LIVRE V

par rapport à la face commune ASD; donc les deux angles trièdres sont symétriques. Il s’ensuit que si par un point quelconque on mène des droites parallèles aux arêtes d’un angle trièdre, toutes dans le même sens, on formera un second trièdre égal au premier; si on les mène toutes en sens contraire, le second est le symétrique du premier.

2° Soit SABC l'angle trièdre ; d’un point C, pris à volonté sur une Fig. 165. arête SC , menez sur la face ÂSB la perpendiculaire CD, qui rencontre cette face en nn point D; prolongez CD de l'autre côté de cette face , à une distance DC' égale à DC; joignez SC' ; l’angle SABC' sera symétrique de SABC. Car si du point D on mène nnc droite quelconque AB , qui rencontre SA, SB en des points À., B, qu’on joigne ces deux points aux points C, C', les droites AC, AC' seront égales. En effet, CC' étant perpendiculaire au plan ASB, l’est à la droite AB ; de plus CD=:C'D. Les deux obliques AC, AC' s’écartent donc également de la perpendiculaire et sont égales. De même SC = SC', BC = BC'. Par conséquent les triangles ASC , ASC' sont équilatéraux entre eux et les angles ASC, ASC' sont éganx. Pareillement les angles BSC, BSC' sont éganx. D’après cela les deux angles trièdres SABC , SABC' sont compris sous des faces égales chacnne à chacune. La superposition par deux arêtes homologues est déjà faite , et les arêtes SC, SC' tombent de part et d’autre de la face commune. Donc les deux angles trièdres sont symétriques. 11 est évident maintenant que si un angle trièdre saàc se compose de faces égales à celles de SABC , ce nouvel angle sera superposable soit avec SABC , soit avec son symétrique SABC', Car si l’on suppose que les faces désignées de part et d'autre par les mêmes lettres soient égales , et que l’on place sa sur SA , tb sur SB ; comme l’angle dièdre caaé=:CSAB = C'SAB, esa coïncidera ou avec CSA ou avec C'SA, et l’angle trièdre t coïncidera soit avec SABC, soit avec SABC'. De là on conclut qn’avec trois faces données on peut former tout an plus deux angles trièdres, symétriques l’un de l’autre.

Remarque 2. Pour établir d’une manière précise les propriétés Fig. 166. des angles polyèdres, convexes ou non, on va poser une convention sur la manière de compter les angles dièdres. Soient deux plans ASB, BSC qui se terminent à leur intersection; traçons dans

ces plans deux arcs de cercle AB, BC du centre S et d’un rayon arbitraire; en un point a de AB élevons au plan ASB une perpendiculaire be que nous prolongerons de part et d’autre de quantilés arbitraires en 6 et c; si l'on suppose en a un spectateur qui regarde le point B, ayant ta télé plus près do point S que les pieds, il aura le point c à sa gauche , le point b à sa droite. Supposons que cette perpendiculaire se meuve vers B, puis que le point a passe sur BC sans traverser aucun des deux plans , de sorte que le point b prendra la position b', le point c viendra en c'; l'angle dièdre que le point b n'aura pas quitté sera appelé l'angle de droite ou l’angle formé à droite; celui que le point c n’aura pas quitté sera appelé l'angle de gauche. Lorsqu'il s’agira des angles dièdres d'un angle polyèdre , nous supposerons qu'ils soient pris , ou tous à droite, ou tous à gauche; mais il foudra supposer que le centre commun de tons les arcs soit au sommet S.

Dans un angle polyèdre convexe , les angles dièdres pris dans un sens convenable sont tous moindres que 180°; un pareil angle polyèdre peut être regardé comme ayant un intérieur et on «jcférieur. Un angle polyèdre non convexe a dos angles dièdres plus grands, d'antres plus petits que 180°; il n’est pas toujours possible de trouver un plan qui coupe toutes les arêtes d’un pareil angle polyèdre, elles mots tnlértaur. extérieur, appliqués dans ce cas, pourraient n'avoir qu'on sens fort vague. Supposons maintenant qu'on donne un système do faces qui doivent se suivre dans un ordre déterminé, et que nous nommerons à partir de l’une quelconque, l'', 2°, 3% etc., face; supposons de plus que chaque face doive comprendre avec la suivante on angle dièdre donné , ces angles étant pris tous à gauche , ou tous à droite. Je dis ; 1° qu’il est impossible de former plus de deux angles polyèdres qui remplissent ces conditions ; 2° que s'il est possible d’en former un , il est aussi possible d'en former un second qui n'est superposable avec le premier que dans un certain cas que nous préciserons plus bas.

1° Soit ASB la première face donnée ; il s'agit d'assembler d'abord avec celle-ci, par l'aréte SB, une seconde face faisant avec elle un angle dièdre donné, ce qui ne peut se faire que de deux manières ; soient SBC , SBC' ces faces dont la première fait avec ASB l’angle donné , è droite , la seconde à gauche ; dans ces plans on fait avec SB les angles CSB, C'SB égaux à la seconde face donnée. Maintenant chacun des angles polyèdres commencés ne peut