Ainsi ^ qudtre leviers , où le point d*api

trouve Seulement dix fois aussi près de là résistance q la puissance , suffisent pour faire équilibre à une stance dix nulle fois aussi grande que la puissance^

Un système de leviers, tel que celui ( fig. 24 1 sert en Angleterre, à mesurer la 1 des câbles de fer.

On a fait un usage ingénieux de ce systcn leviers, pour démontrer rallongement prennent des barres me'talliques , lorsqu'oi expose à la chaleur. Cet allongement , trop considérable pour être sensible à la vue sin se trouvant multiplié par dix mille ^ avecqi leviers tels que ceux dont nous venons de 1er, si le long bras du dernier levier est guille d'un cadran , cette aiguille s'avancer pidement, et l'on pourra juger, par là div de l'arc qu'elle parcourt, de l'allongement par la tige métallique. Avec ce moyen l'on déterminer très-exactement les rapports longement du fer, de l'acier et du cuivre : ports dont l'horloger a su tirer habilement \

Voyez Vir. leçon, p. 21 5. Pendules de i pensation.

A-JL

Des poulies et des rouleaux.

Une pouliç simple^ fig. i, se compose : i®. d'un **ouet circulaire, dont le contour offre une cavité partout également profonde , pour recevoir ^ne corde; 2^ d'un essieu sur lequel tourne lé **oiiet ; 3°. d'une chape. La chape AfiCD, estun Solide percé d'une raortaiseMN, dans laquelle tourne le rouet, et d'un troU rond, TT, perpendiculaire à cette mortaise , pour recevoir l'essieu. I)ans la poulie fixe , fig. a, la chape reste imttiobile ; elle est attachée à quelque obstacle X, ^Inébranlable, ou considéré comme tel. L'essieu ^^ste pareillement immobile, ou du moins sa di- ^^<^tice au point X est invariable. La puissance P ^git sur un des bouts de la corde PAMBQ, et la ré* ^^stance Q est fixée à l'autre bout de cette corde. ><Uand la puissance agit sur la résistance, elle ^•^tid la corde, de manière que cette corde pré- ^^Ote deux parties rectilignes AP et BQ , l'une ^^i va de la poulie à la puissance, l'autre qui va ^^ la pouHe à la résistance ; elle offre de plus une I^^T^tie de ligne courbe AMB , qui suit le contour

T. II. MÉCHAM. ^ 3l

!242 HECHANIQUfi.

de la gorge de la poulie y et qui est la lign^Hp plus courte qu'on puisse mener entre les points A et B, sur la surface de cette gorge : sur&ce dopt nous avons expliqué les propriétés , Gio* MÉTRiKy XV". leçon.

Lorsque les deux forces P et Q se trouvent dans un plan vertical , ce plan doit être aussi celui de la courbe AMB ; et les deux forces P, Q, ne peuvent être en équilibre , par rapport au point fixe X , que dans le cas où ce point se trouve éjgalement dans le plan vertical de la puissance et de la résistance.

La poulie fixe , telle qu'on l'emploie pour élever les seaux des puits , et les matériaux des mines et des carrières, nous offre ainsi la puissance , la résistance , et le point d'appui placés dans un même plan vertical. Le bout BQ de la corde , auquel est fixée la résistance , se trouve de même dirigé suivant la verticale : la résistance n'étant autre chose qu'un poids suspendu librement à la corde BQ , et qu'il s'agit d'élever.

Dans le cas même dont nous parlons , si la direction AP de la partie de corde à laquelle est fixée la puissance, n'est pas verticale , celte corde prend la figure d'une courbe que nous avons appelée chaînette, et dont nous avons expliqué les propriétés, VP. leçon.

Dans tous les cas , la corde étant pliée libre* ment sur la gorge de la poulie, les conditions

NEHyi>.BTK LEÇOff. 343*

(f équilibre de cette corde doivent être les mêmes que les èondîtions données dans la IV*. leçoii, pour Péquitîbre d'urie corde pliée sur urie surfa^ ce, et tirée à ses deux extrémités par des forces. Ainsi, là tension qu'éprouye cette corde ^ dans tous ses points A , M , B , appliqués sûr le contour de la poulie, dort être la même; donc, si 1^ puissaiiice était appliquée immédiatement au point A , et la résistance immédiatement au point, B, ces deux forces devraient être égalés : queite que fut leur direction.

Si les ferces ne sont pas appliquées immédiatelMnt aux points A et B , mais à une certaine dtetaiiee , et si Ton fait abstraction du poids de fo cofde , il feut encore que ces forces soient égales. Si 1 on ne fait pas abstraction du poids delà corde, ce poids s'ajoute, d'une part, à la piussânce, de l'autre, à la résistance ; il feut que teà deux sommes soient égales pour qu'il y ait équilibi^e^ autour de l'àxe de la pouKe.

Cette considération est d'une grande imporfMCé, lorsqu'il s'agit d'élever des fardeaux à des hauteurs, considérables. Au far et à mesure que la puissance agit , elle descend avec la corde qu'elle tire ; elle acquiert une partie du proid^ de cette cordé, précisênaent égale à la partie soustraite du côté de la résistance. Par conséqùetit, là puissance devenant de plus en plu» prépondérante , imprime à la résistance un inou-

^4 MËCHANIQUB.

vement d'ascension qui devient de plus en pllàr considérable, et pourrait finir par être dangereux.^

Pour qu'il y ait toujours une même différence, entre la puissance et la résistance , on fait usageT de la chaîne de compensation QNO , fixée 80ù& . le fardeau Q , qu'il s'agit d'élever verticalement. ■ Supposons que, pour la mém;e longueui>, c^e^ chaîne soit deux; fois plus pesante . que . la^^ corde à laquelle on a Qxe 1^ puissance et 1^ résistance. Qus^nd la puissance? tire la corde « de manière à se traiisjxo];'t;er en P' , la partie A& se trouve augmentée de PP^ ^t la partie BQ se trouve diminuée d'une quantité! égale, QQ', G'eat,^ par conséquent , comme si la résistance Q fi^t-. vait rien perdu, et que la pi^issance P eut açq^i|^ deux fqis le poids d'une partie de çprde PP'. Ia résistance Q s'étant élevée deQQ'=PP', tmci parÛA KN' de la, chaîne de çonçipensatipn, qui se trouvait; couchée sur une plate •? forme hori^ntalei i^ soulève , devient verticale , et pèse du côté de^ la résistance. Mais Nl^f', égale çn longueur à PP' et à QQ', pèse deux fois autant qije chacune dô ces^ parties de corde. Donc , d'une part , la puissance P acquiert deux fois Iç poids PP'; de Taih; tre , la résistance Q acquiert deux fois le poida PP'. Par conséquent , il y a toujours la même: différence entre la puissance et la, résistance ; résultat iniportant dans^eaucoup de cas.

Quai^d les cordons AP, BQ , fig. a, soi^t

IfEUVlÈME LECOX.

les, laiésultante des deux forces égales, P et parallèle aux directions AP et BQ , et pas Taxe du rouet. Lorsque P, Q , ne sont pi Killèles, fig. 4» il faut toujours que leur tante passe par l'axe G du rouet, et par le de suspension X. Mais les deux forces P e cessent pas d'être égales. Donc, en proloi W deux directÎQns AP, BQ , jusqu'à leui de rencontre D , il faut que les trois po X,D, soient en ligne droite, et que cette &sse le même angle avec les directions 3Q, de la puissance et de la résistance.

Si l'on veut connaître quelle est la pi prpduite sur l'axe G, du rouet, par les ï^ et Q , on déterminera la résultante D parallélogramme DEHF, dont les côtés liE, DF , représentent la puissance et l ^tance ; la diagonale DH sera la résultan deux forces dirigées suivant DXC, c'estla pression qu'éprouve l'axe du rouet.

Cette pression , ajoutée au poids de la \ Représente l'effort total que supporte le d'appui X.

Dans la poulie fixe, la puissance étant te égale à la résistance, on ne peut employé oiaçjiine que pour transmettre une force direction dans une autre , sans rien cha la valeur de cette force. Aussi, les poulieî çfppipyées dans ce but, prennent-elles

946 MECHAVIQITB.

tiCQS-»convenable de poulies de remuait p6iju0 tepl»* quer qu'elles n'ont d'autre but que de rewHij& U même force d'une direction dans une auth^.'

Si les. deux forces P et Q n'étaient pas égal^ entr elles j la plus petite détruitait une paV^ tion de la plus grande ^ égale à cette phl^ ])êtite^ fpsrce ; alors le rouet de la poulie se mouVi^it dans le sens de la plus grande , coîniiie s'il n'étâîC sollicité au isiouvement que par M difFêrâiécI <ié& àevA forces; mais la pression^ exercée parl^ / rouet ou par l'axe , sur la chape , s^aTit égafeà la résultante des deux ferrées stippodées^ égakià la moins grande. Ainsi le mouvement de la poulie pourrait devenir très-lent , quoique les prêi^ sîoBs sur l'axe devinssent très-con^dérables';' ii siaffîrait j pour cela , que la puissance et la réfls*^ tance fiissent très^grandes, mais peu différente» Fùnede l'autre. Tel est le principe de la'maéhiBef imaginée par Atwood pour démontrer par l'ex^ périence les lois de la chute des corps : lois (j[i# nous avons exposées dans la 1I^ leçon.

Menons les rayons GA, CB, fig. 4» V^^^^ diculaires aux directions AP, BQ; la droiW AB sera perpendiculaire à GHD, qui divise l'angle AÇB en deux parties égales. Donc, les triangles DEH et ACB auront leur^ côtés cfirrespondants- perpendiculaires ; ce qui ^nfîèrft lar pvopc»tion P«Q:R: : DEœ DF : DH : : AC = CB : AW

NEtJVlflMl LEÇON.

Donc , dans la poulie fixe , la puissance égale la résistance , est h la pression R , que : porte le point d'appui , comme le rayon du n esta la corde AB qui soustend l'arc AB hrassé par la portion de la corde courbée si remet.

Poulie mobile. Si , dans la poulie fixe , fi ^ 4 9 on remplace le point fixe par une force égale à l'effort même exercé sur ce point l'effet de P et de Q, Téquilibre continuera de sister entre les trois forces P, Q , R , et Ton i. diangé la poulie fixe en poulie mobile, fi ^ 5. Donc, dans la poulie mobile , les fb I^ Q , appliquées aux deux bouts de la c Çui passe sur le rouet , et la force R , appli( 4 la chape , conservent les rapports

P = Q : R : : DE = DF : DH / P =z Q : R : : CA = CB : AB. Ordinairement, on remplace une des puissa ^=Q, par un point fixe, tel que Q. Alorî puissance P suffit pour faire équilibre à la ^tance R ; et Ton traduit en langage ordinai dernière proportion , en disant :

Dans la poulie mobile^ la puissance e ^^ résistance comme le rayon du rouet est ^crde qui soustend l'arc ÂB , embrassé par la 'ion de la corde courbée sur le rouet.

Un tel rapport a cela d'avantageux qu'il |)eQse de construire le parallélogramme des

ces; il se rapporte à des éléments ttàsrfaiiiili< aux géomètres, et calculés à ravance dans d tables imprimées qu'on appelle tables de U^a^ rithnies et de sinus, "

Quand les deux forces P, Q, seront dirigées pa* rallèlement, fig. 3 > il faudra que la résistance R ait aussi la même direction ; et, de plus, soit égale à leur somme VP +Q- Ce sera le plus grand efiet que ces deux forces puissent produire, à Faide d'une poulie mobile , pour tirer la chape.

Plus l'angle* formé par les directions AP, BQ, fig. 5, devient obtus, plus la diagonale DH di-* minue ; plus il faut que la résistance R soit petite, si la puissance P = Q est limitée; plus il faut que P soit grande, si R est. déterminée.

Nous avons dit qu'au lieu d'employer deux forces P , Q , pour faire équilibre à une troisième force, R , fig. 3 et 5, souvent on attache un des cordons AP ou BQ, à un point fixe. Ce point supporte tout l'effort qu'aurait supporté la force Q qu'on économise.

Par exemple , dans le cas où les cordons sont parallèles , fig. 3 , les forces P et Q sont égales entr'elles; il suffit, pour faire équilibre à la force R = P + Q = 2P, d'employer la simple force P. Il y a donc alors une économie de moitié sur l'emploi de la force^ pour produire l'équili^ bre. Je dis pour produire l'équilibre; car, pour produire le mouvement , il. n'y a pas d'économie

NEUVIÈME LjEçon;. ^49

Supposons qu'en efFet, dans un terops donné, le point Q restant fixe , le point P se soit avancé de la quantité Fp ; le rouet de la poulie passant de AMB en ami^ et la corde ne changeant pas de longueur, il faudra qu'oh aitQBMAP = Qimop. Retranchons des deux cordes les longueurs égales , AMB , amb , et les longueurs communes Q^ , Va ; il reste

Pp = Aa + Bi6 = aCc.

Or, Ce est égal à la quantité dont R s'avance vers c- Donc, quand la force P n'est que la moitié de R , P doit parcourir un espace double de celui que R parcourt. Donc, en multipliant chacune de ces forces par l'espace qu elle parcourt dans un temps donné, le produit est le même ,

Force P x P/? = force R X Rr.

De petits espaces P/?, Rr, représentent les vitesses f^iriuelles des forces P, R , et l'égalité que nous venons de donner renferme un cas du principe des vitesses virtuelles. C'est un principe que vous retrouverez dans toutes les machines, simples ou composées. Partout vous verrez que si l'on peut, avec le secours des points d'appui, faire équilibre aux plus grandes forces par l'action des plus petites, dès qu'il y a mouvement, la compensation entre les forces et les espaces parcourus s'établit, de manière que les quantités de mouvement ne sont jamais augmentées.

T. II.— MÉcnAN. 3a

OsSo BI^CHAlinQUE. '

On combine sonvent la poulie fixé Hvéc la poulie mobile , ainsi c(uoii le voit dans ïa fig. 6. C'est par ce moyen qii on' suspend les réverbères employés à l'ëdairage -des raes.

• Le cordon Ps&P'ABQ passe autour de la poulie fixe abcj puis autour de la poulie mobile ABC, à laquelle est suspendu le poids R, et vient s'attacher au point fixe Q.

Soit P' la tension ou l'effort éprouvé par le -cordon que tire la puissance P, Pour quel'équili- J)re de la poulie fixe subsiste , il faut cjue P' = E. En^^rte, pour que l'équilibre de la po«ilie mobile '^ubsiste^ il faut qu'en menant dans le rouet| b corde AB, .par les points A, B, où lecordpo cesse de toucher le rouet , on ait cette proportion

P = F : R : : AC : AB. Condition simple.

Supposons qu'on ait, fig. 7, plusieurs poiilies mobiles, ainsi combinées : l^ Le cordon QABPC, de la première poulie , attaché en Q, point fixe, et en C\ centre de la seconde poulie ; 2°. Le cordon Q'A':B'P'C" attaché en Q' point fixe, et en C centre de la troisième poulie; et ainsi de suite.

En nommant P, P', P',.— les tensions éprou- . vées par les cordons BP, B'P', B'^P", etc. , on a