H F GH

Il est donc prouvé que la droite .Al' passe en H ; donc les points I, I', etc., sont sur une ligne droite qui passe en A.

Reste à vérifier la même propriété pour les prolongements de B.A, CA , Or, soit une di'oile OL coupant ces prolongements; joignant MB', LC' qui se rencontrent en un point I", on prouvera que la droite AI' coupe harmoniquement OL en K et OC' en H" ; mais AI prolongé coupe aussi OC' de celte manière; donc AI' est le prolongement de AI"; donc les prolongements des droites B.A , lA ,

I I O r.hUMKTRU:.

CAcoupeolbarmoniquemcnt les traiisvursates iiiuiiées du poiulü.

II est évideot que si l'on mène une nouvelle transversale OP sur ces prolongements J et qu’on tire NL , MP qui se coupent en 1"', il est évident, dis-je , que AI'" coupera aussi OL harmoniquement, que AI''' passe ainsi eu K et se confon d avec AI". Donc, cnlin tous les points I, I , I", I'", etc., sont sur une seule et même droite.

En second lieu, on a prouvé que toute droite OP, Otl, etc., menées du point O, est coupée harmoniquement par les trois droites BA, .\I, AC prolongées indéfiniment.

• ÜÉFixtTiox XX. Le point O est nommé le pô'e de la droite .\l par rapport à l’angle B.iC, et .\[ est appelée la polaire du point O par rapport au même angle.

' * Défixitiox XXI. On appelle faisceau harmonique le système de

4 droites qui, partant d’un même point, divisent harmoniquement toute transversale qui les coupe.

" PKOPOSmON XLII.

THÉORÈME

Fig. loi. droite OA qui joint le pôle O au sommet de l'angle, forme avec

les deux côtés et la polaire un faisceau harmonique.

Il est prouvé que toute droite menée do pôle O, est divisée har- , moniquement par les4droitcs passent en .4 ; quant à une transver-

sale quelconque og, on pourra lui mener, par le point O, une parallèle OG, et l’un aura à cause des parallèles (p. 18) of: OF -.-.fh-. FH: : hg : IIG : : Oÿ : OG.

d’où o/'. FH = OF ./■/!. et Aÿ . OG = HG . Oÿ.

multipliant, on a of.hg. FH . OG = OF. HG. fh. og.

Mais OG étant divisé harmoniquement, on a FH. OG=OF. 110 ; un peut donc supprimer ces deux produits, et l’on a of. hg.=fh. og. ce qui montre que la droite og est divisée harmoniquement par les rayons qui partent du point A.

Corollaire 1. Il suit des deux théorèmes précédents que :

1° Chaque point de la droite indéOnie AO est un pôle de Al par rapport à l’angle BAC; car la polaire du point o, pris sur AO, doit diviser harmoniquement la droite og; elle se confond donc avec .\II :

•2" Chaque point de AI est le pôle de AO par rapporta l'angle BAC;