VS DES SURFACES ALGEBRIQUES

en vertu de la formule de Slokes qui, comme nous l'avons remarqué à la fin du paragraphe 1, s'applique tout aussi bien au cas où x, y et, par suilev z sont des variables complexes. Et d'ailleurs l'intégrale (i3) n'est pas précisément attachée à S en ce sens qu'elle restera invariante si, S étant sur (ii) une cloison à frontière bien déterminée C, on remplace cette cloison par une autre ayant simplement même frontière.

Bref, il y a des raisons pour ne pas considérer (i3) comme une véritable intégrale double attachée à la surface (i i). Parmi d'autres, on ne la comptera point et des intégrales (12) ne seront considérées comme distinctes; que si elles ne font point partie d'une forme linéaire, à coefficients constants, égale à une intégrale (i3). L'étude de telles distinctions conduit évidemment à chercher si une fonction rationnelle ^(.r, j', z) peut se mettre sous la forme

Fr

d àx

Nous retrouvons ici, sous des espèces plus précises, le problème des invariants intégraux géométriques illustré, au Chapitre II, par d'élégants exemples. Il était alors intéressant, et d'ailleurs relativement élémentaire, de constater que certaines intégrales doubles, à origine géométrique (telles les difiérences de volumes à facette commune, les angles spatiaux, les aires sphéro-coniques de M. Ilumbert, les volumes canaux de M. Kœnigs, les sommes abéliennes de volumes coniques, etc.), se résolvaient finalement en intégrales de ligne. Ici il faut se poser des questions analogues pour distinguer et classer les intégrales doubles attachées aux surfaces algébriques, mais avec des difficultés nouvelles, spéciales et très grandes.

L'expression (14) ne perd rien de sa généralité en supposant R=:o; on peut même alors l'écrire

-^(l(T,jr,z)-±P(.r,y,z),

mais ce ne sera qu'une convention abréviative puisqu'il faudra, en effectuant les dérivations partielles, traiter z comme fonction de a: el y définie par (11).

Et, en cherchant si 'l>{x, y^ z) peut prendre la forme (14),

TII.WAIX l)K M. l';. PICAHD. <i5

il ne faudra pas oublier (jtte P, Q, K pourront avoir des infinis qui ne seront indiqués en rien par la forme de O.

Ainsi la formule (7), quand a„; est rationnel, donne des intéi,M-ales doubles (12), de construclion rationnelle, attachées à une surface (11) qui a alors pour é([ualion z- z=: f{x)f{y).

Gomme nous l'avons déjà dit, il y a, sous une telle intégrale double, un quotient de \ {x, y) par {x — a„j)^ qui, considéré comme elfeclué, peut ne conserver aucune trace du diviseur.

I^a difficulté soulignée est de beaucoup la plus redoutable dans le problème du dénombrement et de la classification des intégrales doubles algébriques.

D'ailleurs, ces questions renferment non seulement des difficultés, mais encore des propositions d'apparence paradoxale. Ainsi des quotients de \{x,y) par {x — oc,„)'peuvent non seulement perdre la ligne d'infini x = «„,, mais encore l'admettre pour ligne de zéros. C'est le cas du V(±, /) de (7) qui est divisible non seulement par (.r — a,,,)' mais par {x — a„j)^; il s'ensuit naturellement que le \ {x,y) de (10) esl divisible par {x — yy.

Ainsi, si l'on considère des formules de réduction entre intégrales de surface, revenant à des égalités entre intégrales (12) et (i3). il peut arriver non seulement que *t>{x,y,z) ne contienne pas des lignes d'infini contenues dans P,Q,R, mais que ces lignes d'infini soient lignes de zéros pour ^{x.y^z) .

Ce paradoxe, quand il existe, doit évidemment avoir quelque avantage ; les lignes d'infini de P,Q,R ne sont plus aussi profondément cachées puisqu'on peut les chercher parmi les lignes d'évanouissement de <I>.

Que de recherches s'imposeraient encore sur de tels points !

3. Résultats de M. E. Picard. — Nous n'avons point fait de citations, dans les trois derniers paragraphes, pour interrompre le moins possible des raisonnements délicats; en fait, les citations doivent renvoyer toutes aux Fonctions algébriques de deux variables indépendantes de M. Emile Picard qui, dans cet imposant Ouvrage, a d'ailleurs mentionné la part due à des elTorts venus de l'école italienne.

L'exposé des pages précédentes ne fait que représenter des résultats de M. Picard avec l'intention d'élémentariser le plus possible un sujet qui cependant ne peut l'être beaucoup.

C'est ainsi que nous avons rattaché les théorèmes d'échange à l'identité fondamentale (A) et essavé quelques comparaisons avec les problèmes géométriques du Chapitre II.

CAS l)i;8 SLHFACES ALGKUHly L Eï^.

Disons que nous venons d'essayer d'exciler l'intérêt en présentant comme curieuses, exceptionnelles ou même paradoxales des propriétés qui sont plutôt normales parmi les intégrales doubles algébriques que M. Picard dit être de seconde espèce. Le célèbre géomètre leur accorde une prédilection marquée et c'est cerlainetnenl sur celles-ci qu'il convient de concentrer le plus d'eflforts.

La question consistant à mettre C> sous la forme (14), qui peut paraître si simple au premier abord, tient la plus grande partie du Tome II des Fondions algébriques. Ce n'est donc pas dans le modeste et présent opuscule qu'il faudra l'étudier, mais j)eut-êlre y aurons-nous conduit quelques lecteurs nous avant d'abord suivi en des pages beaucoup plus élémentaires.