AQ : AM : : CQ : MC

Corollaire 1. Réciproquement, n d'un point C pris tur le plan d’an cercle on mène une sécante quelconque ED, et qu'aux points E, U, où cette sécante coupe le cercle, on mène deux tangentes, te lieu de l’intersection A de ces tangentes sera une droite perpendiculaire au diamètre mené par le point C. Car on trouvera comme ci dessus

„ , — » ôd’

0FX0C = 0D ou OF = — ;

donc le point F est invariable tant que le pointC ne change pas, et

1 I 4 bKOMKTRIb.

par suile le puinl A reste sur la luèmc droite AF, perpendiculaire à OC.

Fig. 107. CoroUairei. Si le pôle A est hors du cercle, la polaire PQ coupe la circonférence en deux pointsM, K, et les droites AM, AK, qui joignent ces deux points au pôle , sont tangentes à la circonférence Car d'après ce qu’on vient de montrer, le produit de AO par la distance du centre à la polaire est égal au carré du rayon ; donc si AO est plus grand que le rayon, la distance de la polaire an centre est moindre que le rayon. Soit ON cette distance , ta polaire sera une per-

pcudiculaire élevée en N à AO, et si on joint MO, on a NOxAO=::MO ou NO : MO : ; MO : AO , proportion qui prouve que dans les triangles MNO, MAO l'angle commun en O est compris entre côtés proportionnels; ces triangles sont donc semblables. Mais dans le triangle MNO , l'angle opposé à MO est droit ; par conséquent , dans le triangle AMO , l’angle AMO opposé à AO est droit aussi , et la droite MA , perpendiculaire à MO , est tangente. Il en est de mémo de AK.

THÉOBÈHE.

Fi g. 107. D’un point A , pris sur le plan d'un cercle , on mène deux transversales AG , .\H ; on joint deux à deux les points I , F , G , H , où ces transversales coupent la circonférence ; les droites . ainsi obtenues. se coupent en deux points L, P, dont le lieu sera la polaire du point A.

Joignons PL qui sera la polaire du point A par rapport à l'angle FPG, et divisera harmoniquement la sécante AH (p. 41) au point B situé entre I et H ; mais la polaire du point A par rapport à la circonférence, divise la sécante AH de la même manière, et passera par conséquent par ce même point B. Par une raison semblable , cette dernière polaire passera aussi an point C où AG est coupée par PL. Donc la polaire du point A , par rapport au cercle, passe en B et en C, et se confond avec PL.

Corollaire. On saura, d’après cela, mener la tangente au cercle par un point extérieur avec le seul secours de la ligne droite. Soit A ce point; on en cherchera la polaire PQ qui coupera la circonférence en deux points M , K ; joigqant ces points au point A , on a les tangentes cherchées AM , AK (p. 44, c. 2).

UVHK III.

THÉORÈME

Soit ABCD un quadrilatère intcrit dans un cercle . EFGU le qaa- fig, 108. drilatère eireonscril ayant pour côté/ les tangentes aux sommets du premier ; si J’on prolonge les côtés opposét de chacun de res quadrilatères et qu'on mène les 4 diagonales :

1° Les points d'intersection M , I , K , L , des côtés opposés sont en ligne droite;

2" Les 4 diagonales DB, AC , FH, EG se coupent en un même point O, et chaque diagonale du quadrilatère circonscrit passe par le point d'intersection de deux côtés opposés du quadrilatère inscrit ;

3° Enfin , toutes le» fois que quatre droites de cette figure concourent au même point , elles forment un faisceau harmonique.

1° Gbercbone , par rapport au cercle , la polai re du point O où ee coupent les diagonales du quadrilatère inscrit. A cet effet on prendra les transversales BD, C.V menées par ce point; on joindra deux à deux les points A, B, C, D où elles coupent la circonférence; les droites AB, CD. AD, BC , qui les joignent , sont les côtés du quadrilatère inscrit, et déterminent par leurs intersections L, I, deux points de la polaire cherchée (p. 45). Hais la sécante AC passant au pôle O, les tangentes FK, EK, menées aux points où elle coupe la circonférence , se coupent également sur la polaire du point O (p. 44) ; il en est de même des tangentes en D et B. Donc les 4 points H, I, K, L so trouvent sur la polaire do point O, et sont en ligne droite.

2° Pour chercher la polaire du point L au moyen des sécantes LC, LB, il faudra joindre deux à deux les 4 points d’intersection de ces droites et de ia circonférence, ce qui donnera les droites CA,

DB qui se coupent en O, et les droites AD, BC qui se coupent en 1, et ces points O, I seront sur ia polaire du point L. Mais la sécante LC détermine les points D, C, et les tangentes en ces points se coupent en un point G, situé aussi sur la polaire du point I. Par une raison semblable, le point E, intersection des tangentes en A et B, est sur la polaire du point L. Donc les 4 points I , G , O, E sont en ligne droite, ou , ce qui revient an même, la diagonale GE du quadrilatère circonscrit passe an point O, intersection des diagonales du quadrilatère inscrit, et au point I, intei section des côtés opposés AD, BC de ce quadrilatère; ces côtés se distinguent en ce que cha-

’GÉOM^RIE.

cnn d’eux joint les points de contact A, D ou B, C de deux tangentes non adjacentes A une extrémité de la diagonale GE. En prenant le point I pour pôle, on reconnaîtra de même que les 4 points L, II, O, F sont en ligne droite.

3° Les 4 droites qui concourent en L, forment un faisceau harmonique. En effet, cherchant la polaire du point I par rapport A l’angle GLB, on trouvera qu'elle se confond avec LF (p. 41); donc (p. 42) les 4 droites dont il s'agit, forment un faisceau. De même El est la polaire du point L par rapport à l’angle AIB, et par suite, les Adroites qui concourent en I, forment un faisceau. Enfln, Ie faisceau harmonique L déterminant sur la transversale IB un système harmonique I, C, N, B, on en conclut que les 4 dVoitos 10, CO, NO, BO, qui concourent en O, forment aussi un faisceau.

Bemarqut. La polaire d’un point 1 d'une droite IL, par rapport au cercle , passe par le pôle O do cette droite. Car si du point I on mène deux sécantes IB, IA, les tangentes en D, A, déterminent un point 11 de la polaire du point I ; le point F est de même un point do cette polaire; et la droite IL a évidemment pour pôle le point O qui se trouve sur HF. Donc , si sur le plan d’un cercle on trace tant de droites qu’on voudra, et qu’on en prenne les pôles, autant il y aura de droites qui passeront en un même point , autant il y aura do pôles en ligne droite ; car si trois drojtes a, a', a" se coupent en on point cc, la polaire du point « passe par le pôle do la droite a, puisque le point a est sur a ; de même, la polaire du point a. passe par les pôles des droites a‘. a". Donc ces trois pôles se trouvent sur la polaire du point c’est-A-dire sur une droite.