ET DES BEA UX-ARTS

La ligne droite , les angles , les perpendiculaires

et les obliques.

La géométrie a pour objet de mesurer les étendues et d'en évaluer les rapports.

Une étendue peut être prise en trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur.

Tous les corps que renferme la nature , et tous ceux que l'industrie façonne, présentent ces trois dimensions.

Tout espace, soit vide% soit occupé par un' corps , présente aussi ces trois dimensions.

La surface d'un corps se compose de tous les points qui séparent là portion de l'espace occupée par ce corps, et par le reste de l'espace.

c'est \e point des géomètres, pour lequ e l cfa» cune de ces dimensio ns est réduite k zéro.

Dans les arts, on donne souvent le nom de point à des portions de surface et de solide qui n'ont que des dimensions fort-petites. Tels sont les points de récriture, ceux des lignes ponctuées dans le dessin géométrique, oo du pointillé ', dans le dessin au crayon, dans la miniature, dans la gravure, etc. Tel est encore le point de couture des tailleurs, etc.

On appelle peinte , poinçon % un corps aigu qui se termine , à l'endroit où finit sa longueur, par une partie presque sans largeur, et qui se rapproche ainsi du point, tel que les géomètres le conçoivent.

Il est essentiel que les élèves s'habituent à bien distinguer ces diverses manières de considérer le point , dans la géométrie pure et dans ses applications.

Afin de faciliter 1 étude de la géométrie, on traite d'abord des lignes, puis des surfaces; puis des corps, qu'on appelle volumes par rapport à l'espace qu ils occupent , et solides s'ils ont des formes qu'ils puissent garder par eux-mêmes : sans être contenus dans des vases ou fies bords résistants, comme le vin dans les bouteilles, l'eau dans le lit des rivières, des lacs et des mers , etc.

La géométrie suppose que les corps sont solides, ou du moins que leur figure n'est pas

sujette à se déformer sans règle et sans limite, au moment où elle en fait l'objet de son étude. La plus simple de toutes les lignes, et celle qu'on emploie le plus fréquemment dans les arts , c'est la ligne droite.

La ligne droite est celle qu'on parcourt en suivant toujours la même direction : c'est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre. Comme il n'y a pas , entre deux points , deux chemins dont chacun puisse être le plus court , on ne peut pas mener, entre deux points , deux lignes droites différentes. Donc, quand deux lignes droites aboutissent aux mêmes points, elles n'en font qu'une. Si ces lignes droites sont figurées sur deux corps, en rapprochant les deux corps de manière à ce qu'on mette en contact deux points de la première droite avec deux points de la seconde, les deux droites s'appliquent exactement l'une sur l'autre, comme si elles n'en formaient qu'une seule. L'industrie fait usage de

cette propriété de la ligne droite

i°. Pour s'assurer quune ligne déjà tracée est droite , au moyen dune autre ligne quon sait être parfaitement droite. Il suffit en effet d'appliquer en deux points la seconde sur la première, pour voir si elle s'y applique aussi dans tous les autres points. Dans le cas contraire , la ligne examinée n'est pas droite et l'on peut la rendre telle , c'està-dire, la rectifier. a°. Pour tracer des lignes

droites. On trace jde telles lignés avec des corps ayant une ou plusieurs arêtes rectilignes, comme des règles et des carrelets.

On pose la règle ou le carrelet sur une surface où la ligna droite que représente cette règle ou ce carrelet, s'applique en tous points exactement : sans cela il n'est pas possible de tracer une ligne droite sur la surface. Ensuite , avec un crayon, un poinçon ou tout autre instrument qui se termine soit en pointe soit en tranchant, on trace une ligne qui touche partout la règle ou le carrelet : c'est une ligne droite.

Voilà comment le vitrier, avec, sa règle et sa pointe de diamant, taille en ligne droite les carreaux qu'il doit poser.

Lorsqu'on désire tracer une ligne par deux points donnés, il faut approcher également la règle de ces deux points, et aussi près que le comporte l'épaisseur du crayon ou de la pointe avec laquelle on doit tracer ; puis tenir la règle dans une position invariable durant le tracé, en ayant soin que le crayon ou le poinçon reste toujours en contact avec la règle.

Quand les élèves commencent à dessiner des figures géométriques, il leur faut des soins et du temps pour tirer exactement une simple ligne droite, même au crayon. Lorsqu'ils la mettent à l'encre, ils ont une difficulté de plus ; c'est de conserver aux lignes qu'ils tracent une largeur

partout h *même. Quand cette largeur est ïtop considérable die suffit pour détruire l'exactitude du dessin. Hfaht donc que les élèves s'habitufeiit par degrés k^e donner aux lignes qu'ils trace^ lent, que : T<épaisseur nécessaire pour quelles soient distHfctfeme^t visibles* ""*

■ Nwrô parions ici de la largeur des lignes exécutées pour les travaux des arts. Il faut, en effet , dire de la ligne droite ce que nous* avons dit du point : le géomètre suppose que cette ligne n'a que de la longueur sans largeur. Au contraire, toutes les lignes exécutées dans les arts ont de la largeur : même celles qui représentent les lignes idéales des géomètres.

Dans l'industrie, on donne souvent le nom de ligne à des cavités ou à des reliefs étroits, -peu profonds et fort longs, qui par là semblent se rapprocher de la ligne idéale des géomètres* Telles sont les lignes defortificàthn passagère dont l'assiégeant on 1 assiégé entourent une place* Dans l'écriture et l'imprimerie , on appelle ligne une suite de mots- alignés sur une même direo tion > et ddmt là hautetfr, égale à celle des lettre^, est fort-petite par rapport à sa longueur.

Les cordiers appellent ligne une corde qui a fort peu de grosseur comparativement à sa longueur. Il faut placer cette ligne ou cordeau parmi les instruments de géométrie pratique employés dans les arts. Un cordeau tendu par les

T. I. — GÉOM. 2

io géom£?iib.

deux bouts, abstraction faite des effets de la pe* santeur, prend la figure d'une ligne droite. Si donc le cordeau (bien tendu parles extrémités) est posé sur la surface où Ton veut faire l'eippreinte d'une ligne droite, et qu'on ait frotté le cordeau avec du blanc, du rouge ou du noir, puis, qu'on le pince pour le laisser retomber sur la surface , il y. tracera la ligne droite désirée*

Nous recommanderons, encore, au sujet de la rigne droite, comme au sujet du point, de distinguer soigneusement le tracé idéal du géomètre et le tracé matériel de l'artiste. On verra qu en beaucoup de cas le progrès des arts consiste à se rapprocher de plus en plus, dans les opérations de l'industrie , de cet idéal géométrique , dont il importe de bien faire connaître aux élèves et la nature et les propriétés.

Mais, avaut d'y parvenir, il faut leur donner l'idée d'une surface qu'on peut former avec une ligne droite. C'est la surface plane ou le plan.

En quelque sens qu'on pose une ligne droite sur un plan , si deux points de la ligne droite sont en contact avec le plan , tous les autres points de la ligne droite le touchent pareillement.

Dans les arts , le plan peut servir à fabriquer la ligne droite et la ligne droite à fabriquer le plan. C'est ce que nous expliquerons avec détails , lorsque nous parlerons spécialement des surfaces* ( Voyez la sixième leçon.)

PREMIÈRE LEÇON. |t

La plupart des tracés nécessaires aux arts s'exécutent sur un plan préparé d'avance à cet effet. Pour les tracés les moins grands, c'est une feuille de papier, de parchemin , d'ivoire même. Pour les tracés plus étendus, souvent on prépare un vaste plancher, comme les constructeurs de vaisseaux préparent le plancher de leur salle des gabarits ou modèles. Les charpentiers de maisons et les appareilleurs font souvent leurs tracés sur la face plane d'un mur; les ingénieurs tracent les épures des ponts sur des aires horizontales, en plâtre; ils ne peuvent espérer quelque exactitude si la surface supposée plane n'e&t au préalable bien vérifiée : de manière à garantir qu'une ligue droite, posée dans tous les sens sur le plan, s y applique exactement d'un bout à l'autre.

Mesures de longueur. La ligne droite , étant le plus court chemin pour aller d'un premier point à un second , sert très-convenablement à mesurer cette plus courte distance entre deux points.

Les dimensions ordinaires des corps se mesurent avec la ligne droite. C'est ainsi qu'on mesure la longueur,, la largeur et la hauteur d'une pile de bois, d'une maison, d'un navire, etc.

Afin de comparer ces diverses mesures , il faut en prendre une pour unité, et voir combien de fois elle est répétée dans l'objet mesuré. Si elle y est répétée exactement 1,2, 3 , 4 , 5.... fois , en un mot un nombre exact do fois, nulle

J2 GÉOHÊTBIE.

difficulté. Il n'en est pas de même lorsqu'il reste à mesurer uo bout qui n égale pas une fois la longueur prise pour unité.

Alors on prend l'unité de longueur ; .on la divise elle-même en un certain nombre de parties égales , en 10 , en 100 , en i ooo ; puis on cherche combien le bout de ligne droite qui reste à mesurer contient de dixièmes, de centièmes, de millièmes, etc. , de l'unité de mesure. . .

Echelle. C'est une ligne droite > AB , fig. 1 y sur laquelle on marque un certain nombre d'unités de mesure et les subdivisions de ces unités.

La géométrie enseigne les moyens de diviser et de tracer les échelles avec une grande exactitude. Cest une des opérations les plus importantes dans les travaux de l'industrie où le succès dépend de la précision. ( Voy. cinquième leçon. )

Il est très-commode pour les altistes d'avoir avec eux une ligne droite toute divisée suivant le système de mesures universellement adopté. Tels étaient l'ancien pied et l'aune ; tel est aujourd'hui le mètre , gradué sur une règle.

Souvent des ouvriers , par une économie mal entendue, achètent à vil prix, des mesures qui ne sont pas divisées avec exactitude ou qui sont sujettes à se déjeter, à s'altérer par l'effet du temps, à s'user d'un bout ou de l'autre. On ne saurait trop recommander, au contraire, à nos artistes, de se gêner plutôt, pour acheter toujours

PREMIÈRE LEÇOR. l3

de bonnes mesures , et de bons instruments en tout genre : la perfection que ces instruments leur permettront de donner à leurs ouvrages , les indemnisera , avec usure , de cette première dépense. Nous reviendrons souvent sur cette vérité.

Après avoir considéré la ligne droite isolément , il faut considérer plusieurs lignes droites dans leurs rapports de position.

Supposons que la ligne droite ABX , figure 2 , tourne autour du point fixe A, et prenne successivement les positions AC, AD, AE, etc. ; dans ce mouvement elle s'écartera de plus en plus de la position primitive ABX. On appelle angle, cet écartement BAC ou BAD, ou BAE, etc., d'une ligne par rapport à une autre : le point A d'où partent deux lignes AB, AC, est le sommet de l'angle ; les lignes mêmes AB , AC sont les côtés de l'angle.

Pour indiquer l'angle formé par les côtés AB, AC, on dit quelquefois l'angle A et le plus souvent l'angle BAC, mettant la lettre A qui indique le sommet , entre B et C qui appartiennent respectivement aux deux côtés.

La ligne AX , fig. 2 , tournant toujours autour du sommet A , arrivera dans la position AM directement opposée à AB. Si elle continue de tourner, elle se rapprochera de AB par le côté contraire; jusqu'à ce qu'elle revienne sur AB ^mêine, après avoir fait un tour complet.

l4 GÉOMÉTRIE.

Il est évident que , dan s la position A M , la ligne droite ÂX a fait un demi-tour depuis ÀB; en effet, si Ton repliait la partie de figure BAME sur la partie inférieure , la première couvrirait exactement la seconde , et se confondrait avec elle.

Dans les manœuvres des troupes, après les avoir alignées , c'est-à-dire placées en ligne droite et faisant face d'un côté, on a souyent besoin de faire face du côté opposé. Alors on commande demi-tour, qui s'opère par la droite ; aussitôt chaque homme se met à tourner sur un de ses talons A, fig. 3. Pour ne pas gêner ce mouvement , il a posé l'autre pied B derrière le premier , position figure 4 ; il tourne en même temps sur ses talons. Les deux pieds accomplissent chacun un demi-tour y fig. 5, Alors le pied qui était derrière se trouve devant ; on le ramène sur l'alignement du premier , fig. 6. Si le soldat faisait encore un demi-tour , il se retrouverait dans sa direction primitive : il aurait fait alors un tour entier.

Considérons les angles que forme la droite AC avec la droite DAB, dans la fis. ". II v a deux angles , un petit BAC et un grand CAD ; leur borame égale toujours un demi-tour de révolution de AC , depuis AB jusqu'en AD.

Donc l'angle BAC est ce qui manque à l'angle DAC pour former un demi-tour complet; de même DAC est ce qui manque à l'angle BAC

pour former un demi-tour complet. Voilà pourquoi Ton dit que BAC est le supplément, l'angle supplémentaire de DÀC ; de même que DAC est le supplément , V angle supplémentaire de BAC.

Supposons que l'angle BAC grandisse , parce que AC s'écarte de AB ; alors l'angle supplémentaire DAC diminuera. Il arrivera un moment où le moindre angle BAC croissant toujours, et le plus grand DAC diminuant, ils seront égaux, fig. 8. Chacun de ces angles égaux est ce qu'on appelle un angle droit. L'angle droit est donc La moitié du demi-tour d'une révolution complète : c'est un quart de tour.

U angle droit BAC, ou DAC, fig. 8, ou quart de tour, est un angle qu'on a besoin de produire ou de mesurer , à chaque instant , pour exécuter une foule de travaux des arts.

Dans la manœuvre des troupes on fait souvent usage du quart de tour, qu'on appelle quart de conversion. Lorsqu'un peloton aligné sur AB, fig. 8 , doit passer de cette position à la position perpendiculaire AC , il tourne , il converse autour du point A. Il ferait un tour, une conversion complète pour revenir à sa position première , s'il tournait toujours clans le même sens; il ne fait qu'un quart de conversion pour arriver k la position perpendiculaire. On détermine le sens du mouvement , en commandant la conversion par la droite , ou par la gauche.

l6 GÉOMÉTRIE.

Supposons maintenant deux nouvelles lignes droites MON et OL, fig. 9 et 10 , pour lesquelles on ait pareillement trouvé la position de OL, telle que les deux angles JNOL et MOL sont égaux. Je dis que ces deux angles sont égaux aux deux premiers BAC, CAD, fig. 8, que nous venons d'appeler angles droits.

Pour le démontrer , posons la ligne droite DAB, fig. 8, sur MON , fig. 9 , de manière qu'elles se confondent dans tous leurs points, comme deux lignes droites peuvent le faire , et que le point A tombe sur le point O ; alors il faudra que le côté AC couvre exactement le côtéOL. Admettons , s'il se peut , que AC , fig. 9 , ait une autre position , et tombe à gauche de OL ; il est évident que les angles CAB , CAD étant égaux entr eux , MOL qui surpasse de COL le premier angle, et jVOL qui est surpassé, par le second , de ce même angle COL , ne pourraient plus être égaux entr eux. Au contraire, si AC , tig. 10 , tombait à droite de OL , les angles BAC, DAC étant égaux entr'eux, MOL plus petit que DAC , et NOL plus grand que BAC ne pourraient plus être égaux. Par conséquent AC ne peut tomber ni à droite ni à gauche de OL : donc AC tombe exactement sur OL. Donc les angles droits que forment, d'une part les deux lignes droites AC . BD, de l'autre les deux lignes droites différentes OL, MN, sont toujours égaux entr'eux.

Tel est le premier principe sur lequel est fondé l'usage de Téquerre. Une équerre peut 'être formée de deux parties de règles droites AB , AC , fig. 1 1 , fixées invariablement en A, de manière à former un angle droit. Lorsqu'on veut, à partir du point O , fig. 12 , mener une ligne OL qui

v PREMIÈRE LEÇON. 13

fesse deux angles droits avec MON, on pose un côté AG de Féquerre le long de ON, de manière

le point A vienne aussi près que possible du loiht O; puis on trace la ligne droite 'OL ' par les moyens ordinaires : c'est la ligne cherchée.

Si les artistes employaient une équerre qui ne J fût pas très-exacte , toutes leurs çpe'rations participeraient à cette inexactitude. Il faut t donc qu'ils aient grand soin de vérifier les éqùerres dont ils se servent : rien n'est plus facile.

Vérification des éqùerres. Pour vérifier Féquerre BAC, fig. x i , je commence par tirer très-exactement, sur une surface plane, la ligne droite $IÔN, fig. 1 3; ensuite je pose le côté AC le plus près possible et le long de ON; je trace OL le long de AB. Cela fait, je retourne 1 equerre; je la place en B'A'C, mettant A'C le long de OM, et je vois . quelle est la direction du second côté A'B'. i °. Sîil tombe juste sur la ligne OL déjà tracée , Féquerre est exacte. 2°. Si le second côté de Féquerre n'arrive pas jusqu'à OL, Féquerre est inexacte, et l'angle quelle indique est trop petit. 3°. Si le second , côté dépasse OL, Féquerre est encore inexacte. * et l'angle qu elle indique est trop grand.

Nous verrons par quels moyens l'artiste peift 1 ** rectifier une équerre qui n'est pas exacte.

Les charpentiers de marine appellent faussé^" équerre, un instrument XYZ, fig. i& tres-çptornode pour prendre et transporter toute espèce T. I. — Giom . 3

l8 G<OMSTBU.

Sangles. Cet instrument se compose de deux règles qui tournent sur un même pivot auquel elles sont fixées, de manière à pouvoir former tous les angles depuis le |>lus petit jusqu'au plus 'grand On a soin d'ailleurs de serrer assez les deux règles Tune contre l'autre, pour qu'elles ne tournent pas ainsi l'une sur l'autre sans 'éprouver quelque résistance def frottement ; de sorte qu'elles gardent leurs positions respectives quand on ne fait plus effort pour ouvrir ou fermer 1 angle qu'elles représentent. On va voir, d'après cette explication, combien il est facile de rapporter un angle quelconque BAC, fîg. 14, à partir d un point O, fig. i5, en se donnant un côté OL du nouvel angle LOM , qui doit égaler BAC.

On ajustera la fausse équcrre de manière que les deux côtés XY, YZ suivent respectivement les directions Afi, AB, fig. i£. Ensuite on transportera la fausse équerre sur la fig. i5, en ayant bien son de n'en pas altérer l angle. On posera XY sur OL. Alors en traçant avec un crayon , ou une pointe , ou un cordeau , la ligne droite OM suivant le coté YZ, l'angle MOL sera égal à BAC.

Superposition. Il est essentiel de remarquer le moyen que nous employons ici soit pour former des angles , soit pour nous assurer qu'ils sont ^ • égaux , en posant les équerres sur les figures et ' les figures les unes sur les autres. Ce même moyen sert dans une foule de pratiques de l'industrie et dans un grand nombre de démonstrations de la géométrie. Quand deux figures posées

MSMisms liços. 19

tes leurs parties, elles ont même forme et nrfww grandeur; dissent parfaitement égales; et Ton fint une figure écaie à une antre, quand on ressente de manière à remplir cette condition. Ces* ainsi que les taiOears et les modistes posent des patrons sur l'étoffe qu'ils veulent exactement tailler serran t le contour de ces patrons qui représentent les formes qu on doit fi gurer ou couvrir»

Quand la ligne AC, fig. 16 , fait arec DAB les deux angles droits BAC, CAD, on dit que AC est perpendiculaire à DAB. Par conséquent on mène une perpendiculaire AC, à la droite DAB, toutes les fois qu'on pose une équerre XTZ d'un côté YZ le long de AB, et qu'on trace une droite AC le long du côté XY. J'indiquerai d'autres moyens de mener des perpendiculaires.

Plions en deux la fig. 17, de manière que la ligne droite ABE soit le pli même , les angles ABD, ABC étant égaux, la droite BC se posera sur BD. Donc l'angle CBE couvrira exactement DBE ; donc ces deux derniers augles sont égaux comme les deux premiers. Ainsi , quand deux droites se coupent, si parmi les quatre angles qu'elles forment, un seul est droit, les trois autres le sont pareillement ; alors chaque partie AB, BE d'une des droites est perpendicijlaire à l'autre droite.

Il est essentiel de prouver que d'un point B,

figure 18 , on ne peut mener qu'une perpendiculaire BA sur une ligne droite donnée DÀC.

Pour nous en convaincre, supposons que du point B l'on puisse mener deux perpendiculaires BA, BD, sur la même ligne droite DAC. Je prolonge BA de manière que A& égale AB; puis je mène la ligne droite D£; ensuite je replie toute la partie DAC6 sur DAGB. Les angles 6 AC, BAC étant égau;, A& se pose sur AB, et le point b Sur le point B.. Donc D&se pose aussi sur DB; donc l'angle AD6 égale l'angle droit ADB. Ainsi Db ferait partie de la perpendiculaire DB, et l'on pourrait mener deux lignes droites $AB T 4DB, entre les points b et B; ce qui est absurde.

Ces préliminaires établis sur les angles droits, il faut parler des angles obliques.

Quand la droite CD, fig. i9,ibrme deino angles inégaux avec la droite ACB, il y en a un plus petit et l'autre plus grand que l'angle droit ACE : le petit s'appelle un angle aigu, et le grand un' angle obtus.

Il est évident que ces deux angles occuperont l'espace autour de C, d'un côté de AB, de même que les deux angles droits ACE , BCE. Donc la somme de l'angle aigu BCD et de l'angle obtus ACD, égale deux angles droits.

Il est facile , en effet , de voir que l'angle aigu JBCD égale un angle droit moins DCE, et que l'angle obtus ACD égale un angle droit plus DCE; donc leur somme égale deux angles droits.

Supposons maintenant qu'on prolonge DC en CF, et comparons les deux nouveaux angles ACF, BCF avec les premiers.

PEEM IÈRB LBÇOff. aï

i°. L'angle ACD plus l'angle BCD, formés par CD et la ligne droite AB, égalent deux angles droits; par conséquent BCD égale deux angles droits moins ACD. 2°. L'angle ACD, pins l'angle ACF, formés par AC sur la ligne droite DCF, égalent deux angles droits ; par conséquent ACF égale deux angles droits moins ACD. Par conséquent aussi BCD , ainsi que ACF, égalant chacun deux angles droits moins ACD, sont égaux entr'eux. On démontre de même l'égalité des angles ACD, BCF, qui , comme les premiers, sont opposés au sommet.

Ainsi, quand deux lignes droites se croisent, elles forment quatre angles. Alors : i°.les angles adjacents, pris deux à deux, font une somme de deux angles droits; 2 °. les angles opposés au sommet sont égaux.

Actuellement nous pouvons comparer entre elles les perpendiculaires et les obliques.

Si Ton mène, d'un point D quelconque, fig. 20, une droite DE jusqu'à la droite AB , et que les angles AED, DEB ne soient pas droits, la ligne DE n'est pas perpendiculaire à AB , elle est oblique. Si de plus on mène DC perpendiculaire à AB, des deux angles AED, BED, le dernier, celui qui regarde DC, est aigu; l'autre est obtus.

A présent, je prolonge DC jusqu'en d, de manière que CD égale Cd. Je mène la droite Ed; puis je replie la partie inférieure de la figure , en la faisant tourner sur AB comme sur une charnière. Alors Cd se pose sur CD et d sur D; puisque les angles BCD, BCi/sont égaux. Donc Ed égale ED. De plus la ligne brisée DEd est plus longue que la ligne droite Dd menée entre les mêracj extrémités D, d. Donc la

aa GÉOMÉTRIE.

moitié à* DEd f c'est-à-dire l'oblique DE ett plat longue que )a jnoitié de DCd 7 c'est-à-dire la perpendiculaire DC.

Telle est donc la propriété générale d'une droite DC, fig. ao, perpendiculaire à une autre droite AB, d'être plus courte que toute oblique menée de £ extrémité D de la perpendiculaire à cette ligne AB. Les lignes droites DC, DE mesurant les distances du point D à la ligne droite ÀB, il en résulte que pour aller d'un point à une ligne droite , le plus court chemin est la perpendiculaire menée de ce point a cette droite.

Voilà l'une des propriétés de la géométrie élémentaire , les plus remarquables et les plus avantageuses dans les applications aux arts.

Vous aurez souvent à chercher les distances les moins grandes , les surfaces les moins étendues, les volumes les moins considérables qui satisfassent à des conditions données : mais il ne vous sera pas toujours aussi facile de les trouver. Les questions de cet ordre, desquelles dépend toute l'économie des pratiques de l'industrie , nous occuperont beaucoup, et nous tâcherons d'en bien faire comprendre l'esprit.

Supposons qu'ayant mené, fig. ai, DB perpendiculaire à AC, on ait BÀ égal à BC, je dis que les obliques menées de D en À, et de D en C sont égales. En effet , si nous replions la partie BDC sur BDA, la perpendiculaire BD servant de charnière , les deux angles droits ABD , CBD

PEEMIÈEK mlxço*. a3

étant égara, BC tombe sur BA et C sur A; donc DC égale DA. Par conséquent deux obliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales.

Application a la vérification des perpendiculaires. Les dessinateurs, les meauisiers, les charpentiers, les appareilleras , etc., font un fréquent usage de cette propriété , quand ils veulent vérifier si une ligne est perpendiculaire à une autre, sans recourir à lequerre. Ils mesurent trèsexactement deux parties BA, BG égales entre elles, à partir de la ligne BD dont ils veulent vérifier la position. Us mesurent ensuite, avec une règle ou tout autre instrument , la distance des points A et D , c'est-à-dire la longueur de l'oblique AD ; ils portent cette longueur sur DG à partir de D; si elle aboutit exactement en C, alors les deux obliques AD, DG sont égales, et là ligne BD est perpendiculaire à AC.

Quand on veut vérifier la position d'une perpendiculaire DB sur ABC, il ne faut pas prendre d'oblique T)a, trop voisine de la perpendiculaire; car si elle était très-près de B, un dérangement même assez sensible dans la position de cette perpendiculaire, n'en produirait qu'un fort petit dans la longueur de l'oblique D£, et l'on s'ex-» poserait à se tromper. Il y aurait également de l'inconvénient à trop écarter les obliques. Les positions les meilleures se rapprochent de celles pour lesquelles AB, BC, BD sont égales.

a4 GÈOUÉTB.1ÏÏ. . '

C'est par des précautions de ce genre, appfy quées dans le même esprit à chaque cas part*culier , que les artistes pourront donner à leurs tracés, à leurs constructions, à leurs machine^ ce grand degré de précision , nécessaire à l'état d'une industrie très-perfectionnée.

Il ne suffit pas d'avoir prouvé que les obliques sont toujours plus longues que la perpendiculaire , il faut prouver que les obliques sont cTau* tant plus longues qu'elles s 9 éloignent davantage de la perpendiculaire.

Soit, fig. 22, OD perpendiculaire à OB; je dis que, des deux obliques DC , DB , la plus courte est la plus voisine de la perpendiculaire. En effet, menons CK perpendiculaire i- CD; nous aurons par cela même DC plus court que DK, et à plus forte raison que DB. l

Nous verrons cette propriété présenter dans la méchanique des applications très-fréquentes. Supposons qu'on veuille rapprocher un corps B, fig. 23, de la position AÇ^er-* pendiculaire à BM. Supposons aussi qu'on ait attaché ce corps à deux cordes BÀ, BC ; puis qu'on tire la première du point A, la deuxième du point C, pour diminuer les distances de ces points au corps. Il faudra que le corps avance de plu» en plus , de manière à présenter des lignes AB', puis AB", CB', puis CB' de moins en moins obliques , et qui par .cela même seront plus courtes. Au contraire, s'il fallait éloigner B de AC , on emploierait des tiges inflexibles de fer on de bois, pour le pousser à partir des points G et A. Qtk ferait . prendre à ces tiges une position de plus en plus oblique, et par conséquent, une longueur de plus en plus considérable, soit entre B et A, soit entre B et C.

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DEUXIÈME LECOA\

Des lignes parallèles, et de leurs combinaisons avec 1rs perpendiculaires et les obliques.

Deux lignes droites sont parallèles quand elles ne se rencontrent jamais, quelque loin qu'on les prolonge des deux côtés.

Par un point A, fig. i et fig. 2, l'on peut mener une ligne droite AB, qui, prolongée par les deux bouts , ne rencontre jamais une autre ligne droite CD; et Ton n'en peut mener qu'une par un même point A.

Pour trouver AB , il faut du point À mener ÂC perpendiculaire à CD; pais AB perpendiculaire à AC. Alors AB sera parallèle à CD. En effet, 6i les deux lignes AB, CD se rencontraient en un point, on pourrait de ce point abaisser deux perpendiculaires sur une droite AC; chose que nous avons démontrée impossible (première leçon).

A présent prouvons que toute autre ligne AE coupe CD. Quelque petit que soit l'angle BAE, l'on conçoit qu'en faisant tourner AE autour de A, pour l'éloigner de AB, l'on répétera l'angle BAE un assez grand nombre de fois pour couvrir tout 1 «spaœ compris dans le quart de tour BAC. Mais si l'on prend antant de points qu'on voudra C ( , C,, Q, C € , etc., éloignés l'un de l| autre -d'une distance égale a CA, puis qu'on élève les perpendiculai- ^ CD,, C,D,, Cg,D s ...., ces perpendiculaires diviseront» T. I. — Gbom. 4

a6 GÉOMÉTllIE.

l'espace BÀCX^C.Cs on bandes parallèles avant toutes la

même superficie que ÀBCD. Or on pourra toujours faire un plus grand nombre de bandes qu'il n'y a de petits angles BAE ; EAE t ; E^E, ; E,AE 3 ; ... dans l'angle droit BACC,. Donc l'espace occupé par une seule bande BACD , . . . . est toujours moindre que l'espace compris dans un angle BAE, quelque petit que soit cet angle. Une telle condition exige que la ligne droite AE prolongée coupe CD; car, sans cela, il faudrait que l'espace BAE , simple partie de BACD , fût plus grand que BACD même : ce qui serait absurde.

Ainsi , dès l'instant où deux lignes droites ÀB , CD sont parallèles , si l'une est perpendiculaire à une troisième ligne ÀC, l'autre est aussi perpendiculaire à cette troisième.

Dans l'art du dessin et dans les tracés du menuisier, l'on fait usage de cette propriété qu'ont les parallèles. On fabrique un instrument qu'on appelle T , parce qu'il est formé de deux parties droites , MN , OP , fig. 3 , assemblées en forme de T. On pose la branche MN plus épaisse et saillante en dessous, le long du bord AD de la planche ABCD; l'autre branche OP étant perpendiculaire à la première , il en résulte que toutes les lignes droites AB, EF, tracées «le long delà branche OP, sont des parallèles.

Quand on veut ranger des troupes en colonne* c'esfr-à-dire , par pelotons parallèles AB, CD, EF, etc., fig. 4? on place des guides A, C, E, G, en ligne droite et à égale distance ; ensuite on aligne chaque peloton perpendiculairement à la

LEÏXlhlE LEÇON. 27 '

droite ACEG... : on est sûr qu'alors les pelotons sont parallèles entr'eux.

Les arts emploient fréquemment des lignes .

droites qui sont à la même distance les unes des autres.

Dans Fécriture faite à la main et dans l'impression des livres, les caractères sont posés sur des lignes partout également distantes, et par conséquent parallèles. Ces caractères mêmes ont leurs parties droites , comme les jambages, d'un m et . d'un n , équidistantes en haut et en bas : la seule différence qu'on remarque entre les directions parallèles de ces jambages, est qu'ils sont perpendiculaires aux lignes dans l'écriture ronde et dans le caractère d'impression dit romain , inclinés à droite dans la coulée et Xitalique, inclinés à gauche dans la bâtarde.

La musique fait usage de lignes parallèles équidistantes , fig. 5 , pour y poser des points pleins ou vides, simples ou distingués par des queues parallèles entr'elles. On groupe ces points de manière à ce qu'il faille un même temps pour chanter ou pour exécuter les sons de chaque groupe; ce temps est ce qu'on appelle une mesure, et les diverses mesures sont séparées par des lignes droites perpendiculaires aux premières parallèles. Par conséquent, ces perpendiculaires sont aussi des lignes parallèles entr'elles.

Souvent on trace à la fois les cinq lignes pu-

rallçles , avec un tire-ligne à cinq pointes placées en ligne droite , qu'on appuie contre une règle , de manière que les cinq pointes soient sur un alignement perpendiculaire à la règle: il est évident qu'on trace ainsi cinq lignes partout également distantes, et par conséquent parallèles. -

L'usage des parallèles équidistantes est infini dans les arts. Le laboureur forme ses sillons suivant des lignes ainsi disposées. Quand il herse la terre et qu'il traîne sa herse en ligne droite , les pointes de la herse placées à égale distance les unes des autres, décrivent des lignes droites , parallèles ; par conséquent , les pointes de l'instrument agissent partout également , pour diviser les mottes de terre que le soc de la charrue a détachées et soulevées par masses plus ou moins grosses.

Quand un graveur veut figurer des surfaces unies et planes , il représente leurs parties plus ou moins ombrées , par des hachures plus ou moins fortes, mais parallèles, et toutes à la même distance les unes des autres.

Quand il veut figurer des surfaces planes dont une partie s'éloigne du spectateur, ou la surface du ciel, il emploie encore des hachures droites, parallèles. Il peut les faire à égale distance, pourvu que les plus voisines du spectateur soient plus foncées ou plus larges que les autres. Il peut aussi faire toutes ses hachures

DEUXIEME LEÇOIC. 29

également foncées, également larges, mais de plus en plus éloignées les unes des autres, à mesure que les points de l'espace quelles indiquent , sont moins ombrés ou moins voisins du spectateur. Ces dégradations elles-mêmes sont soumises à des règles géométriques; et les artistes qui veulent opérer d'une manière éclairée, doivent s'en former une idée précise.

On peut prouver maintenant que deux lignes droites parallèles, sont dans toute leur longueur à la même distance l'une de l'autre.

Ayant tracé les deux parallèles AB, CD, fig. 6, et les droites AC, MN, perpendiculaires à ces deux lignes, marquons H an milieu de AM, et menons HK perpendiculairement aux deux parallèles ; replions ensuite sur IIK , comme sur une charnière , la partie gauche de la figure sur la partie droite. Les angles droits KHA et KHM d'une part , HKC et HKN de l'autre étant égaux entr'eux, HA viendra s'appliquer sur HM, et KC sur KN. De plus, les angles BAC, HMN étant droits et par conséquent égaux, AC s'appliquera sur MN ; et le point C tombera sur le point N. Donc la perpendiculaire AC égale la perpendiculaire MN.

Ainsi toutes les perpendiculaires , telles que AC , MN , fig. 6 , qui mesurent en diverses vositions la distance de deux parallèles , sont égales entr 9 elles : ce sont les plus courtes distances de ces parallèles.

Les perpendiculaires AC , MN , à la même ligne droite AB, sont parallèles : donc les droites AM, CN, qui leu» sont perpendiculaires, sont de même égales entr'elles.

Par conséquent, lorsqu'on a deux parallèles AB , CD y et deux autres droites AC , >D* parallèles en tr elles, mais perpendiculaires aux premières parallèles , les portions des deux premières droites , comprises entre les secondes , sont égales entr elles , et les partions des deux secondes comprises entre les deux premières, sont de même égales entrelles.

application aux routes an fer, ou routes ornières. Ce sont des routes sur lesquelles on pratique d'avance, soit en creux , soit en relief, des ornières parfaitement droites et parfaitement unies, dans lesquelles ou sur lesquelles doivent se mouvoir avec précision quatre roues de chariots, deux sur l'ornière de droite et deux sur celle de gauche. Quand une des deux ornières est droite, Fautre doit donc être partout éloignée de celle-ci , d'une distance égale à Técartement des roues placées sur un même essieu.

Ainsi les deux ornières sont parallèles. C'est précisément parce que les ornières n ? ont pas d'inégalités, et sont exactement rectilignes et parallèles, qu'on trouve un si grand avantage, une économie si précieuse dans les transports eftectués sur ces ornières, comparativement aux transports effectués sur des routes ordinaires.

Supposons maintenant qu'on fasse avancer vers AB, fig. 6, la ligue CD, sans quelle cesse detre perpendiculaire à AC ; elle ne cessera pas d'être

DEUXIEME LEÇON. 3r

parallèle à AB, dont elle s'approchera de plus en plus , mais également dans toutes ses parties. Ce mouvement des lignes parallèles , et cette égalité quelles conservent dans leurs distances , ont une très- grande importance dans la méchanique.

^application des parallèles au jeu des Mull- Jennj ou chariots qui servent a filer le coton.

Qu'on imagine un chariot dirigé suivant CD , fig. 6, et qui puisse avancer ou reculer parallèlement à AB , au moyen de roulettes qui courent sur deux ornières parallèles AC , MN. Les fils de coton partent de AM , où ils sont disposés à égale distance, pour aller s'enrouler sur des bobines alignées suivant CN , aussi à égale distance. Quand le chariot CN se rapproche de AM, les distances des points de CN à la droite AM diminuent toutes également; par conséquent les fils s'enroulent avec égalité sur les bobines, sans qu'ils cessent tous d'être e'galement tendus. Lorsque le chariot s'éloigne de AM pour revenir en CN , les fils sont tous alongés également. Ainsi, c'est en profitant de légalité des paralle* les comprises entre parallèles , que l'on a pu parvenir à construire ces belles machines à filer, qui n'ont pas seulement l'avantage d'opérer, par le seul mouvement d'un chariot, le filage de 4°, 5o, 60 fils et même plus, mais qui confectionnent tous les fils avec une égalité à laquelle on

GÉOMÉTRIK.

n'aurait jamais atteint , en les filant à part , et sans moyens géométriques.

Jusqu'ici nous n'avons comparé les parallèles qu'avec des perpendiculaires , comparons-les avec des obliques. Supposons que l'on mène, fig. 7, les deux lignes AB , CD obliques par rapport à EACF ; si les deux angles EÀB , ECD {appelés correspondants) sont égaux, les deux lignes droites AB, CD sont parallèles (1).

La réciproque est également Vraie, c'est-à-dire, quand ces lignes sont parallèles , toute oblique les coupe de manière à former avec elles quatre angles aigus égaux entr'eux, et quatre angles obtus pareillement égaux entr'eux (2).

(1) En effet, si elles ne sont pas parallèles, en les prolongeant assez elles se rencontreront quelque part , soit en-dessus, soft endessous de EACF : -voyons si cela se peut. y

Je prolonge BA et DC jusqu'en b et d, puis je prends la figure BACD , que je renverse de manière que A se pose en C et C en A,

Mais l'angle BAF, qui égale EAé, égale DCF qui égale ECd; donc le côté AB renversé se posera sur Cd, et le côté CD renversé se posera sur Ab. Donc enfin, si les deux lignes droites £AB,^CD se rencontrent en un premier point, d'un côté de AC, il faudra qu'elles se rencontrent en un second point, de l'autre côté de AC. Cette conséquence est impossible, puisqu'on aurait deux lignes droites qui se rencontreraient en deux points.

Ainsi, règle invariable, quand deux lignes droites &AB, dCD forment avec une oblique EACF, des angles aigus égaux a, a', a", a'", et par conséquent des angles obtus égaux, o, o\ o", ©'", ces lignes sont parallèles.

(a) Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que la ligne droite

Dans les arts où Ton a besoin de mener une droite parallèle à une autre, Ton fait souvent usage de ces deux propriétés des parallèles.

L'on se sert pour cela d'une règle et d'un triangle xyz , fig. 8 , en bois , en verre ou en métal : c'est une èquerre de dessinateur. Ce triangle s'appelle équerre, parce qu'il a deux côtés xz , jrz qui sont à angle droit ou et èquerre.

Supposons maintenant qu'on demande de faire passer par le point A une droite parallèle à CD, fig. 8. On commencera par poser Péquerre xyz de manière qu'un de ses côtés xy suive exactement la direction de CD. Ensuite on posera la règle contre le côté xz de l 'équerre; on appuiera fortement d'une main sur la règle, ou bien on fixera cette règle sur le plan par des poids. Alors l'autre main conduira l'éqnerre le long de la règle jusqu'à ce que le côté xy vienne aussi près que possible du point A, vu la nature de l'instrument dont on doit se servir pour tracer la ligne droite AB demandée. Cette ligne tracée le long de xy sera nécessairement parallèle à CD, puisque les angles aigus correspondants, formés parla règle et les deux lignes AB, CD, sont égaux entreux.

</CD, menée part le point C de manière que les angles a" et a"' égalent a et a', est parallèle à bXli. Or, cm ne peut mener par le point C qu'une seule ligue parallèle à 6AB. C'est donc la droite pour laquelle a, a' ,a" ', a" sont égaux, de même que o 9 o', o rr 9 o T. I. — GÉom. 5

rr tir

34 GÉOlÀ^TRIE.

Avec le côté yz de l'équerre, on peut tracer partout des lignes qui soient perpendiculaires à la règle; ce qui e^t beaucoup plus expéditif que de mener des perpendiculaires au moyen d'obliques également inclinées. Mais il faut avoir des équerres bien justes, et rien n'est plus rare. Même dans les villes où les arts sont le plus avancés, il n'y a qu'un petit nombre d'artistes qui fessent des équerres et des règles d'une précision satisfaisante pour de bons dessinateurs.

Examinons maintenant l'application des propriétés que nous venons d'indiquer, à la construction et au mouvement des corps.

Ayant, fig. 10, une figure ABCD de forme invariable , supposons qu'on veuille la faire avancer , de manière que tous ses points en ligne droite Amnp.... se meuvent suivant cette même droite kmnpa.... , je dis que tout autre point B ou C, ou D, de la figure ABCD, parcourra une droite B£, Ce, Dd parallèle à ka. En effet, la figure ne changeant pas de forme durant son ,. mouvement, chaque point B, C, D, reste toujours à la même distance de la droite ka. Donc il décrit une ligne droite parallèle à kmnpa. ' L'industrie fait l'usage le plus fréquent de cette belle propriété donnée par la géométrie.

Application au jeu des tiroirs dans leurs emboîtements. Les tiroirs des tables , des commodes et des armoires, fig. 9, sont emboîtés et guidés

deuxième u:\;oîf. !J5

dans leur mouvement par un encadrement dont les joints rectilignes représentent autant de lignes droites parallèles ka , Bù , Dr/ ? Ce. Quand le tiroir avance ou recule, si le meuble est bien exécuté, c'est-à-dire si le parallélisme do toute» ses parties est exactement observé, le tiroir no cesse pas de s'ajuster dans son emboîtement ; el nulle part il n'est gêné dans ses mouvement», parce que des parallèles toujours comprise» entre les mêmes parallèles, et par conséquent égales, représentent la distance des divers points de ce tiroir considéré dans ses diverses positions.

Application au jeu des pistons dans les pompas * la même explication nous (ait comprendre comment an piston qui f/emboite exactement dan»

tm corps de pompe dont le contour est formé de lignes droites parallèles, s y rr.e?>t ave*; exactitude, sans éprourer d'obstacle* ni de jen : quand le corps de pompe et le piston v>nt exécutés avec préôskm. Lorsque le piston monte et d^acend altematoremetit. chacun d« points de v*n contour dg iâ e nt une liane droite parais* a f«e du corps lie pompe; tacites les parraireie* arjrrm de* errtes «ftoive&t <étr*e- entaremeat puote* %rjr le c oa to» iaft iiie m *ia c«p* rie porrip*^ Cest Viftort en ex*ign£2ttt "5e* Mdr*inea * ?#5enr, ';*>* î^r «{■dire rfeâanet *!* ^aras'ù? «m» et U ^ r* >«n*

p»te 4* w>.

Application a t ourdissage et au tissage des étoffes. Pour ourdir une étoffe, ou étend d'abord parallèlement un certain nombre de fils qu'on réunit d'un bout sur une lisière, et qu'on enroule de l'autre bout sur un arbre ; on tend ces fils de manière a ce que la partie développée présente une suite de lignes droites parallèles et. placées sur le même plan. Afin que l'étoffe qu'on veut fabriquer ne soit pas trop lâche en certaines parties et trop serrée en d'autres , on fait usage d'un instrument appelé peigne : il se compose de lamelles très-minces et droites , qui sont tenues à égale distance l'une de l'autre , et parallèlement, par deux garnitures convenables- On fait passer dans chacun des intervalles qui séparent les lamelles du peigne, un fil de lachaîne; ce qui règle lecartement des fils. Par ce double système de lignes droites parallèles, dont l'un sert de régulateur à l'autre, quand le peigne est exécuté avec une extrême précision, on parvient à confectionner des .tissus d'une grande largeur, d'une grande longueur et d'une parfaite égalité dans toutes leurs parties.

On sait à quel degré de finesse et de beauté les Indiens ont porté la fabrication de leurs ce-. lèbres cachemires. Cependant, comme iis n'ont ppint, ppur assurer le parallélisme et l'égale dis tajice , des fils , de moyens comparables en précision avec ceux des Européens, Ù leur est

impossible d'exécuter des fonds de châles qui , pour légalité du tissu ^ rivalisent avec ceux que produisent les Européens, quoique nos fabricants ne comptent pas encore vingt années d'essais, dans cette nouvelle carrière ouverte à leur industrie.

Il est essentiel de faire sentir aux élèves que la supériorité , ainsi' conquise dans un art trèsperfectionné, tient aux moyens employés pour s'approcher de la précision, telle que la conçoit la géométrie idéale, dans le parallélisme des lignes droites représentées ici par des fils très-fins.

On aura souvent l'occasion de présenter des conséquences analogues, et partout o» verra combien les progrès de l'industrie exigent qu'on introduise la rigueur des conceptions et des constructions géométriques dans le travail des ateliers. Voilà, répétons -le souvent, ce qui rend de plus en plus nécessaire , à nos artistes , de bien connaître la géométrie appliquée aux arts.

Les propriétés des lignes parallèles sont trèssouvept mises en pratique pour exécuter une figure ou un corps exactement égaux k un corps ou à une figure donnés.

Supposons , par exemple , qu'il s'agisse d'exécuter une figure abcd, fig. 1 1, exactement égale à la figure ABCD , déjà construite. On mènera les lignes B£, O, Dûf, égales et parallèles à Aa, puis les lignes ab, bc 9 cd, da; celles-ci seront

nécessairement égales et parallèles à AB, BC, CD , DA ; et les deux figures seront égales.

application aux tracés de Varchitecture civile et de Varchitecture navale. Lorsqu'on doit donner à un morceau de bois, de pierre ou de fer, un relief qui s'adapte exactement à la figure d'une cavité ou creux préparé pour recevoir la pièce en relief, on se sert alors de la propriété des parallèles dont nous venons de faire usage. Sijpposons, par exemple, que dans le rentrant représenté par ABCDEF , fig. 12, on veuille ajuster % exactement une pièce de bois XY, après l'avoir convenablement taillée. Il suffira pour cela de mener les lignes A<z, B£, Ce, Drf, Ee, F/*, égales et parallèles entr elles, puis de tracer le contour abedef, et de tailler la pièce XY suivant ce contour.

On emploie ce moyen pour faire, avec des planches légères, les modèles ou gabarits des lignes principales avec lesquelles on construit un navire , suivant un plan donné. Les charpentiers de vaisseaux appellent tricage cette manière d'appliquer les propriétés des parallèles; c'est de son exactitude que dépend la fidélité parfaite avec laquelle les formes conçues par l'ingénieur sont reproduites dans l'exécution.

Quant à l'emploi du même procédé pour l'assemblage des pièces en creux et en relief, fig. i3, qui doivent emboîter l'une dans l'autre, c'est de sa précision que dépend la solidité même du na-

DEUXIÈME Leçon. 3g

vire, et la résistance qu'il oppose à ce que ses parties prennent du jeu, quand ce bâtiment éprouve les tourmentes de la mer : jeu qui, comme nous le verrons plus tard, est une des causes de destruction les plus dangereuses.

Application des parallèles au dessin de la géométrie descriptive : méthode des projections. Nous avons dit un mot du moyen de construire une figure égale à une autre, à l'aide des parallèles. On s'est servi de ce moyen pour en faire un mode général de représentation , de description des corps : tel est le but du dessin de la géométrie descriptive.

C'est sur un plan appelé plan de projection , tel qu'une table, un plancher, une feuille de papier tendue, qu'on rapporte l'objet qu'il faut représenter. A partir de chaque point de l'objet même, on mène une ligne droite parallèle à nue direction qu'on fixe d ? abord d'après certaines convenances. On conçoit que chaque point du corps représenté, quitte sa place primitive et vienne se poser sur le plan de projection , en suivant la direction parallèle qu'on a choisie. La position nouvelle du point , sur le plan de projection, est la projection du point.

Si l'on projette ainsi tous les points d'une droite ou d'une courbe, ils formeront, sur le plan de projection , une droite ou une courbe

4o GÉOMÉTRIE.

nouvelle, qui seront les projections de la droite ou de la courbe primitive.

Voilà le genre de dessin dont on fait usage pour représenter les objets dans l'architecture civile, militaire et navale, dans la charpente et dans la coupe des pierres , dans le dessin pour l'exécution des machines, etc.

Une seule représentation des objets ne suffit pas; il en faut deux pour déterminer exactement leur figure et leur grandeur. C'est pourquoi l'on emploie deux plans de projection ; l on trouve simple et commode de supposer l'un vertical et l'autre horizontal. Sur le plan vertical , on rapporte , on projette l'objet à représenter, avec des parallèles qui sont horizontales. Sur le plan horizontal , on projette l'objet à représenter, avec des parallèles qui sont verticales.

La projection horizontale est ce qu'on appelle, à proprement parler , le plan de l 'objet. La projection verticale est ce qu'on appelle Xèlèvation de f objet.

Il est bien essentiel que les élèves soient pénétrés, dès cet instant, de l'importance, de la nécessité indispensable de connaître et de pratiquer avec exactitude le dessin des projections , par plans et par élévations, de tous les objets à représenter et à exécuter , dans tous les arts où l'on doit donner aux produits une forme très-exacte, soit d'après des modèles,

DEUXIÈME LEÇON. /Ji

soit d'après des dimensions et des règles déterminées à l'avance.

La suite de ce cours leur donnera des moyens d'opérer dans les cas principaux qui pourront se présenter à eux; mais cette indication ne suffît pas. Il faut qu'ils prennent un maître spécial .pour leur apprendre le dessin des projections , ses méthodes et ses ressources.

' Application de la méthode des projections a la mcchanique. Non-seulement les parallèles et les perpendiculaires peuvent servir , par le moyen des projections , à représenter la forme d'un corps supposé immobile dans un moment donné; elle sert également à représenter le chemin qu'a suivi ou que doit suivre chacun de ses points, quand ce corps doit prendre un mouvement quelconque. Cette nouvelle application de la géométrie est de la plus haute importance pour la méchanique. Elle permet de représenter par des lignes ce qui n'est réellement pas figuré dans l'espace ; elle permet de fixer durablement des traces dont la nature est de disparaître k l'instant même qui suit l'instant de leur création.

Supposons, par exemple, que je tire une balle de fusil ou de canon , vers un but donné. Le centre de cette balle parcourt une certaine ligne que rien ne marque dans l'espace , ni avant ni après le tir de la balle. Cependant on peut, sur un plan , représenter cette ligne telle qu'elle

T. 1 Giom. 6

4% GIOXST1IE.

fat , ou telle qu elle sera. Cette représentation nous servira , dans beaucoup de cas ; par exemple , pour nous rendre compte de FdBEet da tir (Tune batterie sur une fortification- Suivant que cette ligne , dirigée sur la crête des fortifications , entrera dans F espace où se trouvent les défenseurs, on passera par-dessas cet espace, à telle distance qu'elle ne paisse attendre les défenseurs , la batterie aura de l'avantage ou du désavantage pour FassaiUant; il y aura ou n y aura pas de péril pour les assiégés placés derrière le rempart. (Voyez quatorzième leçon.)

On représente donc la ligne à p a rco u r ir par le centre de la balle , sur les plans de projection qui marquent les pondons respectives et les reliefs de la batterie et des fortifications , pour juger ce qu'on doit espérer ou craindre des effets de cette batterie.

On représente également par des lignes, la suite des points que parcourent le centre de la lune autour de la terre, le centre de la terre et des autres planètes et des comètes autour du soleil, etc. i*a connaissance des lignes ainsi parcourues par les astres de notre système planétaire, est au rang des découvertes les plus précieuses qu'ait feites le génie de l'homme. Il a fallu plusieurs milliers d'années pour y parvenir.

Les machines que Ton exécute pour les besoins de la société et pour les travaux de Tin-

dustrie sont fabriquées dans le dessein que certaines de leurs parties opèrent des mouvements déterminés. Il ne suffît pas de représenter les parties de chaque machine dans une position particulière; il faut pouvoir représenter les mouvements, le jeu de ces parties. C'est encore en employant la méthode des projections, avec des parallèles et des perpendiculaires , qu'on y parvient. Au moyen de cette représentation l'on se rend un compte exact des effets produits par la forme même qu'ont les diverses parties des machines,quand ces machines sont mises enmouvement

Ou doit voir, déjà, combien la théorie des parallèles et des perpendiculaires, toute fa* ciie, toute simple qu'elle parait, a cependant d'applications importantes soit pour figurer et fabriquer des objets de toutes formes, des meubles , des édifices et des machines ; soit pour représenter l'état stable des corps et les diverses circonstances de leur mouvement. Il faut donc se familiariser, beaucoup avec le moyen de représentation qu'elle fournit à l'industrie.

Une des applications les plus utiles des lignes parallèles, est celle qu'on en a faite, pour réduire à la mesure de lignes droites parallèles , la figure des lignes courbes.

. Etant donnée uue ligne courbe quelconque , MAJBCDN , ûg. 1 4 , on la rapporte à une ligne droite principale ou a*e mn , par une suite

d'autres lignes droites parallèles , An, B£, Ce, Dt/, etc. Ordinairement on trace ces dernières à égale distance les unes des autres.

Application au tracé des courbes. L'avantage de ce tracé géométrique, c'est qu'il permet, si je puis m'exprimer ainsi, d'écrire , de compter la figure des lignes courbes, même des moins régulières. La construction des vaisseaux eu offre un exemple remarquable.

Exemple offert dans la construction des vaisseaux. La rapidité de la marche d'un navire, toutes choses égales d'ailleurs, dépend de la forme convenable de la carène ou partie plongée dans l'eau.^Il faut que cette forme soit partout bien continue et bien exécutée, suivant les dimensions déterminées par l'ingénieur. C'est pourquoi l'on emploie les méthodes géométriques les plus exactes pour représenter et pour construire la carène des vaisseaux. On a recours à la méthode des parallèles et des perpendiculaires.

Tous les navires que nous construisons ont leur côté droit, appelé tribord, parfaitement semblable au côté gauche, appelé bas-bord. On prend pour les figurer une ligne horizontale MN, fig. 1 5, qui va de la pouppe à la proue. Sur cette ligne droite divisée en parties égales MA, ÀB, BC..., on élève des perpendiculaires , et sur ces perpendiculaires on marque des points qui indiquent la largeur des lignes d'eau.

On suppose que le navire, sans incliner d'un côté ni de l'autre, s'enfonce graduellement daiis la mer , et qu'à chaque degré d'enfoncement dft marque sur sa surface extérieure la ligne du contour 3e l'eau : c'est ce qu'on appelle les lignes d'eau. La continuité de ces lignes décide avant tout de la bonté des formes d'urt navire. Ces courbes sont déterminées , comme nous venons de le dire, par les demi-largeurs marquées, à droite et à gauche de l'axe , sur les parallèles. Quand ces demi-largeurs sont indiquées en nombres pour chaque ligne d'eau et pour chaque parallèle, on peut toujours exécuter le dessin de la carène, et par conséquent le navire ltli-méme.

Exefnple offert par le tracé des routes' et des canaux. Lîjl ligne MN, fig. 16, prise pour axe, étant, par exemple, celle du niveau des eaux du canal ou toute autre ligne parallèle à ce niveau , on mène des perpendiculaires Aa, Bb,Cc... depuis cette ligne jusqu'au terrain , dont la figure est déterminée par la courbe qui passe par les points a, b y c,d. Pour déterminer les hauteurs M/rc, Aa, Bè, O, on fait usage d'un instrument appelé niveau. Nous le décrirons en traitant des machines hydrauliques.

On forme ensuite ce qu'on appelle des profils en travers , en menant par chaque point A, B , C, D..., des horizontales perpendiculaires à MN, et prenant chacune de ces horizontales pour nou-

/fi GÉOMÉTRIE.

vel axe. On abaisse des perpendiculaires , de cet axe sur le terrain ; on en mesure la longueur; puis on forme une figure pour chaque nouvel axe , avec les perpendiculaires et la courbe du terrain qui leur correspond.

Ces opérations sont indispensables pour connaître au juste la quantité de terre qu'il faut excaver dans les endroits trop élevés , afin de la transporter dans les endroits trop bas, et de transformer la figure primitive du terrain , en celle qui convient soit à la route , soit au canal qu'on veut tracer. Enfin les mêmes hauteurs donnent le moyen d'effectuer avec promptitude et facilité les calculs nécessaires pour évaluer les quantités de terre à enlever, ce sont les déblais, et à rapporter , ce sont les remblais.

Quand on veut déterminer exactement la figure du fond d'un lac, d'un fleuve, d'un port, d'une rade, on en divise la surface par deux suites de lignes horizontales parallèles également distantes; celles d'une suite étant perpendiculaires à celles de l'autre. Cela fait, on abaisse, de chaque point où les parallèles menées dans un sens sont coupées par les parallèles menées dans l'autre , une perpendiculaire qui va jusqu'au terrain. Si l'on fait passer des lignes courbes par l'extrémité des perpendiculaires menées d'une même horizontale, Ton forme un profil du fond du lac, du fleuve, de la rade , etc.

L'on obtient de la sorte, soit en long, soit en travers, tous les profils nécessaires pour déterminer la figure de ce fond.

Au lieu de suivre ce moyen de représenter la figure d'un terrain couvert ou non couvert par les eaux , on préfère souvent des courbes telles que les hauteurs verticales soient égales pour chacune d'elles; on forme alors une suite de courbes horizontales. Ordinairement on suppose que les courbes qui se suivent sont à la même distance les unes des autres, en mesurant verticalement cette distance. Par conséquent, en projection verticale, c'est-à-dire en, élévation, ces sections horizontales sont toutes représentées par des parallèles à égale distance les unes des autres; ce qui simplifie une foule d'opérations. Ce moyen de représentation a le grand avantage de montrer à la vue simple , sur un plan , tel qu'une feuille de papier, la figure complète du terrain dans ses diverses parties.

La détermination de cette figure n'est pas utile seulement à t hydrographie , c'est-à-dire , à la description des lieux couverts d'eau ou baignés par les eaux ; elle sert au topographe pour décrire avec précision la forme précise et détaillée des vallons , des montagnes , etc. ; elle sert à l'ingénieur militaire, comme à l'ingénieur des ponts et chaussées, pour les projets des voies publiques et des fortifications.

: Lorsqu'on veut construire un aqueduc ou uu pont, les piles de ce pont ou de cet aqueduc, è élevant à la hauteur d'une ligne de niveau déterminée MN, fig. 17; on la divise en parties gé- ( néralement égales MA, AB, BC, CD.... A partir de chaque point de division , l'on abaisse les perpendiculaires A#, B6, Ce, ad...., jusqu'au terrain: ces lignes Indiquent la hauteur que doivent avoir les piles du pont ou de l'aqueduc

Je ne m'étendrai pas davantage sur les applications Innombrables qu'on peut faire de cette représentation des formes de l'étendue, par le secours des parallèles. Vous devez voir toute l'importance de cette méthode, sa facilité, sa simplicité, sa rapidité : il faut donc vous familiariser avec elle, par de fréquents exercices, en dessinant rigoureusement beaucoup d'objets, rapportés à des axes et à des parallèles. Il faux

QUE CE GENEE DE DESSIN SE RÉPANDE SUCCESSIVE- MENT DANS TOUS LES ATELIERS.

On peut consulter avec fruit, d'abord l'ouvrage très-élémentaire de M. Francœur sur le dessin linéaire , ensuite l'ouvrage de M. Lacroix sur les. plans et les surfaces courbes , et la Géométrie descriptive, de M. Monge. MM. Hachette et Vallée ont aussi donné de très-bons traité» sur cette matière. On y trouve des choses excellentes qu'on chercherait vainement ailleurs.