X. I. GÉOM

aOO GÉOMÉTRIE.

pyramide ayant deux fois autant de facettes que le premier, et s'approchant beaucoup plus de la figure du cône. En continuant ainsi d'abattre les arêtes, on s'approchera toujours davantage de la vraie figure du cône ,. pour arriver au degré d'exactitude qui doit correspondre aux besoins de l'industrie.

La méthode que nous venons d'indiquer n'est, comme on voit , qu'une méthode d'approximation. Il faut d'autres procédés pour exécuter un cône d'une manière parfaitement continue.

On peut exécuter des surfaces coniques avec un tour, en faisant glisser l'outil tranchant P, fig. 17, sur un guiue rectiligne NM, fixe, et parallèle à l'arête AS. Dans chaque position de l'outil, il décrira un cercle ayant pour axe la ligne droite qui passe parles deux pointes du tour; l'ensemble des cercles décrits de cette manière, formera la surface du cône SABC , fig. 1 7. C'est ainsi qu'on produit la toupie , SAC, figure 18..

On peut exécuter un cône droit circulaire, en faisant tourner, autour d'un axe SO, fig. 3, la droite génératrice qui fait toujours un même angle avec cet axe. ( Voyez onzième leçon. )

Par la définition même , on produit un cône quelconque, avec une droite mobile, assujettie à passer toujours par un point pris pour sommet.

supplication au physionotraee. On se sert de cet instrument .pour copier avec exactitude un profil ABCD...,fig. 19. Une tige rectiligne, qui

peut tourner autour du point fixe S, s appuie d'un bout sur le profil ABCD....; l'autre bout, muni d'un crayon pointu, s'appuie contre un papier tendu , dont le plan est parallèle à celui du profil. La courbe abcd.... , décrite par ce crayon , est semblable au profil ABCD...

Pour le démontrer, menons OSo, figure 19, perpendiculaire aux deux plans parallèles du profil et du portrait ; O, o, étant les points où cette perpendiculaire rencontre ces deux plans. Considérons la tige rectiligne qui sert à tracer le portrait, dans Tune quelconque de ses positions, ASa, jJar exemple. Menons OA, oa; je dis que les deux triangles rectangles ASO, aSo,sont semblables. En effet, l'angle ASO est égal à l'angle aSo, puisque ce sont deux angles opposés au sommet ; de plus AO , ao , sont, parallèles ; donc les triangles ASO , aSo , sont semblables , et

SO : So : : SA : Sa : : OA : oa.

On démontrera de même que

S0:S* : : SA : Sa : : SB : S* : : SC : Sr : ■ SD : S</. . . SO: So 5 ï OA : OU : : OB : OÙ : OC : or : : OU oif.

Or, les lignes OA et oa, OB et où, OC et <*;. . . . sont pa rallèlesdeaxâ deux. Par conséquent, les ligure AHClJLr f akdef... , sont des figures semblables», dont les li^u* > un répondantes sont parallèles etpri>portiuiiurUrs.iu\ ciiM.m ces da point fixe S, aux plans du profil et. tin |*«*iu.ni 1 i. .•»« enfin, le profil ABCD et son portrait aln d. &out*i iijIu.h... .-

La nature trace elle-même des suriat,* <• * «»m tjues, à la manière du physlunotmw . .tu ij*<i\ < u desrayons émanés de chaque poiii! Ioiiuui uv <.t.rayons pénètrent dans notre œil, \m Li (huucIU

T.l.— Gixm. jd

aoa GÉOMÉTRIE.

et se croisent en un point S, figure aa, pour arriver sur une surface PQ appelée la rétine. Tel est le tableau sur lequel la nature a produit les contours et conservé les couleurs des objets mêmes. Cette impression, produite sur la rétine, se transmet au nerf optique , qui lui-même la transmet au cerveau, siège de notre intelligence.

Ainsi, l'admirable phénomène de la vision s effectue, chez l'homme et chez la plupart des animaux , au moyeu de surfaces coniques tracées dans l'espace et dans notre œil , par les rayons de lumière que répandent, en tout sens, les corps lumineux par eux-mêmes ou par reflet

Tous les points lumineux qui peuplent le ciel, durant une belle nuit, tous les objets dont se compose un immense paysage , regardés durant un jour serein, se peignent dans notre œil avec leurs proportions et leurs formes . leurs couleurs et leurs nuances . au moyen de cônes dont nous venons d'indiquer la position.

Chambre obscure. L'art imite la nature, en construisant une chambre comparable à l'intérieur de noire œil, pour n'y laisser entrer la lumièreque par un verre ou lentille semblable à la prunelleS de notre œil , fig. 22. La lumière transporte sur les parois de cette chambre , comme sur la rétine îzbcJ % les objets, leurs couleurs, leurs formes et leurs mouvements. Si l'on reçoit sur un papier cette lumière , on peut dessiner les contours

NEUVIÈME LEÇON. 2o3

qu'elle trace, et reproduire ses teintes, ses ombres et ses clartés.

Les rayons émanés d'un point unique S , fîg.

20, qui rencontrent une surface opaque abcdef y ne pouvant aller au-delà , les rayons qui affleurent le contour de cette surface se prolongent en séparant, de la partie de l'espace éclairée par le point lumineux , une autre partie privée de lumière par le corps opaque. Cette partie, privée de lumière, est ce qu'on appelle l'ombre du corps opaque. Ainsi , quand une surface ou corps opaque, est placée devant un point lumineux, l'ombre de cette surface ou de ce corps est limitée par une surface conique ayant le point lumineux pour sommet.

Silhouettes. On s'est servi de cette propriété des rayons lumineux, pour tracer , sur un plan , des portraits semblables à des profils donnés. On place le profil qu'il s'agit d'imiter, abcde..., figure 20 , dans un plan parallèle à celui sur lequel on veut tracer le portrait. Une lumière telle qu'une bougie, posée à distance convenable , devient le sommet d'un cône ayant pour base le profil à copier. Le cône se prolonge jusqu'au plan du portrait , de manière à tracer, sur ce plan, une base nouvelle ABCD...., semblable à la première, et marquée par le contour qui sert de limite à l'ombre que porte le profil : cette base est la silhouette de ce profil.

ao4 GÉOMÉTRIE.

Nous avons donné les mêmes lettres à la fig. ic^ du physionotrace, et à la fig. 20 de l'ombre portée ; parce que la démonstration présentée pour la fig. 19, s'applique exactement à la fig. ao, et conduit à la même conséquence.

Ombres chinoises. On a mis à profit, pour amuser les enfants , la propriété qu'ont les surfaces coniques > de reproduire, sur un plan donné, le profil exact d'une figure et d'un groupe quelconque de figures. Une lumière unique éclaire des pantins de carton , ou des personnages véritables , et porte l'ombre des scène» qu'ils représentent, sur un rideau qui , sans permettre qu'on voie à travers, laisse passer assez de lumière dans les parties éclairées , pour rendre parfaitement distinctes, à l'œil du spectateur, les parties placées dans l'ombre. Ces parties sont les bases de surfaces coniques ayant pour sommet le quinquet ou tout autre point lumineux placé derrière le rideau, et dont toutes les arêtes passent par le profil des personnages dont on veut reproduire la position et la forme.

Si le même objet AB, fig. ai, dont l'ombre MN est portée sur le rideau RR, s'éloigne du point lumineux S, et s'avance en ab , l'ombre portée par ab n'est plus que mn, et se trouve diminuée. Ainsi, la position du point lumineux restant la même, il suffit de rapprocher du

NEUVIÈME LBCON. ?o5

rideau l'objet représenté , pour diminuer retendue de l'ombre; tandis qu'en éloignant l'objet du rideau, on agrandit de plus en plus cette ombre. Au contraire, en laissant fixe l'objet, suivant qu'on approche ou qu'on éloigne du rideau le point lumineux , l'ombre portée grandit ou diminue.

Cette variété dans la grandeur d'ombres conservant la même forme , et la diversité des scènes résultant du mouvement de ces ombres , produisent tout l'intérêt de ce genre de spectacles. Les propriéte's des surfaces coniques , permettent de réduire à des tracés géométriques exacts , les effets désirés , et les proportions qui conviennent à ce jeu d'optique.... Parlons, à présent, d'une application beaucoup plus importante que celle des ombres chinoises.

Principe de la perspective. Quand , d'un point fixe S, fig. 22, l'œil dirige tous les rayons visuels possibles , sur la courbe ABCD , ces rayons forment un cône SABCD. Si l'on détermine la section abcd, faite dans ce cône par un plan MN> cette ûgareabcd sera , sur le plan MN , la représentation , ou comme on dit , la perspective de la figure ABCD. Elle fera, quant à ses formes , le même effet sur l'œil ; c'est-à-dire, elle produira sur la rétine, la même image que ABCD ; puisque les droites Sa et SA , S£ et SB, Se et SC, etc., I»e confondent.

Ainsi, la perspective a pour résultat, d'opérer une représentation des objets telle que, vue d'un point S , elle produise sur notre rétine la même image que les objets. Notre conception recevant des images pareilles , quand elles sont fournies par l'objet ou par cette représentation, nous avons souvent peine à les distinguer; ou, plutôt, nous jouissons d'une ressemblance obtenue par les soins de l'art. Telle est la source du plaisir intellectuel que le spectateur éprouve à la vue de toute perspective bien faite. *

Si l'œil du spectateur ne se plaçait pas au point de vue S , le cône Sabcd changerait de figure; il ne produirait pas, sur la rétine de notre œil, une image parfaitement semblable à celle que produit l'objet même. Tel est l'effet désagréable qu'on éprouve plus ou moins , lorsqu'on place son œil dans une position différente du point de vue. Point ainsi nommé, parce que c'est celui duquel il faut voir la perspective, pour jouir pleinement de son véritable effet.

La perspective des courbes produit des cônes, et celle des polygones produit des pyramides, par l'ensemble des rayons visuels des lignes ou droites menées de l'œil aux contours de ces courbes ou de ces polygones.

Si l'on regarde un polygone régulier auquel le plan du tableau soit parallèle , et que le rayon visuel mené par le centre du polygone soit

NEUVIEME LEÇON. Wj

perpendiculaire à ce plan, la perspective sera semblable à ce polygone , et l'image peinte sur la rétine de l'œil sera encore le même polygone régulier. Mais , si l'on trace la perspective du * polygone , et qu'on déplace le point de vue, l'image qui se peint sur la rétine n'est plus régulière. Le polygone paraît allongé dans un sens , et rétréci daus le sens perpendiculaire.

Ainsi, quand la figure à représenter ne se trouve pas sur un plan parallèle au plan du tableau , la perspective diffère , en général , de forme avec l'objet représenté. Ces différences peuvent ofirir des variétés infinies. Cependant, il est des règles générales très-importantes pour abréger les opérations de la perspective: opérations nécessaires à beaucoup d'artistes , à l'architecte, au paysagiste, au décorateur, au sculpteur de bas-reliefs , etc.

D'abord, si deux lignes droites AB, CD, figure a3, sont parallèles au plan du tableau MN,jedis que leurs perspectives^, cd, sur ce tableau, seront deux droites encore parallèles.

En effet, si nous menons les rayons visuels SaA, SbB , ScC, SdDy les lignes AB, ab y de même que CD, cd, seront parallèles : or AB et CD sont parallèles entr'elles. Donc les deux lignes perspectives ab , cd , seront aussi parallèles. Par conséquent , jamais ces lignes perspectives ne pourront se rencontrer.

À présent, supposons que les lignes AB, CD,

208 G^OMIÊTRIE.

EF, fig. ^4, parallèles entr'elles, ne le soient pas au plan du tableau MN.

Par le point de vue S , je mène jusqu'au tableau MN une ligne droite SO parallèle aux droites AJB, CD, EF, que je veux mettre en perspective. Ensuite, je mène les rayons visuels SA , SB , qui traversent le tableau en a y b. Ces deux rayons sont dans un plan qui passe par S, par AB et, dès-lors, par SO parallèle à AB. Donc les trois points a, b, O, qui sont tous trois sur ce plan et sur le tableau, sont en ligne droite. Donc ab , prolongé, passe par O. On démontrera la même chose pour cd, ef, etc. Donc:

Les lignes ab, cd, ef..., perspectif des parai" ïeles AB, CD, EF..., passent toujours par un même point O , prolongées s'il le faut, quand AB , CD, EF , ne sont pas parallèles au plan du tableau.

Ce point O , fort remarquable , est ce qu'on appelle le point de concours de la perspective des parallèles AB, CD, EF....

Lorsqu'on met en perspective, des objets soi lesquels se trouvent beaucoup de lignes parallèles, il est très-avantageux de déterminer fe point de concours des lignes de chaque direction. On à de la sorte un point de la perspective de chacune d'elles ; il suffit donc de connaître un second point pour avoir leur tracé complet

Application a l'architecture. C'est surtout lorsqu'on met en perspective un dessin d'architecture , qu'on peut tirer un parti très-avantageux des points de concours. Le plus grand nombre des lignes que doit tracer un architecte,

sont parallèles, soit au plan vertical qui suit la direction des faces de l'édifice à représenter, soit aux plans verticaux perpendiculaires à ces faces ; enfin, de ces lignes, les unes sont verticales, les autres horizontales.

Presque toujours, le plan du tableau sur lequel se £iit la perspective, est vertical, fig. n5. Alors toutes les lignes qui, dans l'édifice même, sont verticales, le sont encore en perspective. Quant aux lignes horizontales, celles qui sont parallèles au plan de la façade ont leur point de concours O qu'il faut déterminer. On détermine de même le point de concours o des horizontales qui sont perpendiculaires au plan de la façade ; ensuite , on n'a plus à déterminer qu'un seul point par horizontale et par verticale. La méthode des projections fournit pour cela des moyens extrêmement faciles : moyens que nous indiquerons en traitant de l'intersection des surfaces.

Lorsqu'on sait que des lighes sont parallèles 9 e t qu'on les voit en perspective , on doit examiner immédiatement si ces lignes, prolongées, passeraient par un point unique et convenablement placé f qui est leur point de concours sur le tableau.

Quand on met un édifice en perspective sur **n tableau vertical, figure a 5, ce qui, comme fcoua l'avons d£jà dit , est le cas le plus ordi-

T. I. — Géom. 57

naire dans le dessin et dans la peinture, les points de concours de tous les groupes possibles d'horizontales parallèles , sont placés sur le plan horizontal qui passe par le point de vue. En effet, c'est le seul plan qu'on puisse mener par ce point, parallèlement à des lignes horizontales. Ainsi, d'une part, le point de concours pour la perspective des horizontales parallèles à la façade , et de l'autre part, le point de concours pour la perspective des horizontales perpendiculaires à cette façade , sont placés à la hauteur du point de vue. Par conséquent, à cette hauteur, les horizontales des deux directions se trouvent mises en perspective suivant une ligne horizontale Oo, placée à la hauteur du point de vue. •

On remarquera facilement, figure s5, que les dessus et les dessous des fenêtres qui, dans l'édifice, sont en ligne droite, se trouvent de même en ligne droite sur le tableau de leur perspective. C'est , en effet , la propriété des diverses parties d'une ligne droite, isolées ou non; car il suffit de joindre, ne fut-ce que par un trait idéal, les portions de cette droite, pour former une ligne continue , dont la perspective est une ligne droite unique , laquelle , par conséquent , comprend la représentation de toutes ces portions de la ligne droite qu'on a voulu mettre en perspective.

Application à la peinture. Dtns les tableaux

. NEUVIÈME LEÇON. ail

où le peintre place des personnages , il a soin de ne pas les placer tous dans un même plan ni dans la même attitude. Sans cela , les personnages paraîtraient avec des hauteurs égales, ou diminuées suivant une loi régulière ; de manière

que, s'ils étaient debout et de même stature, non-

seulement tous les pieds seraient posés sur une même ligne droite ; mais tous les genoux , toutes les mains , tous les coudes , toutes les têtes seraient respectivement sur une même ligne droite ; enfin toutes ces lignes droites concourraient en un même point, ce qui serait d'une insupportable monotonie.

Afin d'éviter cette régularité, mortelle pour la peinture , l'artiste a soin de placer ses personnages, à des distances différentes du spectateur; il conçoit plusieurs plans parallèles au plan du tableau. Au premier plan, qui est le plus voisin du spectateur, les objets se peignent sur le tableau , dans la plus grande dimension relative. Ils sont moins grands au second plan , moins encore au troisième , etc.

C'est au premier plan, ou trèsrprès de ce plan, que les artistes placent ordinairement leurs principaux personnages, dont le c dimensions attirent le plus l'attention du spectateur.

Suivant le plan où se trouvent les figures, vous voyez que leur perspective doit avoir une certaine dimension. Si le peintre ne la détermine

pas exactement, sa peinture devient fausse, et les personnages ne sont plus aux distances qu'il a voulu marquer ; s'il a bien posé leurs têtes et tien dirigé la prunelle de leurs yeux , des figures qui devraient se regarder ne se regardent pas, etc.

Il y a bien d'autres m fautes que les peintres peuvent faire, et font en effet, contre la perspective : surtout quand ils représentent des corps, des bras, des jambes dont la direction n'est point parallèle au plan du tableau , et qui souvent se trouvent par-là beaucoup réduites de longueur.

Ces raccourcis sont, pour les artistes, la partie difficile du dessin». Le plus souvent, ils ne parviennent à les figurer qu'en faisant mettre des modèles dans la position même qu'ils veulent représenter ; ils se placent , par rapport à ces modèles, dans la position où sera le spectateur, par rapport à la scène qu'ils veulent peindre.

Le petit nombre de principes que je viens d'exposeF suffira, dans une foule de cas, pour vous mettre en état de connaître la vérité ou la fausseté des perspectives d'objets qui vous seront connus. Il arrive souvent que les architectes et les peintres entendent mal les lois de la perspective , et par conséquent les appliquent d'une manière fautive. Lorsque les connaissances géométriques seront généralement répandues-daus la masse des Français, beaucoup de fautes graves qui ne choquent aujourd'hui que le petit nombre

NEUVIÈME LECOIC. ai3

des connaisseurs, choqueront le public même, et les artistes ne pourront plus se les permettre impunément; ils seront forcés de faire une étude plus approfondie des applications de la géométrie à la perspective. Alors-, leurs ouvrages acquerront cette exactitude de proportions, indispensable aux oeuvres parfaites , dans les beauxarts , comme dans les arts qui n'ont pour objet que la précision des formes.

application de la perspective au dessin des machines et des produits d'industrie. Lorsqu'on veut représenter des produits d'industrie ou des machines \ on emploie souvent la perspective, Cette méthode a, sur celle des projections ordinaires , l'avantage de rendre visibles beaucoup de parties qui , par la méthode des projections, se cachent les unes les autres. Par exemple, il est ordinaire, en employant les projections par des lignes parallèles, de prendre le plan vertical de projection ou parallèle ou perpendiculaire à la façade d'un édifice. Dans le premier cas , les petits côtés de l'édifice ne sont pas visibles; dans le second cas, c'est la façade même qui cesse d être visible. La perspective a l'avantage, comme on le voit dans la figure a5 , de montrer à la fois deux faces d'un édifice.

La méthode des projections sert à mettre rigoureusement une figure en perspective. Cette figure, ainsi que le point de vue, étant donnés en projections horizontale et verticale, ainsi que

ai4 GÉOMÉTRIE.

les traces du tableau , on a la perspective d'un point quelconque , en menant une ligne droite de ce point au point de vue , et cherchant l'intersection de cette ligne avec le plan du tableau ( Voyez treizième leçon. Il faudra que le professeur applique cette méthode à quelques exemples simples, comme à la perspective d'un quatre ou d'un cube, avec les figures nécessaires.)

Pour dessiner à vue, ou , comme on dit , croquer un édifice, un produit d'industrie, une machine, la perspective a l'avantage de permettre de dessiner les objets tels que l'œil les aperçoit , sans faire aucune altération , par la pensée , à l'apparence des choses. Il est bon que les élèves s'habituent à ces divers genres de dessin, pour lesquels ils trouveront des méthodes faciles, en divers ouvrages spéciaux.

application aux décorations théâtrales. Le décorateur de théâtre, pour augmenter l'illusion et pour faciliter les jeux de la scène, emploie d'abord un vaste tableau qui forme la toile de fond, sur laquelle il peint à l'ordinaire, en perspective , les édifices et les paysages. Ensuite il place des deux cotés, suivant deux lignes qui s'écartent l'une de l'autre en avançant vers le spectateur, une suite de tableaux étroits et élevés, parallèles entreux et à la toile de fond : ce sont les coulisses. Sur ces coulisses il représente soit des arbres , soit des colonnes isolées, soit

ÏTEUVIKME LEÇOH. »l5

des parties continues. Mais ce mode est imparfait; en effet , les lignes qui, sur les coulisses, représentent des fractions d'une même ligne droite , regardées du point de vue , semblent toutes ne former qu'une même ligne, mais ne sont plus dans la même direction, lorsqu'on les regarde de tout autre point de la salle. Cependant, malgré ce défaut, une perspective bien esquissée et bien coloriée , offre encore assez de ressemblance avec la réalité des choses pour procurer, à des spectateurs placés dans beaucoup de parties de la salle, une illusion très-agréable.

Projections coniques appliquées a la géographie. Afin de représenter les objets les plus remarquables sur le globe terrestre et sur le globe céleste, on emploie parfois un système de projections coniques , analogue à la perspective (r).

Quoique la méchanique ne fasse pas un aussi grand usage des cônes combinés deux à deux , trois à trois , etc. , que des cylindres combinés delà sorte, elle s'en sert pourtant avec avantage, en plusieurs circonstances.

Elle emploie des cônes réguliers unis, fig. 26, pour transmettre par frottement des mouve-

(1) Un pôle de la terre devient le sommet d'un cône ayant pour base chacune des lignes courbes à tracer sur l'hémisphère le plus éloigné. L'intersection de ce cône avec le plan de l'équateur est la projection polaire de cette courbe.

aiG GÉOMÉTRIE.

ments de rotation d'un axe à un autre , les deux axes n'étant pas parallèles.

Elle emploie des cônes réguliers dentés, fig. 27," dans la même intention.

L'architecte, pour exécuter les grandes colonnes, les décompose en troncs de cônes ou tambours, qui sont cannelés quand les colonnes mêmes doivent l'être. L'art de canneler les colonnes exige beaucoup de précision dans le travail. Si quelque chose est propre à faire bien juger de la rare habileté qu'avaient acquise les ouvriers employés aux constructions d'Athènes, dans les siècles qui font la gloire de cette ville industrieuse , c'est la perfection avec laquelle sont taillées. Suivant des surfaces Coniques, les cannelures des tambours des plus grandes colonnes , et le raccordement parfait de ces divers troncs de cône , pour former des cannelures exactement continues , depuis le chapiteau jusqu'à la base de la colonne.

L'exactitude dans la cannelure ou denture des roues coniques n'est pas seulement un objet dô luxe et d'ainour-propre, comme peut l'être la cannelure des colonnes. De cette exactitude dépendent la facilité et l'économie dans la transmission des mouvements, comme nous le verrons en expliquant le jeu d*s eu jrenages. v Voyez première partie de \x Mechanique, second volume de c* Cours. '

SKT1K1'

rjaces développai lej y surfaces gauches , etc.

Tons appelons surface développable , toute sur* iqui peut être déroulée, déployée, dévelopsur un plan, sans que, dans cette opération, une partie de la surface ait eu besoin de s'alsjer ni de se raccourcir , de s'ouvrir ni de se Mer*

téjà, nous avons examiné deux espèces ratantes de surfaces développab les : les cylindres •es cônes. Nous avons vu , en effet , que surfaces peuvent se déployer sur un plan, j rupture ni duplicature. Nous avons vu, révoqueraient, qu'on peut toujours ployer une tion de plan , sans duplicature ni rupture , de lière à former un cylindre ou un cône dont igure et les dimensions soient déterminées, tofin, nous avons vu qu'on peut toujours conîrer le cylindre comme un prisme composé a très -grand nombre de facettes planes, nt la figure d'un parallélogramme ; et conter le cône comme une pyramide compo- T. i. — Gkom. -28

objets auxquels on attache du prix, on les entoure avec une matière qui soit moins précieuse. C'est ordinairement avec une feuille flexible et plane, telle que de la toile, xlu papier , du carton , des peaux , du fer-blanc ; de la tôle, etc., qu'on leur forme une enveloppe: tels sont les étuis et les cartons, les fourreaux : d'armes, les tentes, les couvertures d'emballage , les boîtes de toute espèce , les cornets , les enveloppes des épiciers , des apothicaires, etc.

Toutes ces enveloppes, quels que soient leurs plis et leurs replis, si elles en forment, sont évidemment dêveloppables. Il faut seulement observer que les substances qu'on emploie , surtout quand ce sont des tissus, étant susceptibles de se comprimer et de s'étendre, peuvent différer, en certains endroits , des formes rigoureuses de la surface développable , telle que nous- l'avons définie d'après les géomètres.

application aux tentures et aux draperies* 11 en faut dire autant des surfaces formées par les tentures et les draperies avec lesquelles on décore nos appartements et l'intérieur des monuments publics. Si l'on se bornait aux formes des surfaces dêveloppables rigoureusement géométriques, on n'aurait que des plis rectilignes , des contours roides , sans grâce et sans variété; tels, à peu près, que les contours des draperies étrusques.

aab GÉOMÉTRIE.

Les Grecs semblent être le premier peuple dont l'imagination, gracieuse et fertile, ait bien compris quelles combinaisons heureuses l'on peut obtenir, en étudiant là double propriété qu'ont les étoffes , de se plier en surfaces développables composées d arêtes rectilignes , et de se courber avec uniformité, pour s'éloigner de ces formes, suivant des gradations soumises aux lois du bon goût. Ces lois elles-mêmes , dans la décoration des édifices, sont susceptibles d'être ramenées 4 des principes généraux.

Revenons aux surfaces rigoureusement développables; vous allez voir combien leur usage est étendu dans les arts , et quelle utilité l'industrie trouvera dans la solution géométrique des questions qui s'y rapportent.

Demandons-nous de construire une surface développable , fig. 2 , passant par deux courbes ABCDEF, abcdef, qui ne sont pas dans un même plan. À cet effet, on supposera que la courbe ABCDEF est un polygone d'un très-grand nombre de côtés, AB, BC, CD, DE.... On prendra une règle bien dressée dont on posera le plat , d'un bout sur AB, et qu'on fera tourner autour de AB, jusqu'à ce que l'autre bout de la règle vienne rencontrer la courbe abcdef, en deux points très-rapprochés, a, b. On mènera les droites ka , Bb. Cela fait , on placera la règle de manière que la large face plane pose à la

DIXIÈME LBÇOIT. 221

fois sur BC et Bb : on marquera le point c où cette face plane rencontre la courbe , puis on mènera Ce. On déterminera, de la même manière, Drf, Ee, ¥f.... Ainsi sera produite la. surface développable ABCDEFabcdef..., laquelle différera très - peu de celle qui passe rigoureusement par les deux courbes ABCDEF , àbedef. Voyez treizième leçon.

Sciage des pièces de tour. Dans la construction des vaisseaux , il arrive souvent qu'on doit scier une pièce de bois , suivant des surfaces dont le contour inférieur abc... et le contour supérieur ABC..., 6ont tracés sur deux faces de cette pièce. Si l'on veut opérer le sciage sans être obligé de gauchir, de tordre la scie , pour lui faire perdre sa figure plane ou développable, il faut que la ligne droite, formée par les dents de la scie, soit dirigée de manière à se confondre successivement avec les arêtes ka , B£, O...*, fig. a ; alors la scie divise la pièce de bois, en décrivant une surface développable.

application des surfaces dèveloppables , à la coupe des pierres. La coupe des pierres fait un fréquent usage de surfaces dèveloppables, ce sont ordinairement des cylindres et des cônes. Pour construire les voûtes ayant des formes compliquées , on détermine , comme nous l'expliquerons dans la leçon relative à tintersection des surfaces , la figure de tous les

contours de chaque pierre qui doit entrer dans la composition de la voûte , et qu'on appelle pour cette raison voussoir. Afin que l'édifice ait la plus grande solidité possible, ces voussoirs doivent se toucher exactement dans leurs parties cachées , qui se supportent mutuellement et qu'on appelle joints. Il importe donc que les surfaces de joint soient déterminées avec une précision parfaite, afin qu'on puisse les rendre identiques pour les deux faces des voussoirs qui doivent s'appliquer l'une contre l'autre. On arrive aisément à ce but, si l'on rend dèveloppables les faces de joint. On peut alors exécuter rigoureusement, en carton, en planches minces , etc. , le patron de chaque face développable ; plier le patron sur la face de joint; et voir si la règle s'applique parfaitement sur cette face , suivant la direction des arêtes. Je ne puis pas vous offrir une idée plus frappante de la nécessité de donner aux surfaces de joint, dans les diverses parties d'un édifice, une forme rigoureusement pareille , qu'en vous citant l'exemple du Panthéon , à Paris. Dans cet édifice , un dôme vaste et très-élevé devait être soutenu par quatre groupes de colonnes élégantes. Afin d'atteindre plus aisément à l'aspect d'une exe'cution parfaite, on avait taillé •les tambours ou troncs de cônes circulaires dont se compose chaque fut de colonne , en les

DIXIÈME LKCON. 2!l3

creusant vers le milieu , pour que les bords se joignissent sans laisser voir le moindre interstice au dehors. Le coup d'œil de ces colonnes , au premier moment de leur érection , donnait l'idée d'un chef-d'œuvre de l'art Mais, lorsqu'on les eut chargées du poids immense de la voûte, les bords des tambours, bords qui seuls étaient en contact , n ayant pas assez de surface pour résister à cette pression, s'éclatèrent, et le dôme entier s'aflaissa, jusqu'à ce que le vide laissé dans l'intérieur des tambours eût été rempli. On se crut obligé de bâtir d'énormes piliers , au centre des groupes de colonnes qui soutenaient cette voûte, et la beauté de la construction disparut. Elle eût été conservée, si Ion avait exécuté les joints des tambours suivant des surfaces exactement superposables. La Géométrie en fournit les moyens, dans les cas les plus simples , comme dans les plus compliqués.

Traçons bien exactement les arêtes curvilignes AB, BC, CD,DA, ab y bc 7 cd y da, fig. 5, d'an vcussoir. >ou* pour ods, poar chaque face de joint, déterminer une surface dtveloppable qui passe à la fois par AB et a£, une par BC et Ac, une par CD et cd, une par DA et da. Lu faisant la même chose y. ur le* Toussoirs adjacents , on sera sûr que ta faces en contact s appliqueront exactement les unes contre les antre*. Quand on connaîtra la figure et la position de AB et ab . BC et bc rien ne sera plu» facile que

4 employer la tuetbode donnée, ûg. 2. pour déterminer c h*que surface dereioppahle.

lo.

22 € 2 G JiOiMn 4 n i p.

contours de chaque i»t- • rouvrit ::;e grafti? clans la composition lie . tïium m :.vre mi:.appelle pour celte rais i * feuilles, suivant : difice ait la plus fciau. ;• i opérant a-nsi : voussoirs doivuiu .v*. i^ticie à couvrir , fig. 4. leurs parties caciu. .^'.DE , abede^ db'c'di. tiicllenient el 4 n** ^ut , soient éloignées Tue* donc que le& :- ^'uuce égale à la largeur des

v, .tiù employer. Ensuite, ils

. v 1- les feuilles , de manière

muiî par les contours ÂJBCDE

. .. ciub'c'd'e\etc Ils les posent

..•j .ie l'autre, en les unissant

c , ju les assemblent à recou-

- L\aat lïme sur l'autre.

« ^ur faces dèveloppables t à la

.us et des coupoles. C'est en

. . procédé, que Ton a couvert avec

*..t\rc, la magnifique coupole de

v\. kîo i'aris.

..» doublage des navires. C'est en-

. u .0 procédé, que les construc-

. ..- ..ïv couvrent ou , comme on dit

. eue des navires, avec des feuilles

.iiv en V1JCDEF, fig. 7. Les bords

. .. ailles en ligne droite, quoique

•.-.tisse recouvrent suivant une li-

• u**po:idc pas exactement à ce

mi- ic recouvrement, qui n'est pas

minées avec t puisse les :

faces des vou. contre fau;!* Ton ren. . .

peut al en jïljj fi*» * ..

égal à tous les angles , ni rectiligne sur tous les cotés , l'on produit le même effet que si l'on Avait taillé les feuilles de cuivre suivant un contour qui convînt à leur raccordement rigoureux, 311 les supposant soudées côte à Cote.

Ce moyen , adopté par les constructeurs de.

vaisseaux, est praticable avantageusement; parce que la surface de la carène est très -grande par rapport à l'étendue de chaque feuille qui sert au doublage, et que le cuivre qu'on emploie pour cette opération , peut s'étendre un peu dans sa partie intermédiaire , pour suivre , en chaque point , les deux directions de la courbure de la carène. C'est ce qui deviendra plus sensible, lorsque j'expliquerai les deux courbures des surfaces les plus générales.

Le cartonnier, qui forme une foule de surfaces diverses, avec des feuilles de papier et de carton collées les unes sur les autres et les unes à côté des autres, produit une suite de surfaces développables , très-variées dans leur figure et dans les rapports de leur position.

Lorsque le carrossier a construit la charpente d'un carrosse, c'est-à-dire, posé les pièces de fer et de bois qui marquent les contours anguleux de la voiture , les encadrements des portières et des fenêtres, etc., il doit fermer les espaces ttiarqués par ces encadrements et par ces

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