LIVRE III

PROBLÈME

Diviser une droite AB donnée de longueur, en mojrenne Fig. 81. et extrême raison, c’cst-à-dire en deux segments tels que le plus grand soit moyen proportionnel entre le plus petit et. la ligne entière.

A l’une des extrémités B de AB élevez à cette droite une perpendiculaire BC égale à la moitié de AB; du point C comme centre, et du rayon CB décrivez une circonférence , joignez AC , et soit D le point où cette droite coupe la circonférence; prenez AF égal à AD : la droite AB sera divisée au point F de la manière demandée.

En effet, AB, qui est perpendiculaire à l’extrémité B du rayon BC, est une tangente (1. 2, p. 6), et si l’on prolonge AC jusqu’âr la circonférence en E , on aura, d’après la proposition précédente,

AE: AB;: AB: AD ou :.AF, de là AE— AB ; AB : : AB— AF : AF.

Mais AB, étant double de BC, sera égal à DE , qui est aussi double de BC; donc AE — AB est la même chose que AE — DE ou AD ou AF; en second lieu AB — AF est la même chose que FB ; donc la proportion précédente devient

AF : AB :: FB : AF, et, intervertissant,