LIVRE I I

car d’un point 1, pris sur Al, menons deux transversales BG, CF ; joignons les points où elles coupent les côtés de l'angle, par les droites CB, GF ; ces droites prolongées se couperont sur la polaire du point I (p 41); donc AO est cette polaire ;

3° Chaque point de AC est le pôle de AB par rapport à l'angle OAI; car si d'un point G, pris sur AC, on mène une transversale GO , la polaire du point G doit couper GO barinoniqucmcnt entre Il et O (p'. 41); mais AB coupe OG de cette manière. Donc chaque point G de AC est le pôle de AB ;

4° Chaque point de AB est le pôle de AC, propriété que l'on prouvera comme on a fait pour les points de AI par rapport à AO.

Ainsi, parmi les 4 rayons d'un faisceau, si l'on en prend deux non consécutifs, chaque point de l'un de ces deux rayons est le pôle de l’autre par rapport à l'angle des deux autres rayons. Deux rayons non consécutifs ont reçu pour celte raison le nom de rayons coni ugués.

Corollaire 2. Si on prolonge OA vers O , et que du point O' on mène une parallèle à OL, cette parallèle sera coupée par les trois rayons AB, AI, AC, comme OL l'est par leurs prolongements. Donc les4rayons AB, AI, AC, AO' forment un faisceau harmonique. Concluons donc que 3 rayons consécutifs et le prolongement du 4' forment un faisceau ; que, par conséquent, en prolongeant les 4 rayons d'un faisceau, ce qui donneSrayons, on formera un faisceau chaque fois que parmi ces 8 rayons on en prendra 4 consécutifs, et comme on peut prendre chacun de ces 8 rayons à son tour pour le premier, il s’ensuit qu’on aura 8 faisceaux.

Corollaire 3. Les propositions 42 et 43 fournissent le moyen de résoudre avec le seul secours de la règle les questions suivantes ;

1» Étant donnés 3 rayons d'un faisceau, trouver le 4'. Parmi les 3 rayons, il y en a deux qui sont conjugués ; on cherche la polaire d'un point du 3' (p. 41) par rapport à l’angle de ces denx là, et l'on ‘ a le 4'.

2“ Étant donnés 3 points G, H , F d'un système harmonique, trouver le 4' point O, conjugué de H. La ligure 104 donne la solution.

3» D'un point I , pris sur le plan de deux droites BB', CC', mener une droite qui aille passer nu point d'intersection de BB' et CC', en supposant que ce point soit inconnu. On cherche le point O , et an moyen de cclni-ci , le point I', puis on lire la droite II'.

• (iKOMhTHIK.

THIiORÈMF.

Fig. lO.j. /.Cl deux e-rtrémilés <l’an diamèlre BD d'un cercle étant regardés comme deux points conjugués d'un système harmonique .V, H, C , D. les droites MA , MC qui joignent les deux autres points conjugués à un même point M de ta circonférence , seront entre elles ; : AB : BC.

Puisque A, B, C, I) forment un système harmonique , on a Al) : Cl) : : AB ; BC,

ou AO+01) : OD-f-OC ; ; AO-OD : OD— OC.

Comparant la somme et la difréreure des antécédents à la somme et à la difl'éronce des consequenis, on a

2 AO : 2 OU : : -2 OD : 2 OC, ou AO : OD : ; OD : OC ,

joignant MO , AO : OM : : O.M : OC.

Ainsi les deux triangles .\0.\t . CO.VI ont un angle commun en O, compris entre côtés proportionnels et sont semblahles; donc on aura aussi

AM ; MC : : AO : OM : : OM : OC, ou : : AO — OM ; OM — OC ;

c'est-à-dire .\M ; MC .VB : BC.

TtIKORÈME.

Fig. lOi'. chacun des points d'une droite .AB prise à volonté sur le plan

d'un cercle, pourvu toutefois qu'elle ne passe pas au centre O, ou mène deux tangentes AD, AK r 1° la sécante de contact ED coupera en un point invariable le diamètre FU perpendiculaire à la droite AB ; 2'’ toute transversale menée par ce point invariable sera divisée harsnoniquement par ce point . par la circonférence et par .AB.

t" Joignez .AO qui sera perpendiculaire à la corde DE (1.2, p. 2.3. r. 2j; lirez aussi le rayon DO. Les triangles OAF, OCI ont l'angle O commun; ils sont de plus rectangles, et par conséquent, sem- Idables , ainsi l'on a

l)C : OA : ; 01 : OF, il'où OFXOC = OIxOA.

I.c Iriaiij'lc ODA , rcc(an>;lc en D (I. 2 , p. lij, donnera d’ailleurs

— 1 — 3 on

ip. 20J OI X OA = OD; donc OF X OC = OD, d’où OC =-jjpr

Celte distance OC ne changera dune pas tant que le point A sera pris sur AB, puisque OF ne change pas, non plus que le rayon OD ; donc toutes les sécantes, telles que EU, passeront au point C qu’on nomme le pôle de la droite AU, par rapport â la circonférence; AB est appelée la polaire du point C.

2' Soit menée par le pôle la droite AQ ; je dis qu’on aura

AQXMC = AMxCQ.

Car de la relation OC = — on tire OF