F [OC , AC

Comme si dans (i) on faisait x=: OC, y = AC.

La réciproque a également lieu. Il s'ensuit que notre manière de considérer les coordonnées polaires, soit quant aux signes, soit quant aux valeurs , est d’accord avec les principes établis pour les coordonnées rectilignes. Cependant si sur la transformée on effectue certaines opérations , il peut se faire que l'on supprime , ou que l’on introduise par là des solutions, de sorte que les deux équations, l’nnc en x, y, l'aulre oo|, w, ne seraient plus d'accord , ce qui du reste n’infirme en rien le principe.

C’est ainsi qu'il peut arriver que lors de la substitution on soit conduit à introduire ou à supprimer des facteurs communs aux deux termes de certaines fractions, etc. Par exemple, si l’on prend l’équation

laquelle est satisfaite par x=0, y = 0, et qu'on y substitue les valeurs (l) avec * = 0, t = 90, il vient

f’[ç— cojii’]’ =2’’ supprimant le facteur , on a

[ç~costc]’ — 2

NOTL'. 445

qui u'adinel plus l'origine ; car pour j ^ 0 , elle donne cos’w — î, ce qui est impassible.

R6ciproqucincnl si l'on pari de

les formules donnent

i^—cosuty =-2 X — ^cosu, y =: çn'iui;

î»=x’-+-î/’, cosw=

et l'on trouve

rj/x’-t-y’— f'l’=2.

équation qui n'est pas absurde si l'on j fait x = 0 , y = 0 ; si l'on y chasse le dénominateur, on retrouve celle d’où l'on est parti plus haut (3); mais on aura multiplié par y sr’-t-y’, ce qui revient à multiplier (4j par ç , et par suite à introduire la solution $ = 0,

Actuellement la nature des coordonnées polaires reconnue , il peut se faire que deux lieux géométriques passent par un même point , sans que les équations de ces lieux aient une solution commune , quoique ces équations déterminent ces mêmes lieux complètement. En effet soient ^ = a, on des systèmes de coor-

données d'un point que je nomme A ; un lieu passant en A peut avoir plusieurs équations , dont chacune le détermine complètement; or, il arrivera qu'une seule de ces équations sera satisfaite par( = a, 10 = un autre lieu passant en pourra aussi avoir plusieurs équations, et si parmi ces équations on en prend une, elle peut fort bien n’élre pas satisfaite par ÿ = =::(*, mais

par ç = a. ui = «-t-27t , on ç = a. u = x-t-4rr , etc., ou { = — a, w = etc.

C'est ce qui a lieu pour les deux lieux

{ = tn. w

dont le premier est une droite passant an pôle, le second une spirale. Tous les deux passent au point (o = ç

coordonnées qui ne satisfont pas à w — « = 0.

Si l’on prenait pour équation de la droite , l’équation à laquelle satisfont toutes les coordonnées do chacun de ses points, et do môme pour l’équation de la spirale , ces deux équations seraient

NOTK.

(^—mui) [ç— [{— m(w+2:r)]etci., = ü ,

El ou trouverait que chacune de ces équations est satisfaite par tous les systèmes de coordouuées de chaque point commun.

l’our que deux équations en w et ^ donnent le même lieu, il n'est donc pas du tout nécessaire que ces équations soient identiques.

Comme cette question pourrait offrir peu d'inlérél et qu’elle exige des détails assez longs, j'en supprime la solution.

nx DK l.» >OTK.

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