CHAPITRE V

L\ KORMULE r)E SlOKIÎS SUK l-ES SURFACES ALGÉBRIQUES.

Travaux de M. Emile Picard.

1. Le théorème de Cauchy-Poincaré. — On sait que le lliéorème de Cauchv sur la nullité de l'intégrale de f{z)dz le long d'un contour fermé a été étendu par Henri Poincaré aux fonctions de deux variables complexes {Acta math(Smatica, t. IX). Depuis, le théorème a été repris et réexposé de bien des manières; nous réexposons ici et très brièvement une démonstration qui repose sur l'identité fondamentale (A).

L'identité (A.), du Gliapitre I, conserve évidemment un sens si l'on y pose

car on peut alors la scinder en quatre formules dont chacune, exprimée en x et y, est une formule de Riemann (B) où tout est réel et qui peut être établie comme (B) l'a été d'abord.

On peut maintenant imaginer, dans (A), une substitution analogue à ( i ), mais faite en deux fois. On considérera d'abord deux variables complexes

u = Ui{x,y)-\- iuî(x,y), v = t'i(a-, r)-hii>2{^, y),

puis l'on posera

X = X(w, (.') = X,(a,, 1*2; Vx, f.2)-l- îXaCwi, «2;*^!, Cs), Y = Y(î/, r) = Y, (i«i, ?«.,; p,, v^) + iY2 («i, u^; fi, ^2).

Finalement, X et Y sont bien exprimables en x q.\. y puisque «j, Wj, fj, t'a sont fonctions de x et y. Mais, si l'on passe seulement de X, Y à u, r, on a une formule de Riemann :

Scientia.. n" 36.

5S CAS DES SrilFACES AI.GÉBRIQCES,

OÙ S est la variété (à deux dimensions dans l'espace à quatre)

(■]) ii^ = u^{x,y), Vi = Vi{x,y), it^ — Uî{T,y), Vt=Vtix,y),

variété dont le contour Cdépendra d'une relation convenable établie entre .r el y.

Or la parenthèse de l'intégrale double de (2) est une fonction quelconque de u et c, soh f{u, c). Nous venonsdonc de redéfinir l'intégrale double d'une fonction de deux variables complexes étendue à une variété S ou, pour mieux (lire, à une cloisoti S appartenant à la variété (3), cette intégrale double ne dépendant que du contour C de S.

Ceci redonne immtdialen)eiil le lliéorème de Oauchy- Poincaré et est même un peu plus complet.

Si,, dans l'espace à quatre, on considère une variété à deux dimensions fermée, on peut diviser celle-ci en deux parties, A et B, séparées par une frontière C. Les intégrales de /{u. i-)àndi' prises sur A et B, du côté extérieur à la va riété, seront égales en valeur absolue mais de signes contraires; leur somjrie sera nulle. Donc r intégrale de /{u, v)dudi\ prise sur toute une variété à deuoc dimensions fermée dans l'espace à quatre, est nulle. C'est la forme généralement adoptée pour le théorème en vue.

Mais, d'une manière un peu plus générale, ou peut demander quelle est la valeur de la même intégrale double «juand on intègre non sur toute la variété fermée, mais seulement sur une portion de cette variété, portion limitée par une frontière fermée C. La réponse est alors donnée par la formule (2). El il est fort remarquable que le théorème de Caucliy-Poincaré et la formule de l'uemann convenablement interprétée puissent être considérés comme choses identiques.

La démonstration précédente s'étend sans peine aux fonctions de n variables complexes.

De plus, non seulement la formule de Biemann, mais la formule de Stokes et toutes les extensions indii|uées au Chapitre 1, subsistent quand on imaginarise les variables. En bloc, ceci résulte du fait que ces formules correspondent à l'identité (A) par des transformations qu'on peut toujours considérer comme analvtiques.

2. Les transformations singulières de l'identité fondamentale.— Non seulement le théorème de Cauchy-Poincaré, mais, en somme, tout ce qui est exposé dans le présent opuscule est rattaché aux transformations de l'identité

TRAVAUX nE M. É. PICARD. 3',)

fondamenlale (A). Mais les transformations employées jusqu'ici ne l'ont été, pour ainsi dire, qu'en l>loc, sans aucun délnil distinguant quelque»-unes de ces transformations parmi Tensemble. La question des singularités, notamment, n'a jamais été envisagée. Il resterait cependant à faire sur ce point une œuvre capitale.

Soit la transformation

qui est absolument quelconque et générale à cela près que, dans X, on a mis en évidence la ligne d'infini x r= a {y).

Le déterminant de cette transformation, lequel s'introduira dans l'intégrale double transformée de l'intégrale double de (A), s'écrit sans peine

{x — ay-

avec a et y.' représentant respectivement a(y ).el a'(j').

Sans aller plus loin, un premier point doit retenir l'attention. La ligne cV infini introduite dansX n'existe pas forcément dans \\ car le numérateur de A peut être divisible par (x — y.)-.

Les conséquences de ce fait sont prodigieuses et absolument hors de proportion avec l'impression très élémentaire que donne la constatation soulignée quand on ren\i?age pour la première fois. Ainsi cette constatation conduit très directement au théorème d'' échange du paramètre et de l'argument qui, combiné avec le théorème d'Abel sur les sommes symétriques de diirérentielles algébriques, donne la solution, selon Weierstrass, du problème de l'inversion.

De plus, le même fait crée la principale et énorme difficulté relative à la détermination du nombre de certaines intégrales doubles distinctes attachées à une surface algébrique.

Mais reprenons la question où nous l'avons laissée.

Pour que le numérateur de A soit divisible par x — y., la condition est

Pour exprimer que ce même numérateur est divisible par {x — a)-, nous écrirons que sa dérivée partielle par rapport à x s'annule pour ar=a(y). Tenant compte du résultat déjà obtenu et omettant d'écrire des termes manifes-

(»0 TAS I)KS SIRFACES AI.GKBRIQL'ES.

lemenl nuls pour jc = a, on a une seconde condition qui peut s'écrire

ou bien

en désignant par C une constante arbitraire. I.a combinaison des deux conditions trouvées nous en donnera une troisième que nous écrirons par raison de symétrie et nous aurons ce théorème :

Le déterminant A ne eon tient pas la ligne d^injin i.x^izct. ( r ) fjLiand sont satisfaites deux quelconfjues des trois conditions

3. Exemples. Échange du paramètre et de l'argument. — Appliquons les formules (5) à la réoblention d'un résultat connu. Dans (4) prenons d'abord

et considérons Téquation différentielle (6) • d^-- ""^ ''"

\/fiy) \/j\^)

dont nous supposerons connue une solution particulière

Il nest pas nécessaire de préciser dès maintenant la nature de/ et de a,,,.

Avec ces Y et am la première équation (5) est identiquement satisfaite. Aux O donnés ensuite par les deux autres équations (5) correspondent deux formules non distinctes qui ajoutées (la première étant multipliée par m) donnent

fxd^= ff Xi:!l^^-^>

'J\^)J'yy)

TRAVAUX DE M. É. PICARD. Gl

en désignant par V(>r, y) l'expression

(x — y.,„)[ ne-f'(x) 4- 2a;,/(7) -(- :i.',nf'{y )J — ini'-f{x) + ii!'J{y)

et en posant alors

D'ailleurs, la formule (7) étant écrite, il est bien simple de la vérifier en faisant la substitution (8) dans l'identité fondamentale (A). On vérifie ensuite, tout aussi facilement, que V(a7, y) est divisible par {x — <x,„)-.

Nous sommes donc en possession d'une formule (7) du type exceptionnel dont l'existence a été indiquée au paragraphe précédent. Si l'on met le premier membre de (7) sous la forme

V dx-hQ dy,

les coefficients P et Q ont la ligne d'infini o' r= a„„ ce que le second membre n'indique plus si la division de \ (>r, y) par {x — oC/nY peut être effectuée.

Avant d'aller plus loin, insistons sur le cas où m = i.

La solution ce ^ ix„,{y) peut être simplement a; i=i' et le premier membre de (7), à un terme près qui est l'intégrale d'une différentielle exacte, peut maintenant s'écrire

, . r yZ/'l X ) dy f \/f( y ) dx

Je ^^-y)\^J\y) J i:,{^—y)\/j\x) Cette différence d'intégrales symétriques est égale à (10) - f f J(£iZl£^^^^^

V{x,y) = {x-y) [f(x) +/'(7)] - if{x) ~- if (y).

Si f est un polynôme, la division de V(a;,y) par {x — y)est évidemment possible en termes finis; si^ déplus, C est un rectangle à côtés parallèles aux axes Oxy, l'intégrale

Gl CAS DES SL «FACES ALGKBRIQIES.

double (lo) esl une somme de produits de la forme .r'" dx r )'" dy

/.r'" dx r y" dy \/j\x)J \/j\y)

et, par suite, il en est de même de la différence (9).

Tel esl, entre intégrales hyperellipliques, le théorème d'échange du paramètre et de l'argii ment.

Ce théorème a été aperçu par Legendre, au moins dans le cas des intégrales elliptiques; il fut ensuite l'objet de développements considérables dus s urjLou ta Abel, Jacobi, Weierslrass. Hermite. On le trouvera, sous la forme que nous venons de rappeler, dans les 6!C//r/-e.v de Charles Hermite (t. II. p. 202).

Observons aussi que l'égalité des expressions (9) et (10) peut être obtenue directement en eflecluant la transformation

^ f-.x) fi. y ) r- dy r' dx

sur l'identité ( A).

Enfin reprenons (7) pour mettre en évidence un point qui est encore d'importance primordiale : les égalités telles que (7) tendent à se séparer en catégories dont l'existence dépend de conditions de nature arithmétique.

Précisons l'hypothèse de y polynôme en admettant que ce polynôme soit du troisième degré.

Alors (6) esl l'une des formes de Téqualion dilîérentielle relative à la multiplication des fonctions elliptiques. Si m est entier, il y a multiplication ordinaire: mais pour certaines formes de /, c'est-à-dire pour certaines formes arithmétiques des coefficients de/, m peut être imaginaire et il y a multiplication complexe. Cette dernière multiplication n'existera donc pas toujours pour un polynôme /, du troisième degré, écrit au hasard.

Par suite, il y aura en (7) une catégorie de formules qui s'augmentera ou ne s'augmentera pas d'une seconde catégorie, suivant que les fonctions elliptiques définies par / admettront ou n'admettront point la multiplication coniplexe. Rappelons que, dans les deux cas, x^^y.„,{y) est une fonction rationnelle de j', si bien que toutes les formules (7) donnent des intégrales doubles portant sur des expressions ne contenant d'autre irrationalité que le radical mis en évidence.

Au lieu de formules (7) on peut évidemment tenter den obtenir d'autres en partant d'une équation dilTérentielle

TIIAVAIX DE M. E. l'If:ARI>.

autre que (6) et de certaines de ses solutions particulières auxquelles on devra généralement imposer certaines conditions de rationalité ou, tout au moins, d'algébricité si Ton veut limiter les singularités algébriques de nos intégrales doubles à pseudo-ligne d'infini et si Ion veut surtout pouvoir effectuer, en termes finis, la division relativeà cette pseudoligne. Ainsi nous pouvons tenter d'obtenir des généralisations du théorème d'échange entre le paramètre et l'argument, théorème qui, pris sous sa forme la plus ancienne, est déjà transformé de manière intéressante en (7). Mais, pour aller plus loin, il faut entrer dans le champ des équations dilTérentielles algébriques à solutions particulières soumises à des conditions algébrico-arithmétiques, champ hérissé de redoutables difficultés. Et ceci semble être linévitable si l'on veut classer les intégrales doubles attachées à des surfaces algébriques.

k. Intégrales doubles attachées aux surfaces algébriques. — Soit une surface algébrique d'équation

L'intégrale

(12; / / ^^{x, y, z ) clx dy.

où <I> est une fonction ralionnelle de x, y, z^ est attachée à la surface (11) du fait que le c que contient 4> est le - de cette surface.

Considérons de plus l'intégrale

Fi f;. F,

dx Oy ôz P Q R

dx dy

Si le déterminant qu'elle contient s'exprime rationnellement en X, y, z, ce que nous supposerons, celte intégrale paraît tout à fait analogue à (12), mais il faut cependant l'en distinguer du fait qu'elle peut être exprimée par l'intégrale de liçne

f P dx -^ Q f/^ ^ R dz,