LIVRE III

changer les rapports des côtés, De plus, si sur une droite plus petite ou plus grande que la diagonale DB on construit deux triangles , l’un, d’un côté avec BC et DG, l’autre , de l’autre côté avec ÀB, AD, on aura un second quadrilatère renferpaant les mêmes côtés avec des angles différents.

Remarque 4. Les trois cas de la proposition 16 sont les «as fondamentaux de la similitude des triangles. Ceux que renferme la proposition suivante rentrent tous les deux dans le troisième des précédents, et dépendent de la position relative des deux Bgures.

THÉORÈME

Deux triangles sont semblables s’ils ont les côtés parallèles ou perpendiculaires deux à deux.

1° Soient deux triangles ABC, A'B'C' ayant le côté AB Fig. 72. parallèle à A'B', AG à A'C', BC à B'C'. Je dis qu’ils sont semblables. Car les angles A et A', qui ont les côtés parallèles, sont égaux ou supplémentaires (I. 1 , p. 17); il en est de naêmc de B et B', de G et G'. Or , si A et A' étaient supplémentaires, la somme A-|-A' serait égale à 2 droits ; si en même temps B et B' étaient supplémentaires, la somme B-|-B' serait aussi égale à 2 droits ; donc la somme des 4 angles A, A', B, B' serait égale à 4 droits, ce qui ne sc peut, puisque la somme de touÿ les six angles des deux triangles vaut 4 droits (1. 1, p. 20). Donc il est impossible que deux angles du triangle ABC soient supplémentaires de deux angles du'triangle A'B'C'. Ainsi, dans le triangle ABC il y a tout au plus un angle qui puisse être supplémentaire d’un angle de A'B'C'; mais si les autres ne sont pas supplémentaires 2 à 2 , ils sont égaux. Donc les triangles proposés ont au moins deux angles égaux chacun à chacun; par’ conséquent le troisième angle est aussi égal .

GÉUUÉTRIE.

de part et d’autre (I. 1 , p. 20, c. 1), et les deux triangles sont semblables (p. 16, 3°).

2° Dans le cas des côtés perpendiculaires , la démonstration est la même, vu que deux angles qui ont les côtés 'perpendiculaires, sont égaux ou supplémentaires (I. 1, p.l7).

Remarque. Puisque les angles A , A', qui ont les côtés parallèles , sont égaux , U s’ensuit que les côtés opposés fiC, B'C', qui sont aussi parallèles, sont homologues. Ainsi, dans le cas des côtés parallèles, ce sont les côtés parallèles qui sont homologues. De méme^ dans le cas des côtés perpendiculaires , ce sont les côtés perpendiculaires • qui sont homologues.

PROPOSITION XVIIF.

THÉORÈME

Deux parallèles AD, ad, coupées par des droites OA , OB, etc., qui concourent au même point O , sont divisées proportionnellement , de sorte qu’on aura AB : aô : : BC : ôc CD : cd.

Fig. 73 . En effet, puisque ab est parallèle à AB, les deux triangles OAB, Oab, qui ont déjà un angle commun en O, ont aussi les deux autres angles égaux chacun à chacun , et sont semblables (p. 16,3°); donc on a AB : ab :: OB : Oô.

Les deux triangles semblables OBC, Obe donnent aussi BC : ôc :: OB : Oô, d’où> à cause du rapport commun, AB : aô : : BC : bc. On prouve de même que BC : ôc :: CD : cd. Donc AB : ab :: BC : bc :: CD : cd,

La démonstration est la même dans le cas où le point O est entre les deux parallèles, comme cela a lieu par rapport à a'cH et AD.

Corollaire. On déduit de là le moyen de résoudre le Fig. 74. problème de la prop. 8. S’il s’agit de diviser une droite M en parties proportionnelles aux droites l, k , i, sur une