BC

Nous avons donc tout ce qu’il faut.

Du reste, (4'), (6'), (6') peuvent se déduire très-simplement de (1'), (2'), (3').

En effet (2') donne sin B = ,

■ sina

(3') cosC=^,

tga

,, ^ cosC tjib.siha cosa

d’où = -2. = .

* «nB tga sin b cos b

D’après (!') cosC

cosa cos b

~ cos c;

donc — : — r, cojc, ou coiC coic fi/iB, c’est (4')

jinB

et cos B =

De (2')

. sin b

Sin B = — : — sin a

et (3')

„ is cos B =

tga

on tire

sin B sin b tga

cos B sin a tgc cos a sin c Remplaçant cosa par cosb cosc (!'), il vient Igb

B = ^ , d’où tgb — sine . IgB. c’est (à')

THir.OI<IOMéTRIK.

Ceci lionne aussi =

sinb ’

delà /gB./gC

tgh tgc 1 1

sin b sin c cos b cosc cosa

puis cosa — cotB .cote c’esl (6').

Quelques-unes de ces formules peuvent se démontrer géométriquement, mais ces démonstrations manquent de généralité.

Remarque. 1° D’après (!'), si cosa est^o, cos b et cosc sont de même signe, et si cosa est <^o, cosb et cosc sont désignés contraires. Ainsi, parmi les trois côtés a, ô, c il y en a un nombre impair, qui sont 90*, et un nombre pair, qui sont ^ 90®.

2° D’après (o') tgb et tgB sont de même signe: donc l’angle oblique et le côté opposé sont tous les deux ^90°, ou tous les deux 90'. Bien entendu que ces deux remarques ne s’appliquent qu’au triangle sphérique rectangle.

TBÉORÈME.

La tangente de la demi-somme de deux angles d’un triangle sphérique quelconque est égale au cosinus de la demi-différence des côtés opposés , divisé par le cosinus de leur demi-somme , et multiplié par la cotangente de la moitié du troisième ansle.

Pour avoir la tangente de la demi-différence , il suffit de remplacer les cosinus par les sinus.

C’est-à-dire que

cos ^ (a-b)

'ér-2(A+B) = cot - C

cos - (rt-Hô)