LIVRE V

s'achever que d'une manière ; car dans l'un et l'autre les angles dièdres sont donnés, ainsi que le sens dans lequel ou doit les prendre. Par SC on fait donc passer on plan qui comprenne avec SCB, à droite , un angle dièdre BCSD égal au second dièdre donné , et on fait l'angle CSD égal à la 3*^ face; par SC' on mène un plan qui comprenne avec le plan C'SB, à gauche , un dièdre D'SC'B égal à DSCB, et dans ce plan on fera l'angle C'SD'=:CSD; en continuant ainsi, on formera les deux angles polyèdres qui peuvent répondre 4 la question. On n'en trouvera jamais plus de deux : car s'il en existe un troisième , superposons ASB par les arêtes homologues, avec la face qui lui est égale dans ce troisième angle ; la face égale à CSB tombera ou sur celle-ci on sur C'SB, puisque l’angle dièdre qu’elle fait avec ASB est égal à ASBC ; à partir de là , la superposition aura lien avec l'on on avec l’autre des deux angles déjà formés. Ainsi avec des faces ét des dièdres donnés de grandeur et do position relative on ne peut jamais former plus de deux angles polyèdres. Que si l'un des deux était construit et qu'on demandât de faire l’autre , il suffirait de prolonger au delà du sommet toutes les arêtes do premier. C’est ce qu'on reconnaîtra ici, comme on l’a vu pour l'angle triédre flg. 16à.

Deux angles polyédrps qui ont tous leurs éléments égaux et placés comme on vient de l'expliquer, sont appelés symétriques. Un angle polyèdre est superposable avec son symétrique , toutes les fois gu’il est possible de le décomposer lui-méme en deux angles polyèdres symétriques , au moyen d’un plan mené par le sommet.

Si d'un point pris à volonté on mène des parallèles aux arêtes d’un angle polyèdre , chacune dans le même sens que l'arète correspondante , on formera un angle polyèdre égal an premier ; si on les mène en sens contraire, on obtient le symétrique de l'angle donné.

THÉORÈME

Avec trois faces données, dont chacune est moindre que 180°, on peut toujours former un angle triédre, pourvu que chacune d'elles soit moindre que la somme des deux autres, al que ta somme des trois faces soit moindre que 180°.

Parmi les trois faces données on en choisira une qui ne soit pas Fig. 167.

GÉOvirHIE.

moindre que chacune des deux autres. Soit BAC cette £sce ; sur BA on placera l’angle BAD égal à Tune de ces doux-là , et sur AC l’angle* CAE égal à la troisième , l’un et l'autre dans le plan de BAC. Du point A comme centre et d'un rayon arbitraire AD décrivez un cercle; du point D où il coupe DA abaissez sur AB la perpendiculaire DD' : l'arc BD' sera égal à DB; de même du point E menez EE' perpendiculaire à AC; l’arc CB' sera égal à CE. Or comme l’angle BAC < BADH-CAE, l’arc BC sera aussi <BD-|- CE ou que BD' + CE' ; ainsi le point E' tombera au delà de D' par rapport au pointe ; d’ailleurs puisque l’angle BAC n'est surpassé ni par l'angle CAE ni par BAD, les points D' E' ne dépassent pas les extrémités de l’arc BC. Eniln , la somme des trois angles donnés étant moindre que quatre droits, le point E ne sera pas situé entre les points B et D. Donc les points E, £' sont de difTérents côtés de la corde DD', de sorte que les deux cordes DD', EE' se couperont dans le cercle en un point I. Par ce point I élevez au plan BAC une perpendiculaire IK ; par IK'et par DD' imaginez un plan, et dans ce plan décrivez du .point G comme centre avec le rayon GD on arc qui coupera celte perpendiculaire IK. en un point K, puisque GD ou GD' > GI ; joignez KA ; je dis que ABKC sera l’angle trièdre cherché. Car puisque GK=GD, que AG est commun et que les angles AGD, AGR (p. 6) sont droits, on aura AK=AD et l’angle GAK = GAD. J oignant KH , on aura aussi on angle droit KH A ( p. 6 ) , et les deux triangles AKH, AHE seront égaux ; car outre les angles droits en H , ils ont le côté AH commun , les côtés AK , AE égaux entre eux comme égaux à AD ; donc l'angle KAH=HAE, et l’angle trièdre ABKC est formé avec les trois faces données.

Si an lien de la face BAD on donnait la face B.AF telle, que BAC fût >BAF- 4 -CAE, la perpendiculaire FF' menée du point F sûr AC ne couperait pas EE' dans le cercle, et la construction serait impossible , ce qui est d’accord avec la proposition 20.

La figure 168 représente la construction dans le cas où les trois angles donnés sont obtus.

Fig. 169. Si la somme. des angles donnés est plus grande que 360*, la construction ne réussit pas non plus, en supposant chaque face moindre que 180°. Soient BAC, BAD, CAE les trois faces , BAC n'étant inférieure à aucune des deux autres. Du point A comme centre et d’un rayon arbitraire on décrit encore une circonférence. Puisque aucune des faces ne surpasse 180'^, les points E, D ne seront pas

LITRE V

aur l’arc BC ; l'arc BD sera d’aillears > BE, et si l'on prend BD' =

BD , CE' = CE , on a ausai BD' + CE' > BC. Ainsi les points E , E' tombent du même côté de la corde DD', de sorte que les cordes EE', DD' ne se couperont pas dans le cercle.

Htmarqu». Si l'on donne trois Taces a,h.c, dont l’une a soit plus grande que 180°, on cherchera à construire l'angle trièdre dont les faces sont 360° — a, h. c. On opère de même si deux des faces, ou si les trois , sont plus grandes que 180°.

THÉORÈME

Si d’un point o, pris dans un angle trièdre convexe Tig. ilO. OABC , on abaisse sur les trois faces AOB, AOC , BOC des perpendiculaires oc, ob, oa, on déterminera un nouvel angle trièdre convexe oabc dans lequel les faces aob, boc, aoc sont les suppléments des dièdres OC, OA, OB, tandis que les dièdres oa, ob, oc sont les suppléments des faces BOC, AOC, AOB.

Soient a, b, des pieds des perpendiculaires oa, ob, oc sur les faces respectives BOC, AOC, AOB; par ces perpendiculaires, prises deux à deux, menez les plans aob, aoc, boc qui couperont les arêtes de l’angle trièdre O en des points C, B, A; joignez Ab, Ac, Ba, Bc, Ca, CA.

Je dis d’abord que chaque arête de l’angle O est perpendiculaire à une face de l’angle o. En cfret,'le plan aob est perpendiculaire au plan AOC, comme passant par une droite ob perpendiculaire à ce dernier (p. 15); le même plan aob est aussi perpendiculaire au plan BOC, comme passant par la droite ao perpendiculaire à celui-ci. Donc les deux plans AOC, BOC sont perpendiculaires au plan aob, et, par conséquent, leur intersection OC est aussi perpendiculaire au plan aob (p. 1 8). On prouvera de même que l’arête OB est perpendiculaire au plan aoc, et que OA l’est au plan boc.

Cela posé, la droite oc, perpendiculaire au plan AOB,

l’est aux droites kc, Bc menées par son pied dans ce plan ; donc l’angle ÂcB formé par deux perpendiculaires menées à un même point de l’arète oc, dans les faces kco, Bco, mesure le dièdre co (p. 19); mais AO étant perpendiculaire au plan cob, l’est à kc, située dans ce plan; ainsi l’angle OAc est droit; de même l’angle OBc est droit. Donc le quadrilatère BOAe a deux angles droits en A, B , et par suite l’angle AOB, face de l’angle trièdre O, est le supplément de l’angle AcB qui mesure le dièdre oc de l’angle o. On démontrera de même que la face AOC est le supplément du dièdre ob, et la face BOC est le supplément du dièdre oa.

De même, puisque l’arète AO est perpendiculaire au plan boc, elle l’est aux droites kb, kc, dont l’angle bkc mesure, par conséquent, le dièdre AO. Or bo étant perpendiculaire au plan AOC, l’angle kbo est droit; par une raison semblable l’angle kco est droit; donc, dans le quadrilatère bock, l’angle bkc qui mesure le dièdre AO est supplément de boc, face de l’angle o. On reconnaît de même que les dièdres BO, CO sont les suppléments respectifs des faces aoc, aob.

Remarque. Puisque l’angle boc est le supplément de bkc, si l’on prolonge bo vers b\ l’angle b'oc sera égal à bkc : donc l’angle formé par les perpendiculaires menées d’un point, aux faces d’un dièdre AO, et celui qui mesure ce dièdre sont égaux ou supplémentaires.

Défiiution IX. Les deux angles trièdresOet o sont diu supplémentaires l’un de l’autre.

théorème.

Deux angles trièdres qui ont le» dièdres égaux chacun à chacun sont égaux ou symétriques.

Car, puisque dans les doux angles trièdres proposés les dièdres sent égaux chacun à chacun, les trièdres supplémentaires auront