 1 — co^C

sinA—sinB sin a— sin b «nC

eosA+coiB sin(a-\-b') 1— coiC

Or,en vertu des formules (1 1) et (13) , p. 20 , 1. 1 , les premiers membres de ces relations se réduisent respectivement à tg i (A-t-B) et tg (A— B).

En second lieu ,

TRir.ONOMKTRlE.

sin a-+-sinb = ^sin - (a-j-b).cos - (a— b), p. 20,1. l,f. (6) sina — sinb = ^sin - {a — b). cos — (a-\-b') ib. f. (6)

sin(a-\-b) =2sin^ [a-\-b) .cos -{a-\-b) p. 12, 1. 1,f.(3)

sin C = 2sin - C cos - C

1 — cosC = 2sin^ - C

ib.

Subsliluant dans (6) el (c), supprimant les fadeurs

communs et remarquant que

cos * 1

=col - C, on trouve

sin~ t*

cos - (a— b)

cos - (<l+0)

sin ^ (a-b) sin - (a+4)

.col^ C

.coi- C.

Corollaire. Appliquons ces formules au triangle supplémentaire, en écrivant

co^|(«'-6’) J

^êrôCA'+B')^— cot-^C

cos - (a'-t-^')