LIVRE II
4“ Le triangle où — 180°; car on aura l’angle Fig. 23. CBA'=A=A'; donc CA'=CB; par suite CB-f-AC ou a+& = 180 °.
Remarque 3. Dans les six propositions suivantes, on va traiter le triangle sphérique obliquangle.
PROBLÈME
Connaissant dans un triangle sphérique quelconque les 3 côtés a , b , c , trouver les angles.
La formule foiidamentalé (p. 16) donne
cosa — cosb cosc
cos k =.
sinb sine
On transforme cette formule comme $on analogue (p. 15) et par des raisons .semblables.
.. . „ . 1 . , . sinb sinc~cosa-\-cosbaosc
Ainsi 2im° -A = l— coiA= —
2 sin b sin c
cos (b — c) — cosa
sin b sin c
Opérant comme p. 16 , r. , il vient 1 1
J «n ^ (a+5 c) sm - (a—b+e)
sin^ — k = — : ; .
2 sinb sine
Posons a-{-b-{~c — f2p , d’où a -f- 5 — c—'‘2(^p — c), a-^b-i-c = 2(p — b); nous aurons
sin
1 ^ I / sin(p — c) .sin(p-b)
2 r sinb sine
n A 1 . I /sinp . sin(p-a)
De meme cos~k—\/ — ^ L,
2 r finfy jfjjif.
TRIGOnOMÉTRIE.
4so
ensuite-
sin ip—c) sin {p — b)
sinp sin(p — a)
Cette dernière est encore la plus simple pour calculer les 3 angles.
Remarque. On peut discuter ces formules comme leurs analogues (p. 15).
Par exemple, pour que l’arc ^ A soit réel, il faut et il
suffit que t" - À le soit, c’est-à-dire que l’expression
sous le radical soit ^0. Or le périmètre 2p est •<^360“; donc Ainsi il faut et il suffit que sin{p — c),
sin(p—b),sin{p — a) soient positifs en nombre impair et négatifs en .nombre pair. Mais les arcs p, a, b, c , étant tous moindres que 130 ", si l’un de ces sinus est négatif, l’arc l’est aussi; et nous savons (p. 16, r.) qu’il est impossible que 2 des trois binômes p — a, p — b, p — e, soient négatifs.
Donc il faut et il suffit qu’ils soient positifs, ce qui donne a<^b-\-c, b<^a-{-c, c<^a-\-b, etc.
problIme.
Étant donnés les 3 angles A, B, C, trouver les 3 côtés a , b , c.
La formule (12), p. 16, donne
cosazz.
cos \-i-cosB cosC sin B sInC
^ . .1 cos \ — coj(B+C)
De la sm^ - a= » . „ . ^ ■
2 sinL
UVRk II.
cos — (A+B-t~C).co* 2 (B — A+C) sin B sin C
Soit 2P l’excès de la somme des 3 angles A, B, C, sur 1 80°, de sorte que
A-hB-hC = 180°+2P;
De là
et
1 I / sin P . sin (A — P)
2 ' «nu sinL
sin
1 I /xm(B -P) «n(C -P)
De môme cos -a=\/
2 ' «nU«nL
. 1 \I «nP.«n(A — P)
ensuiu <g 5 « = J/
Remarque. Pour que ^ ^
sinus qui sont sous le radical soient négatifs en nombre pair.Orje dis que parmi les 4 angles P, A— P, B— P, C — P, il ne saurait y en avoir plus d’un qui soit négatif; car d’abord P n’est pas <[^0, et si l’on avait A — P<^0 et B — P<^0, on aurait
A-hB<2P... ou A4-B<A+B4-C-180“, d’où C^180“, ce qui n’est pas.
Je dis en second lieu qu’il n’y en a pas deux qui soient ^ 180. Car comme A, B, C sont moindres que 180 , à
4 a ï THIGONUHÉTKIE.
fortiori A — P, B— P, C— P le suiil-ils; P l’esl aussi, sans quoi A+B+C ou 180-|-2P serait ^ 540, ce qui n’est pas.
Il faut donc que chacun des 4 angles soit^O et <\180°.
Or A — P^O donne 2A^2P
ou A>A4-B+C-I80’,
d’où A+180‘’>B+C,
de même B+1 80° ^ A+C
C-t-180° > Â+B (Géom., 1. 7 , p. 1 0, r.l ) Posons maintenant
P<180», A-P<180°, etc.
Delà 2P<360° et A<180°+P.
La dernière est évidente.
La première donne A+B-|-C<^ 640°.
Cette condition est renfermée dans les précédentes.
Ainsi, pour que tg^ a soit réel, il faut et il suffît que
la somme des angles surpasse 180°, et que le plus petit angle , augmenté de 180°, surpasse la somme des deux ■ autres.
Connaissant deux côtés a , b , et l’angle compris C , trouver c , A , B.
Les équations de Néper donnent (pr. 17) cos^-{a-b)
tS 5 (A+B) = . cot- C,
COS - (a-h&)
LIVRH 11.
sin ^ {a— b)
De là on déduira A, B.
sin a. sin C
Un aura ensuite sine— — r — .
smA
Mais comme celte formule peut donner deux valeurs pour c, il est bon d’avoir une autre formule qui ne laisse point d’ambiguité. C’est la formule (3), pr. 16.
cosc — cos a eosb-\-sin a sinb . cos C.
Elle montre que si a, b sont de même espèce, et C
90°, cosc sera 0 et l’arc c <][ 90 ; si a, A sont d’espèce différente et C ^ 90®, cos c sera 0, et l’arc c 90°. Il ne reste donc du doute sur le signe de cosc que si cosa cos b et cosC sont de signes contraires. Dans ce cas il sera nécessaire de calculer les deux parties de cosc, ou au moins de reconnaître quelle est celle qui a la plus grande valeur absolue. Rien n’empêcbc pour cela de les diviser par sin a sin b, de sorte que la question sera réduite à reconnaître quelle est celle des deux quantités cota . cotb et cosC , qui a la plus grande valeur absolue, ce qui est fort simple, et ne pourrait rester indécis que dans le cas où ces valeurs différeraient extrêmement peu l’une de l’autre. Du reste, on peut aussi transformer la valeur de cosc, afin de la réduire à un produit.* A cet effet on pose
sin b cos Va .
;; — —ts(p , w angle auxiliaire,
cosb ^ T O
et il vient
cos c = cos b {cos a-\-sin a.tgtp)— . cos {a — y).
4s4 TRIGONOMÉTRIE.
li est aisé de reconnaître l’ësprit de ces transformations.
L’angle (p n’étant point un angle d’un triangle, il s’ensuit qu’il admet une infinilé de valeurs. Soit a sa plus petite valeur positive, on aura en général
Donc
y = 4-H+a (I. l,pr. 7).
, cos(a — /fH — a)
cosc=LCOso ^ ;
cos (A-H+a)
mais si k est pair, on peut supprimer 4'H en haut et en bas ; si k est impair, celle suppression change les signes des deux termes de la fraction; donc on n’a pour cosc * qu’une valeur, et on peut prendre pour tp la plus petite valeur positive.
Remajpque. Pour trouver A et B , on peut se servir des formules (6), (7), pr. t6, lesquelles donnent
cotk —
cota sinb — cos b cos G
cot B =
col b sin a — cos a cos G
en les transformant à l’aide d’un angle auxiliaire.
Connaissant deux angles A, B, e/ /e côté adjacent c, trouver a, b, G.
On trouvera a, b par les formules de Néper (pr. 17)
J cos ^ (A-B) ^
'ff 2 = î
cos - (A-HB)
