I. — Geom. a
NKUVIICME LKCON. I(}5
fig. 3, étant des obliques également éloignées de SO perpendiculaire au plaïi du cercle, sont égales entr'elles. Donc toutes les arêtes de ce cône sont égales entr'elles, et font le même angle avec l'axe.
Supposons que, sur un cône produit par nos arts, nous tracions tant d'arêtes si fines, qu'elles n'offrent plus à nos regards que l'aspect d'une surface parfaitement continue, et couverte de lignes dont les distances soient trop petites pour être perceptibles à nos yeux. La surface ainsi composée de petits triangles plans, entre les diverses arêtes, ne différera pour ainsi dire pas d'un cône géométrique. - Lorsque nous prendrons une de ces surfaces pour l'autre , les erreurs , s'il y en a , seront si petites , qu'elles échapperont à nos sens, et seront nulles pour l'industrie.
Par conséquent , un cône peut toujours être regardé comme une pyramide à beaucoup de facettes triangulaires, dont la largeur soit extrêmement petite, et dont la hauteur se confonde avec la longueur même des arêtes.
Alors toutes les mesures de surface et de volume, données pour les pyramides (septième leçon), s'appliquent immédiatement au cône.
Le cône droit circulaire étant une pyramide régulière : i°. la surface totale des facettes ou la surface courbe du cône droit circulaire , égale le contour de sa base, multiplié par la moitié d'une
ig6 GÉOMÉTRIE.
arête; a°. la surface totale du contour circulaire et de la base du cône droit, est égale au contour de lu base f multiplie par la moitié dune arête , plu s la moitié du rayon de la base.
Le volume dun cône quelconque , égale le produit du tiers de sa hauteur par la surface de sa base.
Si l'on coupe le cône par un plan parallèle à sa base, on forme un tronc de cône dont la surface et le volume se mesurent aussi d'après la surface et le volume du tronc de pyramide.
La surface du tronc de cône régulier^ égale la demi-somme du contour des deux bases , multipliée par la longueur dune arête comprise entre ces bases.
Si l'on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, fig. 7, la petite pyramide, ainsi détachée, est semblable à la grande. Cette propriété étant vraie, quelque nombreuses que soient les faces de la grande pyramide , est pareillement vraie pour le cône, ainsi que toutes les conséquences qui en dérivent. Donc : i°. quand on coupe un cône par un plan parallèle à la base, on détache un petit cône semblable au grand; 2 . quand deux cônes sont semblables , la surface de leur partie courbe est proportionnelle au quarré des lignes cojrespondantes dans les deux cônes, par exemple, au quarré des arêtes ; 3°. les. bases ont aussi leur sur/ace proportionnelle eut quarré des lignes correspondantes; 4°- fo* <vluy
mes des cônes semblables , sont proportionnels aux cubes des lignes correspondantes, fig. 7.
Formons un tronc de cône ABC... abc.... y fig. 7, en détachant un petit cône d'un grand, par un plan coupant. Il est clair qu'alors , on obtient le volume du tronc de cône, en calculant à part le volume du petit cône, pour le retrancher du volume du grand. Chacun de ces volumes étant égal au produit de la base par le tiers de la hauteur, l'opération n'offre aucune difficulté.
Lorsqu'un cône n'est pas droit et circulaire, ou seulement lorsque le cône n'est pas droit, on ne peut plus mesurer sa surface par les règles que nous venons de donner.
Pour mesurer la surface du cône , il faut la décomposer en un nombre de triangles suffisant pour le degré d'exactitude auquel on veut atteindre. Ensuite, on rabat sur un plan tous ces triangles, les uns à côté des autres. C'est ainsi qu'on a v rabattu, en S'A'B', S'B'C, S'CD',.... dans les figures 4 et 6, tous les triangles SAB, SBC, SCD, des figures 3 et 5. Il est évident que la surface courbe du cône, égale la surface plane S'A 'B'C/.... On mesurera cette dernière surface par les méthodes que nous avons exposées dans la 6 e . leçon. Après avoir donné, pour le cône, les mesures essentielles de surface et de volume , voyons quel emploi les arts font des cônes.
I? architecte et le charpentier couvrent les
M)S G KO M KTRIE.
tours circulaires, avec des cônes droits circulaires, fig. 8, avant pour axe Taxe même de la tour. V artilleur fabrique ses bouches à feu , en leur donnant, tiç. c), la forme d'une suite de troncs de cônes dont la grande base est du côté de la culasse. Le chapelier donne aux feutres qu'il destine à la eoëffure des hommes et des femmes, la figure d'un cône ou d'un tronc de cône, avec un boni plat ou courbé. C'est dans la variation des dimensions de ce cône ou tronc de cône, et de ce bord, que consiste l'infinie diversité des cociïures, qui marque le caprice et la fécondiîr bizariv île nos modes. Vovez ti^. k», ii. i •:>.
I.c /.:^-V::/- S . \;:.c / termine la ^:.rt:e interieurr île ses t uvaux cvlindriques, par un tronc de cour .\r»61\ 11=:. i"3. Les ti.vj.ux. dont l-.s sons imitent ceux de la trompette, et dont Tensenible p3rte le nom de feu ue :r:m?et^ . ABST. ii£. i±, sont entièrement formes avec un tronc de cône.
L\::v'iûccte m pour des motifs de solidité, rende parfois ses colonnes, depuis la base jusqu'au tiers de leur hauteur; il eu diminue toujours le diamètre, depuis ce point jusqu'à la partie qui >upporte !e chapiteau. Lorsqu'il s'agit d'exécuter des colonies trop hautes pour quon puisse les cirer d'un seul bloc . on les umse par une suite Je pians paru^cies, et i\.hi regarde comme des ■ ;-.-i:c> de j-'ne les s: verses parliez dans Lesquelles . iï i Jvc-.'ii i'c-c .a . ■. i«:ti::»- . ::£ : 3 n nulle ^-vx
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hacune de ces parties, qu'on appelle tambours, somme de simples troues de cônes.
Le charpentier de vaisseaux donne à ses mais une forme semblable à celle des colonnes, en diminuant graduellement leurs diamètres, depuis le pied jusqu'au sommet.
Le cône s'exécute de plusieurs manières, analogues à celles qu'on emploie pour le cylindre.
D'abord on peut former un polygone régulier ABCDE , fig. 5 et 5, d'un grand nombre de côtés, et travailler chacune des facettes planes SAB , SBC, SCD, .... suivant les moyens expliqués dans la leçon relative aux plans.
Si, au lieu d'un cône complet, on n'a qu'un tronc de cône droit circulaire ABCD... abed. ., fig. 16, il faudra d'abord exécuter les deux faces planes ABCD... , abed... , parfaitement parallèles. On marquera , sur ces plans , deux ( points O, 0, qui soient sur une droite perpendiculaire aux deux plans. On mènera, par les deux points 0, 0, les droites parallèles OA , oa, qui aient pour longueur celle des rayons des deux cercles ABCDE, abede, qu'on tracera.
Gela fait, divisons les deux circonférences en un même nombre de parties égales ; et, par les points de division A* B, C, D, ... a, b. c s //..., menons des perpendiculaires au rayon , pour former deux polygones réguliers qui ent^u- ^ût deux cercles. On travaillera les faces planes et trapèzes ayant pour bases inférieure et supérieure les côtés des deux polygones, I . II . 1 . 1, II . III . 5 . a, m . IY . i . 3,.. On formera de la sorte un tronc de pyramide enveloppant le ^ae. En abattant les arêtes I . 1, II . 1 , Iil . 3, IV . 4... , avec un rabot ou tout autre instrument propre à les aplanir, jusqu'à ce que les nouvelles facettes planes qu'on va forcer touchent les der.x cercles, on ^.Lliendra un tronr «le
tours circulant rcs, fiij. (S, aviî'i?
V artilleur Du donnant.
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. a. uiiu'ul pour copier avec
! viîi.D... , iig. 19. Une tige
i V V** * 1 *" du P° int fixe S ' 8 ' a Ppuie
- cv^ ^ rofi ' ABCD....; l'autre bout,
it-oAu j° n P oint "> s'appuie contre un
lv \ /* cl ° ï ^t le plan est parallèle à celui ,
.., courbe abcd.... , décrite par ce
, SGTn °lable au profil ABCD...
-aa deux 1 meQ o n s OSo, figure 19, perpendicu-^
PUns parallèles du profil et du portrait ; O, o.
va les points où o»» ai- ,
. , perpendiculaire rencontre ces deux
nS er ons la tige rectiligne qui sert à tracer le por-
Mt, Une quelconque de ses positions, ASa, jfar
temple. Menons OA, oa ; je dis que les deux triangles ectangles ASO, «So,sont semblables. En effet, l'angle ASO ;st égal a 1 angle oSo, puisque ce sont deux angles opposés au sommet; de plus AO, ao , sont parallèles; donc les triangles ASO, oSo, sont semblables, et
SO : So : : SA : Sa : : OA : oa.
On démontrera de même que
SO : So : : SA : Sa : : SB : Sb : : SC : Se : : SD : Sa*... SO : So : : OA : oa : : OB : ob : : OC : oc : : OD : od...
Or, les lignes OA et oa , OB et ob, OC et oc. . . , sont parallèles deux à deux. Par conséquent, les figures ABCDEF. . . , abedef... , sont des figures semblables, dont les lignes correspondantes sont parallèles et proportionnelles aux distances du point fixe S, aux plans du profilet du portrait. Donc, enfin, le profil ABCD et son portrait abcd, sont semblables.
La nature trace elle-même des surfaces coniuues, à ' a manière du physionotrace , au moyen des rayons émanés de chaque point lumineux. Ces rayons pénètrent dans notre œil, par la prunelle,
