OD : OB

Corollaire, HéciproqaemeDt si Too a la proportion AO : CO : ; ,

OD ; OB , les 4 points A, B, C, D, seront sur une circonférence de cercle. En effet, par les trois points A, B, C, faisons passer une circonférence ; si elie ne passait point par D , elle couperait la droite CD en on antre point D', et d'après ce qu'on vient de prouver on aurait AO : OC : ; OD' ; : OB ; mais par hypothèse on a AO : OC : : OD : OB. Ces deux proportions prouvent qne OD = OD', ce qui est impossible, à moins que le point D' no se confonde avec D.

THÉORÈME

Si d’un point O pris hors d’un cercle on mène deux sé- pig, cantes, les segments comptés du point O sont réciproquement proportionnels, de sorte qu’on a OA : OC :: OD : OB.

Car si l’on tire BC, AD, les triangles AOD,BOC auront l’angle O commun , l’angle D égal à B , parce qu’ils ont pour mesure la moitié du même arc AC ; donc ces triangles sont semblables , et les côtés homologues donnent OA : OC ; : OD : OB.

Digilized by Googl

^8 GÉOMÉTIUE.

Remarqua 1. La réciproque eit vraie et le démontre comme celle de la proposition 22.

Remarqua 2. Les propositions 22 et 23 peuvent être toutes déni comprises dans l'énoncé suivant : routa circonférenca qui rencontre deux droites concourantes, les coupe de façon que les segments de l'une des droites sont réciproquement proportionnels à ceux de l'autre , ces segments étant prit à partir du point de concours.

Remarque 3. La proposition suivante peut être considérée comme un cas particulier de la 23', en supposant qne sur l'Une des sécantes les dent points d’i'ntersccUon se rénnissenl en un seul , de façon qu’elle devienne tangente.

TBÉORÈME. .

Fig. SO. Si d’un même point O pris hors d’un cercle on mène une tangente et une sécante , la tangente OA est moyenne proportionnelle entre les segments OB , OC de la sécante , tous ces segments étant comptés du point O.

Tirez AB , AC : les deux triangles OAB , OAC auront l’angle O commun; l’angle OAB du premier triangle étant forme par une tangente OA et une corde AB , a pour mesure la moitié de l’arc AB compris entre ses côtés (p. 5 , r. 2) ; l’angle C du second triangle a la même mesure. Donc ces deux triangles sont semblable» et leurs côtés homologues donnent la proportion demandée OC : OA : : OA : OB.

Corollaire. Si l'on a la proportion OC : OA : : OA : OB, les points B et C étant d'ailleurs situés du même côté du point O , la circonférebco menée par les trois points A , B, C , touchera la droite OA en A. Car si elle ne touchait pas OA , elle aurait avec OA un second point commun ; soit A' ce point; les droites OC , OA seraient des sécantes, et l'on aurait (p. 23} OC : OA : : OA' : OB; mais par hypothèse on a OC : OA : : OA : OB , et la comparaison de ces deux proportions exige qu'on ait OA' = OA. Donc le point A' se confond avec A, et la droite OA, ne pouvant avoir deux points communs avec la circonférence, est nécessairement une langoiile.