i4 X£CHANIQ€E

<}ue mesure le produit de chaque force par 1* espace parcouru , est donc la même du coté de la résistance ,

et cette quantité ne saurait être augmentée. Le principe que nous venons d'exposer est d'autant plus remarquable qu*il esl général dans toutes les machines. Jamais on n'y peut augmenter la quantité de mouTement ; ce qui montre l'impossibilité de créer de la force. . .

Si l'on prend pour unité la durée du mouvement exécuté nar les points B.C. fig. lo , les vitesses de ces mouvements seront représentées -par les espaces. parcourus B^, Ce. On appelle vitexse virtadUy cette vitesse que prendraient les points d'application B, C; de la puissance et' de la ré*^ sistance, siréqdiKbre était tout à' coup infiniment pell dérangé. L'égalité PxB6=?RxCc se traduit en disant que , dkucr ie levier ^ la. puissance *nUdtipliée j^ sa rUç^ w'rtuelie^ jSgqle la rtsùiOHce putliipliee juw sa vitesse viriuelle , toutes les fois quiljr a équilibre.^

Supposons que le bras de levier AB, fig. 1 1 , au beu d'être perpendiculaire à la direction BP de la puissance, soit oblîque. Faisons tourner infiniment peu le levier, d'un angle BAM = bA7n. Soit Ab perpendiculaire à BP prolongé i les rayons étant proportionnels aux arcs, on auiâi ^ • i<

kB : kb : : B^:èm.

Si , du point M , on mène MN perpendiculaire à BP .prb^ longé, les triangles BMN, kBb^ seront semblables, comme ayant leurs cotés perpendiculaires.

Donc AB : kb : :BW: BN.

Ce qui exige qu'on ait BN = bm, Ainsi^ quel que soit le

point d'application B de la puistsance P sur le bras AB, en dérangeant infiniment peu l'équilibre, et mesurant; l'espace parcouri^par le point d'application , suivant la direction BM de la puissance , on aura la même vitesse virtuelle , estimée suivant la direction de cette fonce. Par conséquent , Véquif

HUITI^ÀIE LBÇON. laS

^^^rt aura lieu quanil la puissance j étant nmltiplice par sa €sse virtuelle , ai/isi mesurée , et la résistance également ^-éltiplite par sa vitesse virtuelle , mesurée de la même ma- ^«^rc, donneront un même produit y quel que soit le point ^lipplication de la puissance et de la résistance : en sup-

P<:>âaDt toujoars que ces deux forces tendent à faire tour-

"^^T le levier en sens contraires. ^

Tel est le principe célèbre connn sous le noni de principe

t vitesses virtuelles ; principe qui s'applique non-sëu-

^^*ï»ent au levier, mais à toutes les autres machines et à

^^"^tes les combinaisons imaginal^lcs de forces. L'illustre

■■-■^grange a fait de ce principe le fondement général de sa

^'-^hanique Analytique , Tun des plus beaux ouvrages que

^ science ait produits.

La résultante des deux forces en équilibre sur ^n levier, étant détruite par le point d'appui, ^^tte résultante égale la pression que le levier ^it éprouver au point d'appui.

Donc : i"". quand la puissance et la résistance ^ont parallèles et dirige'es dans le même sens , la pression du levier sur le point d'appui est égale ci la somme de la puissance et de la résistance.

a*. Quand les deux forces agissent en sens opposés , la pression du levier sur le point d'appui , est égale à la différence de ces deux forces ^t dirigée dans le sens de la plus considérable.

Âiilsi , dans le levier du premier genre , fig. 5, la pression Z qu'éprouve le point d'appui , égale la somme de la puissance et de la résistance.

Dans le levier du second genre , fig. G, cette

TOM. II.-^MÉCHAN. 29

pression est égale à la résistance moins la puissance, et dirigée clans le sens de la résistance.

Dans le levier du troisième genre, fig^ 7, la pression est égale à la puissance moins la résistance, et dirigée dans le sens de la puissance.

Quand les forces BP, CR, ne sont pas pataltèks , il fatit prolonger leurs directions jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en D , fig. i4; ensuite, sur les droites DB \ DC , construire lé ^aj^allé* logramme A^Dc, des forces P , R. Alors....

1°. La diagonale passera par le point d'appuiÀ^

2^ Cette diagonale représentera, en grandeur ainsi qu'en direction , la pression éprouvée par le point d'appui (i).

Si l'on supposait qu'on eût un nombre quelconque de forces P, Q, R-, S, T, fig. i5, appliquées sur un levier CBADEF, il suffirait de mener une pêrpendiculaira A/; / A^, Afy"- à la direction de chacune de ces forces. En-

(i) Soit AbDc le parallélogramme construit en menant A^, Ac, parallèlement à CR et BP. Les droites Afi, ÂC, étant perpendiculaires aux droites BP, CR, les triangles AB^, ACc^ sont rectangles. De plus , l'angle b du premier, et l'angle e du ^ecc^d , sont égaux à l'angle BDG , et par conséquent égaux entr'eux.. Donc les triangles AB^ , ACc , sont semblables. Par conséquent :

AG: AB :: Ac: AB; mais Ac^zDb, Ab=i)c, et le paraUélo* gf amme des forces donne : P : R : : D^ ; De

Donc P : R : : Ac : Aa : : AC : AB .

et PXAB=:RXAC.

Donc lepdint A, pris au point où la diagonale du parallélogramme des forces rencontre le levier BAC , est précisément le point d'appui. Ce qui devait être j mais ce qui a l'avantage de noua montrer l'accord de deux marches très-opposées.

HUITIEME LEçorr.

'nite on prendrait : i®. pour toutes les forces (nii t faire tourner le levier dans un sens, la soiuine de:s '•Je chaque force par «on bras de levier; 2®. lai *c« produits correspondants , pour toutes les fr ^odenjt 4 faire tourner le levier dans le sens co] -■^ailibre aurait lieu si les deux «ommes étaiei -^iosi, la condition d'équilibre serait donnée pai PXA/i4.QXA^...=:RXAr + SxS.j

Après avoir exposé, dans toute son él

.'3 théorie du levier, revenons aux princij

Particuliers et aux applications qu'elle pi

JjdiHer du prçmier genre. Le plus sini|

.plus régulier est celui dont les deux hi

^gaux , et dont l'équilibre exige que la p\

.^t la résistance soient pareillement égî

t^alance est une machine de ce genre.

La balance , fig. i6 , se compose d'un

*>las égaux ^ AR, AC, appelé le fléau.

^l^appui A se trouve porté par une espè(

^^nn , qui supporte un axe horizontal /]

. ^Qur duquel peut tourner le fléau de la

A chaque extrémité du fle'au se trouva

ohésy.par des cordes ou des chaînes,

^ins ronds comme dans la fig. 16, ou

leaux quarj:^ comme dans la fig. 1 7. Les

<Du les bassins doivent être de même

. ^ont généralement semblables, de raêmej

^ions , et suspendus par des cordes éj

ont un axe de symétrie, lequel passe

centre de gravité ; leur position natu

mS MliCHANIQUE,

quUibre est celle où cet axe se trouve vertics^fej De sorte qu'en plaçant au centre de symétrie cL ^ plateaux ou des bassins , les objets qu'on ves--^ peser, ces bassins et ces plateaux conservent Ife mm situation naturelle , et n'exposent pas les obj ^sts qu'on pèse , à tomber par l'effet d'une inclinaison plus grande d'un côté que de l'autre.

On met dans un plateau le poids P qui repré-* sente la puissance P ^ et dans Tautre l'objet à peser, qui représente la résistance R. Quand jces deux forces sont égales , et que le fléau de la balance est horizontal , la condition de l'équilibre est P X AB = R X AÇ.

Si AB n'est pas égal à AC , et se trouve plus petit, alors il faut, jx)ur que les produits restent égaux , que P soit plus grand que R., Ainsi, quand les bras de la balance sont înégauic, et qu'on met le poids du côté du plus petit bras, il fait équilibre à un moindre poids de marchandises. Tel est le principe d'après lequelles vendeurs fripons font leurs pesées avec défaits^ ses balances. On découvre la supercherie, en mettant le poids à la place des marchandises; la plus petite force étant alors au bout dii plus petit bras de levier, il n'y a plus d'équilibre. • Dans un grand nombre d'arts et dans les expériences exécutées maintenant avec beaucoup de précision par les chimistes , les physiciens et les géomètres ; on emploie un moyen qui ne dé-

HUITIEME LEÇON. 25kg

pend pas de Texactitude plus ou moins grande ^e la balance. On met dans un plateau le corps qu'il s^agit de peser , et dans l'autre les poids qui lui font équilibre; puis on retire ce -^^orps B; on le remplace par de nouveaux poids ^qu'on accumule jusqu'à ce qu'ils fassent, comme ïe faisait le corps R, équilibre aux poids P. Il ^^ist évident que les nouveaux poids doivent re- ;^3résenter en somme le poids exact du corps R. Pour examiner d'une manière complète ce qui -^i^oncerne la balance , on doit faire entrer en onsidération lé poids des bassins et du fléau. 1 faut d'abord que l'équilibre existe avant qu'on ^^::nette aucun poids dans les bassins. Il faut que es deux bras soient d'égal poids , d'égale lonueur , et que leurs centres de gravité se trou- ''^rent à la même distance de la verticale menée ar le point d'appui ou par l'axe du fléau. Si, AB , AC, fig. i6, sont les deux bras de la aiancè, en désignant par G , H, les centrés <Je ^gravité des bras de droite et de gauche, il fàuque le poids X du bras AB, concentré en G, sse équilibre au poids Y du bras AC, concentré n H. Donc, X X AG == Y X AH.

Si les deux centimes G, H, et le point d'appui ^, sont sur une même ligne droite, il y aura toujours équilibre, quelque inclinaison ' qu'on <lonne au levier. Donc , alors, la balance ne prenclra , de préférence , aucune position , quand

a3o isiicnxNiJCiviL.

elle ne sera pas chargée de poidsi étrangers. De plus, la moindre différence de poids en* traînant un des bras de la balance y rien ne limiterait Fetenduç dp ce mouvement* i^

On a soin que les deux centres G, H soient un

peu plus bas ^ue le point d'appui A , fig. i8, mais

tous deux à la même hauteur , quand les hw

AB9 AÇ; sont horizontaux. Alors, si l'oçi dél^apge

un peu J'équilibre, par exemple, en baissant

AB, fiç, 1 9, pour lever AC , la ligne drQilje AH se

rapproche de l'horizontale , tandis que A-G sea

écarte encore plus que dans la premièra positioB.

Donc, si l'on mène les deux verticales XGS^, YHA,

par les centres G, H, puis l'horizontale grAA,oo

aura nécessairement AÂ plus grand que A^. Mais>

dans cette poçition^ X X Ag* est le moment de

X; Y >< A^ est le moment de Y == X ; 4oncle

moment de droite l'emporte; donc il tçnd ^ &ire

baisser le bras AC jusqu'à ce que la position du

levier BAC redevienne horizontale. Comme le

bras AC est descendu avec une certaine vitesse,

à cause du mouvement acquis , quand il revieot

à la position horizontale, ce mouvement 9e

continue; AC descend au-dessous de XïtçÀ'

zontale, tandis que AB nionte au-dessus. U

se produit donc un mouvement d'oscillation qui

serait un mouvement perpétuel, si Ton pouvait

exécuter une balance où le frottenaen.t et la ré*

sistance de l'air ne présentassent aucun ohstad^

HUTTlfeUTE LEÇON. sSl

à- cette perpétuité. Mais, par TefFet de ces résistances, les balances les plus parfeites s'arrêtent après un nombre d'oscillations plus ou moins long , et néanmoins toujours assez borné.

Soit O, fig. i8 et 19, le centre de gravité du fléau de la balance. Quand l'équilibre est très-peu dérftugé, le poids X -f- Y tend à ramener O dans la verticale, avec une force = (X -^- Y) multiplié par l'àrc MO, que parcourt le centre O depuis la verticale AM : arc qui , pour un même angle , est proportionnel à la distance AO.

Afin de Savoir, lorsque l'on construit une baiàncè , si le centre de gravité du fléau n'est pas placé ttop près ou trop loin du point A , il* faut Compter pendant un temps donné les oscillalotions de ce fléau. Si elles sont extrêmement ^''^lïtes et difficiles à produire, le centre est trop P^ès du point d'appui; si elles sont trop rapides^ ^^ doit , au contraire , rapprocher ce centre du PcDint d'appui. On élèvera, on abaissera ïe centre ^« gravité du fléau , en ôtant ou en ajoutant de *^ matière à sa partie inférieure.

Le 'fléau de la balance est un pendule coml>^sé, et les calculs indiqués dans la leçon pré- ^^dente donneront la vitesse et la durée des ^oscillations des fléaux de la balance, 'aussitôt ^ti'on aura déterminé le moment d'inertie de la -^«lance et la position du centre O.

Pour juger exactement de la position du fléau,

23a iiii£cHA.]!riQUE.

Ton se sert d'un moyen bien simple. L'on emploie une aiguille km solidement fixée au fléau, fig. 16 et. 17, et perpendiculaire à la ligne droite BAC. L'Anse lm?i , tenue en m , se place dans une position verticale , lorst[u'on soulève la balance; mais, lorsque BAC est horizontale, l'aiguille perpendiculaire à BAC, est verticale. Il suffit donc d'observer si l'aiguille ne penche qi à droite, ni à gauche : i^ quand les bassins sont^ vides; 20. quand on a mis dans un bassin- le^ poids-mesures , et dans l'autre le corps à peser —

Par les détails que je viens d'offrir, vous dev voir que les instruments les plus simples peuvent être exécutés avec perfection, si l'o ne détermine à quelles lois de méchanique 1 diverses parties de ces instruments doivent sati faire pour réunir au plus haut degré tous U ,*>s avantages qu'on doit en attendre.

Les romaines sont , comme les balances , u^Mn levier du premier genre , employé pour fai^Mte équilibre à un poids donné, avec une puissauci^ice moins considérable , appelée le peson.

Qu'on imagine un levier droit BAC , dont petit bras AC soit pris pour unité de mesure , dont le grand bras soit divisé en tm certain bretle fois cette unité. Suivant qu'on pose le p< son P, aux points de division 1,2, 3, 4r") '' ^^ — -'^ équilibre à un autre poids R, égal à i, 2, 3, 4— " fois le poids du peson.

HUITIKME LKÇOiN.

En subdivisant en dixièmes , par exei chaque partie du levier AB , déjà divisé en ties égales au bras du levier AC , chacune d parties représente, dans le produit AB X dixième de AG X P , et par conséquent e| pour l'état d'équilibre, une augmentati( poids en R, égale au dixième de P. Cl subdivision, qui Serait égale au centièi AC, représenterait de même , dans le pi P X AB = AC X R, un centième de P

Par conséquent, si l'on divise avec prél le bras du levier AB, en unités , dizaines taines, etc. , l'on pourra déterminer comb fois un poids quelconque R contient nonment le poids P , mais les dixièmes , les tues, etc. , de ce poids pris pour unité-

Une partie des observations que nous présentées sur l'oscillation des balances plique à l'oscillation des romaines. Il même : l^ que les deux points B , C, d'à] tion soient exactement en ligne droite point d'appui A; 2^. que le centre de. gra la romaine soit un peu au-dessous du p| et sur la même verticale que ce point, qi ligne AC est horizontale.

Lorsqu'il est nécessaire de faire des pesé exactes en employant la romaine, on peui riravec beaucoup d'avantage, aux double* c est-à-dire, après avoir mis le corps en é

T. il. M ECU A M.

î^4 MiCHAtriQVfi.

et ûté le poitit où il lait équilibre aupeMtt,tem* plàcet te même corps par des poids^mésures. En effet, quelles que soient les idexactitudes de Tinstrument qu'on emploie, les poids-mesures qu'oti substitue au corps à peser, en repré^ntent exactement le poids, quand y placés au même endroit^ ils font équilibre au même peson. Vous recon* naîtrez, dans une foule de circonstances, combien il est âvantàpfeux d'employer ce moyen pour les opérations rigoureuse^ que vous aurez à faire relativement à des expériences , à des épreuvesi à dés vérifications, etc, : La romaine offre un exemple de leviers du premier genre , où l'on fait équilibre à une résistance donnée, avec une moindre puissance. Ces leviers lie set^ent pas seulement à produire des équilibres ; on les emploie souvent à produire des mouvements.

• Le gouvertiail des navires et des bateaux est l'exemple le plus remarquable que nous puissions ofifrir. Qu'on imagine un levier CAB, fig. 21, fixé en A, tohtre la pouppe d'un navire, le bras AB plonge dans l'eau, le bras AC est tenn eii G , par le timonier du par un appareil méchanique quelconque.

- Quand le navire est eh marche et que le gouvernail CAB se trouvé dans la direction de la marche > il n'éprouve aucune résistance de b part de l'eau. Mais^ quand le timonier pousse la

HUlTJKMfi LKÇOIf. a'.î5

harre ou timon AC, jusqu'en c par exemple,

alors la partie kb du gouvernail éprouve unt5

résistance X qui augmente avec l'angle BA6. L^

force oblique X' se décompose en deux : l'une j"

dans le sens de A6, laquelle ne produit d'autre ef^*

fet que de tirer le goivvernail dans le sens de s|i

longueur, pour l'arracher de ses gonds; l'autre jc,

perpendiculaire à Ad, pousse le gouvernail dan$

\ un sens différent de la marche. D'après ce qup

nous avons exposé, V'. leçon, la forcer agit pour

faire tourner le navire avec une action dont lemq-

ment égale xxQg : en supposant que G^-soit la

distance du centre de gravité G du navire à i^

direction de x* Appelons P la puissance des ti-

'^oniers appliquée en C, et nommons D le centre

d'application de x\ nous aurons pour l'équilibre

du gouvernail, P x AC =;; a; X AD,

Leviers du second genre. Dans ces leviers» ^^ons-nous dit, la résistance se trouve entre la puissance et le point d'appui. On ne les emploi^ Sl^e dans les cas où la puissance doit être moin-» dre que la résistance.

Les avirons ou rames qui servent pour faire ^^ancer les bateaux et les navires, sont des leviers du deuxième genre. La puissance est appli-^ 4^ée à la poignée N, fig, a i , de l'aviron NOM, él ^^i^e cette poignée de l'arrière à l'avant du navire^ Le point d'appui M se trouve à l'autre extrémité ^^ l'aviron, et la résistance est produite par le ng-

:i36 MJ£CHANIQE*

vire même, en un point O du bord de ce navire, soit au moyen d'une entaille faite dans ce borci, soit au moyen d'une cheville verticale qu'on appelle tolet. il est évident que si l'on détermine le centre de résistance de la partie de laviron^ plongée dans l'eau , ce centre étant regardé comme point dVppui, la puissance multipliée par la distance de ce centre à la poignée de l'aviron, est égale à la résistance multipliée par la distance dix même centre au point où l'aviron est sou* tenu contre le bord du navire.

Afin de ne pas ajouter au travail du rameur, la fatigue de peser sur le petit brî^s du levier, pour faire équilibre au long bras , on leste le petit bras avec un poids tel que le levier se trouve à peu près en équilibre/sgr le^poiutO où il est porté par le navire.

Dans le troisième genre de leviers , la puis» sance étant entre le point d'appui et la résis^ tance, \Bst nécessairement plus grande que la ré» sistance. Ce genre de leviers ne peut donc être employé que dans le cas où l'on dispose d'une force supérieure. à la résistance,

La plume, le pinceau, le porte-crayon, nous offrent des exemples remarquables de ce genre de levier. Il importe beaucoup d*imprimerfl^ mouvements rapides à la pointe de la^ly"^^^^ du crayon; la résistance qu'ils éprouvent sur le papier est peu considérable. De là la position

HUITIÈME LfiGQIf.

préférée pour la tenue de ces instrum<

La plume ABC,fig.aa, a son point d'appi

contre la première phalange de l'index. Lar

tance est en C, sur le papier où se trouve récril

àproduire comme effet du levier. La puissam

partagée en //?, /^, <?, entre le pouce et les deux|

miers doigts. En renversant la main, fig. â3,

regarder la plume par le bec , on voit les

points d'application m, n, o, des trois doigts

nous parlons. Suivant que nos muscles augj

tent la force exercée en m ^ en tz ou en o,

la diminuer dans les deux autres points, la

me est poussée dans les sens variés qui penl

Convenir au tracé de toutes les espèces d<

très et de figures.

L écriture offre un exemple remarquab!

la complication réelle de machines simple! afpparence. Les deux derniers doigts de la droite servent d'appuis à la plume, l'avant droit et le bras gauche servent d'appuis au c\ entier, quand la main droite écrit. Chaque avec sa main, se compose de vingt-deux le| du premier genre, et chaque jambe , son pied , se compose de vingt - trois le^ Ainsi , les personnes qui écrivent pour banil nos arts l'usage des machines composées , ai l^evenir, disent-elles, à la simplicité de la na| emploient «n levier artificiel, mû par trois ^nces résultant d'un système de quatre-

a38 M£€UAKIQU£.

dix leviers que la nature a placés dans nos mem* bres; et ces quatre-vingt dix leviers sont alternativement tire's et poussés par cent quatrevingts groupes de cordes appelées muscles, qui sont attachées, les unes en deçà, les autres au delà de chaque point d'appui. Loin que cette multiplicité de cordes et de leviers produise ^ucun désordre, aucun embarras dans les opérations que l'homme peut exécuter avec ses membres , il est facile de prouver, au contraire, que lious devons à cette admirable combinaison, notre adresse et notre aptitude à faire une foule d'opérations délicates : opérations que ne peuvent exécuter les animaux, dont la structure plus simple , présente moins de cordes et d© leviers. >

* Les arts emploient, à l'imitation de la nature, des combinaisons variées de leviers et de cordes. Ainsi les bras dés téléj^raphes sont des leviers mus avec des cordes, comme nos bras se meuvent à l'aide de nos muscles.

S'il fallait, avec une très -petite puissance, faire équilibre à une très-grande résistance, on serait obligé, en faisant usage d'un leviez' unique, de placer le point d'appui extrêmement près du point d'application de la résistance ; ce qui , dans beaucoup de cas,, pré-* senterait des difficultés insurmontables , et n^ permettrait pas d'obtenir, avec la précision né^

HUITIÈME LEÇON. 23q

cessaire, le résultat qu'on désire. On obvie à cet inconvénient par Temploi d'une combinaison de leviers , telle que celle de la fig. 24. La puissance P étant appliquée à lextrémité du long bras du levier BAC ; un second levier CDE a Textréuiité de son grand bras U, posée contre l'extrémité' G du petit bras / du levier [M'e'céden l ; un troisième levier EGH présente une disposition pareille ; et ainsi de suite.

Soit X, X', X"..., les résistances éprouvées aux points de contact G, £, H,... des leviers consécutifs; L| ly, L%...y étant les grands bras de leviers, et /, /', '''v-> les petits bras, on aura pour condition de l'équilibre :

Premier levier , P x L = X X /f Deuxième levier, X X L' = X' X /', Troisième levier , X' x L" = X'' X V\

Multiplions ensemble : i^. tous les premiers termes de ces égalités ; 2^. tous les seconds termes. Otons des deux produits , les ^quantités communes X, X', X ", etc. ; K étant U dernière de ces forces ou la résistance , on «lura simplement pour condition de l'équilibiie :

PXL XL' X L".... = Rx^X l' X /"...

'Ci'est-à-dire, la puissance , multipliée par tous

Jes grands bras de la^ier , est égale h la résis-

^tance multipliée par tous les petits bras.

Supposons , par exemple , que , pour tous les leviers ,

a4o M£CHAZriQTIF«

le grand bras égale dix fois le petit ; nous Terro.os i prenant successivement i, a, 5, 4**-« leviers, la rés^l est égale à la puissance multipliée par 10, i dd 9 1