LIVRE I I

b on ne peut mener qu’une parallèle à AC (I. 1 , p. 14) , il s’ensuit que abc est une droite parallèle à AC.

THÉORÈME

Toute figure semblable à un polygone est un second Fig. 69. polygone ayant autant de côtés que le premier.

Soit ABCDE un polygone; prenons un point quelconque O pour centre de similitude, et tirons les rayons vecteurs OA , OB , etc. , aux sommets de ce polygone. Prenons les points a, b , c, d , e sur ces rayons, de façon que l’on ait OA : Oa :: OB :0b :: OC : Oc, etc., et à cèt effet, après avoir pris à volonté le point a , menons ab parallèle à AB, bc parallèle à BC, et ainsi de suite. D’après la proposition 12, les points homologues des points de AB seront toqs sur ab; les homologues des points de BC seront tous sur bc, etc.; donc la figure semblable à ABCDE est un polygone abcde ayant autant de côtés que le premier.

Corollaire. Pour que deux polygones soient semblables, il suffit qu’on puisse les placer de façon qu’à chaque sommet A de l’un réponde dans l’autre un sommet a, qui soit homologue de A par rapport à un centre de similitude quelconque, pourvu toutefois que deux sommets a, b ne déterminent un côté que si leurs homologues A, B en déterminent un; mais aussi pourvu que deux sommets a, b déterminent un côté si leurs homologues A , B en déterminent un. En effet, si ces conditions sont remplies, chaque point K pris sur le contour de l’un des polygones aura son homologue k sur le contour de l’autre , et pour trouver fc, il suffit de joindre KO et de prendre l’intersection de celte droite avec le côté ed, déterminé par les points homologues de E, D, qui déterminent le côté sur lequel on a pris K.

DÉpiHiTioit XI. Dans deux polygones semblables, les

cioMÉTRIE.

sommels qui sont des points homologues se nomment des sommets homologues ; les angles auxquels ces points servent de sommets sont nommés angles homologues ; les côtés qui joignent des sommets homologues sont nommés côtés homologues , et les diagonales qui joignent des som- , mets homologues sont appelées diagonales homologues.

THÉORÈME

Deux polygones semblables ont les angles homologues égaux et les côtés homologues proportionnels ; réciproquement , si dans deux polygones les angles sont égaux deux à deux , et si les côtés adjacents aux angles égaux sont proportionnels , ces polygones sont semblables.

Fig. 69. 1° Soient ABCDE, abede deux polygones semblables, O

un centre de similitude. Puisque OA : 0« :: OB : 06^ le côté ab est parallèle à AB, de même bc est parallèle à BG, et l’angle abc est égal à ABC; de même BCD = ôcd, GDE xzede, etc. De plus, on a prouvé (p. 11 , c. 2) que les dimensions homologues sont dans le rapport de similitude; donc les rapports AB : ah, BG : bc, GD : cd, etc. , sont égaux, et par suite les côtés homologues sont proportionnels.

2® Réciproquement, soient deux polygones ABCDE,

' a"b"c"d"e" ayant les angles \=a", B— b",..., E=xe", et les côtés proportionnels , de sorte que AB : a" b" : : BC : b"c" : : etc. Je dis que ces polygones sont semblables.' Pour le prouver, supposons a"ô''<^AB, et soit pris ab parallèle à AB et égal à a"b"; tirons ha, Bô, qui se couperont en un point O , enfin tirons OC , OD, OE; du point b menons bc parallèle à BG, cd à CD, de à DE; joignons ae, qui sera aussi parallèle à AE. Le polygone abede sera semblable à ABCDE (d. 6); je dis qu’il est égal à a"b"c"d'e". En effet, les polygones ABCDE, abede étant semblables.

on a l’angte a=Â; mais par hypothèse a' —A; donc azza"; de même b=zb", c = c^', d=d" ez=e". De plus, la simili* tude des mêmes polygones ABCOE , abede donne

AB ; ab :: BC : bc.

Mais par hypothèse AB : c^'b" : : BC ; b"c" et comme a"b"=ab, ces deux proportions ont les trois premiers termes communs ; donc bc=b"c". On démontre de même que cd = c"d", de = d!'e", ea — é'd'. Donc les deux polygones abede , d'b''c"d'e" sont égaux et superposables , et par suite a"b"c"(t'e!' est semblable à ABCDE.

Corollaire 1. Deux polygones semblables à un troisième sont semblables entre eux. -Car en comparant chacun des deux premiers polygones au troisième, on voit que ces deux'prcmiers polygones ont les angles égaux deux à deux' et les côtés proportionnels.

Corollaire 2. Des proportions kB :ab :: BC : bc i: CD : cd , etc. , on tire

AB-1-BC-)-CDH : ab-\-bc-{-ed-\ : : AB :

ab : : BC i bc :: etc.

Ainsi les contours ou périmètres de deux polygones semblables sont entre eux comme les côtés homologues.

DÉFiNiTtox XI. Deux polygones qui ont les angles égaux deux à deux sont dits équiangles entre eux; deux polygones qui ont les côtés égaux deux à deux sont dits équilatéraux entre eux.

THéoRèUI'.

r^Ux polygones semblables peuvent se décomposer en un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés. Réciproquement , deux polygones composés d’un même nombre de triangles sembla-

(>8 GÉOUhTRlE.

blés chacun à chacun et semblablement disposés sont semblables.

Tig. 69. Soient les polygones ABCDE , abcde supposés semblables , O le centre de similitude. D’un sommet quelconque A menons des diagonales aux autres sommets du polygone ABCDE; dans le polygone abcde menons les diagonales homologues (d. 11). Les triangles ABC, abc sont semblables; car ils sont placés de façon que les droites Aa, BA, Ce vont concourir en O, et y sont divisées en segments proportionnels (p. 13, c.). On reconiiatt de même que le triangle ACD est semblable à acd, et que ADE l’est à ade.

De plus les deux sjslèines de triangles sont semblablement disposés, c'est-à-dire que si d'un côté on considère deux triangles ABC, ACD qui ont un côté commun , et de l'autre les triangles o6c, acd, semblables à ceux-là, ces deux derniers ont aussi un côté commnn ; en outre , les angles adjacents à l'une des extrémités A du côté commun aux deux premiers triangles sont les homologues respectifs de ceux qui sont adjacents à l'une des extrémités a dn côté commun aux deux derniers ; il en est de même en C et e. Enfin , les triangles ABC, ACD se tronvant situés de différents côtés par rapport à AC , il en est de môme de abc. acd par rapport à ae.

Réciproquement , supposons que les deux polygones ABCDE, cé'b"c"d'e" soient composés d’un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés. Soit le triangle ABC semblable à a"b"c", ACD à a"c"d", etc. A cause des triangles semblables ABC, a"b"c" (p.l'S), l’angle ABC sera égala a"b"c", l’angle BCA àb"c"a ; par une raison semblable , l’angle ACD — a' c"d ' , et 1 angle total BCD sera égal à b''c"d\ et ainsi des autres, de sorte que les deux polygones auront les angles égaux deux à deux. D’ailleurs les triangles semblables donnent encore (p.l4):

AB : a" b" ; : BC ; b"c" ; ; AC ; a"c" : : CD : c"d' ; : etc. Ainsi , non-seulement dans ces deux polygones les angles sont égaux deux à deux , mais encore les cotés adjacents

* LIVRK m. ^ 69

aux angles égaux sont proportionnels. Donc (p. 14, 2*) ces polygones sont semblables.

Remarqu» i. Si les triangles semblables n’élaient pas semblablement disposés, les deux polygones ne seraient pas semblables. Par exemple, supposons tonjonrs que l’angle b'*c"a'‘ = DCA, mais qne fangle égal à ACD n'ait pas son sommet en e' ; l’angle b"e“d" ne sera pas égal à BCD.

Remarque 2. Dans les propositions 13, 14, 15, rien n’empéche de remplacer le point O par O', et le polygone abede par db'c'Sé, qui a ses côtés respectirement parallèles et de sens contraire ^ux côtés correspondants de ABCDE.

THÉORÈnE.

ZfeKx triangles ABC, abc sont semblables l® s'ils ont les côtés proportionnels; 2® s’ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels ; 3" s’ils sont équiangles entre eux.

1® Supposons qu’on ait AB : aô : : AC : ne : : BC ; bc. Fig. 70 . Prenons une droite db' égale à ab et parallèle à AB ; tirons kd Bô', qui se couperont en un point O; tirons OC ; menons du point b' la droite b'c', parallèle à BC, jusqu’à la rencontre de OC en c'; joignons dc\ Les droites OA, OB,

OC seront coupées proportionnellement en d, b', c' (p. 7), et le triangle db'd sera semblable à ABC (p. 1 3, c.). Donc , on a (p. 14)

AB : db' :: AC : de' : : BC : ô'c'.

Mais par hypothèse AB : ab :: AC : ac :: BC : bc.

Or, par construction, ab = db'; donc aussi dc' = ac, b'c'~bc, et les deux triangles abc, db'c' sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. Mais db'c' est semblable à ABC ; donc abc l’est aussi.

CÉOMF.TRIE.

2‘ Supposons que l’angle a soit égal à BàC et qu’on ait la proportion AB ab :: KC : ac. Ayant fait la même construction que dans le premier cas, on aura AB : 0 * 6 ' : : AC : a'c', d’où l’on conclura que ac — dé. De plus, l’angle h'dc' sera égal à BAC (p. 14) , et par suite à l’angle a; donc les deux triangles abc, db'c' ont un angle égal compris entre côtes égaux; donc ils sont égaux. Mais db'd est semblable à ABC; donc abc l’est aussi.

3® Soit l’angle a= BAC, l’angle ô=ABC,'et c=r ACB. Ayant encore fait la même construction , on aura dans les triangles semblables ABC, «'ô'c', l’angle A' «'c' = BAC , et par suite égal à a; de méme^ l’angle db'd — b. Donc les deux triangles abc, db'c' sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à des angles égaux. Mais le triangle db'c' est semblable à ABC; donc abc l’est aussi.

Remarque 1. Dans les triangles semblables, les côtés bomologues sont opposés à des angles égaux. Car le côté ab étant homologue à AB, les angles a et b, adjacents à ab, sont égaux à A et B adjacents à AB (p. 14); donc aussi les angles c , C, opposés aux côté» homologues db, AB , sont égaux.

Remarque^. Pour que deux triangles soient semblables , il suffit qu’ils aient deux angles égaux chacun à chacun. Car dès lors le troisième est aussi égal de part et d’autre (I. 1 , p. 20, c. 1) , et les triangles sont semblables.

Remarque 3. La proposition précédente prouve que , dans les triangles, l’égalité des angles est une suite de la . proportionnalité des côtés, et réciproquement. Il n’en est pas de même dans les figures de plus de trois côtés. Car Fig. 71 . pour ne parler que des quadrilatères, soit la figure ABCD;

si l’on mène à volonté la droite FE parallèle à DC, le qua- ' drilatère ABFC aura les mêmes angles que ABCD; mais comme le côté AB est commun , et que AF est différent de AD, les côtés adjacents aux angles égaux ne seront pas proportionnels. Ainsi, sans changer les angles, on peut

■ Digilized by ■