IH H S

Le cercle.

Un emafe est une surface plane dont le bord , appelé circonférence, à tous ses points également éloignés d'un point unique appelé centre.

Toutes les lignes droites menées du centre à la circonférence , mesurant des distances égales , ' sont égales entr elles. On appelle rayons ces lignes droites. Donc les rayons d'un cercle sont tous égaux entr'eux.

Quand deux rayons sont directement opposés, l'un à droite , l'autre à gauche du centre , la ligne droite unique qu'ils forment , est ce qu'on appelle un diamètre du cercle.

Ainsi dans le cercle ABDE, fig. i , C étant le centre, CA, CB, CD, CE, sont des rayons, tous égaux entr'eux. Si les deux rayons CA, CD forment une ligne droite ACD, cette ligne est' un diamètre du cercle.

Chaque diamètre DA , fig. i , divise le cercle en deux parties égales.

Pour s'en convaincre, il suffit de plier la portion DAB sur la portion DAE, en faisant tourner DAB autour du diamètre DA, comme sur une charnière. Si quelque point du contour DAB tombait en dedans du contour DAE, il serait plus près du centre j si quelque point de DAB tombait T. I. — Geom. 7

5o GÉOMÉTRIE.

en dehors, il serait plus loin du centre. Or, cela ne peut pas être, puisque tous les points de la circonférence ABDEA sont également éloignés du centre. Donc enfin le contour DBA s'applique partout sur DEA; et les deux portions du cercle, séparées par le diamètre DA, sont égales entr' elles.

On appelle corde toute ligne droite mn, fig. a, terminée de part et d'autre à la circonférence d'un cercle. On appelle arc de cercle toute portion mqn de la circonférence. On appelle flèche la partie pq du rayon Cpq perpendiculaire à la ^orde , partie comprise entre cette corde et l'arc.

Ces dénominations sont empruntées de l'usage que faisaient les anciens , d'un bois qu'ils , tendaient avec une corde, à peu près en portion de circonférence, fig.. 3, et qu'ils appelaient arc, pour lancer des f&ches posées au milieu de la corde et dans une direction perpendiculaire à cette corde. Ici , comme on voit , l'application a devancé la science et lui a fourni des noms.

» Le rayon Cpq, fig. 2 , perpendiculaire a la corde mn, divise l'arc et la corde en deux parties égales.

En effet, menons les rayons Cm, C/z; ce sont des obliques égales par rapport à la perpendiculaire Cp.'Donc i°. mpz=znp. Les cordes' mq, nq sont aussi des obliques égales , et si l'on replie Cqn sur Cqm , le point n tombera sur m , et l'arc nsq sur mrq ; puisqu'aucun point du premier arc ne pourrait tomber en dedans ou en dehors du second, sans être plus près ou plus loin du centre C. Donc, 2 . les deux arcs mrq, nsq sont égaux.

applications au dessin linéaire. La propriété

TROISIÈME LEÇON. 5l

qui vient d'être démontrée, fournit des applications très-utiles dans l'art du dessin et dans presque tous lés arts où l'on doit prendre et combiner des mesures exactes.

Elle sert d'abdrd à diviser un arc de cercle mqn, fig. 4 > en deux parties égales. Pour cela, Ton prend un compas que l'on ouvre suffisamment (c'est-à-dire plus que de la moitié de mnj; ensuite posant en m une des pointes du compas , on^écrit avec l'autre pointe un arc de cercle rs t\ puis portant une pointe de compas en w, on décrit avec l'autre pointe un second arc vsu , en ayant soin que le compas ne s'ouvre ni se ferme, durant toute l'opération. Le point s où se croiseront les deux cercles sera également distant de m et de n ; donc il sera sur la perpendiculaire à m n qui passe par le milieu de cette droite et par le centre du cercle. Cette droite elle-même divisera la corde mn ainsi que l'arc mq n, en deux parties égales.

Si l'on ne connaissait pas la position du centre , il suffirait de tracer du côté de ce centre, deux arcs a bc, dbe avec une même ouverture de compas , le premier ayant m pour centre, et le second n-, le point b serait, comme le point s, sur la perpendiculaire qui divise en deux parties égales, la corde m n et son arc mqn.

Avec une telle construction , nous pouvons , en connaissant seulement trois points m, n,o 7 fig. 5, sur la circonférence d'un cercle, déterminer la position du centre, la grandeur du Tayon , et par conséquent tracer la circonférence même.

U suffit pour cela de mener , d'après le moyen que nous venons d'indiquer, i°. par le milieu de mn, qa perpendiculaire à mn; i°. par le milieu de no, rb perpendiculaire

à no. Du pohit C où se rencontreront les perpendiculaires O7, Cr, menons les obliques Cm, C/i, Co; elles seront égales. Ainsi, Cm, C/i, Co, seront trois rayons du cercle •cherché , dont C sera le centre.

Quand , fig. 6 , des cordes AB, DE, FG.... d'un cercle , sont parallèles , les arcs AD et BE , DF et EG V ... qu'elles comprennent, sont égaux.

Pour le démontrer, menons, du centre C, le rayon Clmnp perpendiculaire à toutes les cordes ; ilfpupera chacune d'elles en deux parties égales. De plus, en comparant la longueur des arcs qui correspondent à ces cordes : Uarc. . . p A égale pB , pD égale pE , pF égale pG ; ce qui exige qu'on ait l'arc.. ..AD égale BE, DF égale EG.

Une ligne droite XpY , fig. 6 , perpendiculaire au rayon Cp du cercle , et menée par l'extrémité de ce rayon , est toute en dehors du cercle , qu elle ne touche qu'au point p. C'est la tangente du cercle; et nulle autre droite ne peut, à partir du point p , passer entre le cercle et sa tangente XpY.

En effet, le rayon étant perpendiculaire à la droite XpY, le pied p de cette perpendiculaire est plus près du centre C , placé sur cette perpendiculaire , que tout autre point X ou Y; puisque la distance de chaque autre point X , Y... au point C, serait mesurée par une oblique nécessairement plus longue que la perpendiculaire Cp. Donc tous les points de la droite XpY, excepté p, sont hors du cercle.

Les arts tirent le plus grand parti de ces propriétés qu'a le cercle, par rapport aux droites qui lui sont tangentes.

D'abord on peut faire toui ner le cercle autour

de son centre C supposé fixe. La tangente XY restant également fixe dans ce mouvement :

i°. jamais le cercle ne dépassera XY ; a°. il touchera toujours XY en un point p qui se trouve éloigné du centre C dune étendue égale au rayon Cp. Par conséquent, lorsqu'une droite fixe touche un cercle en un point, si le centre du cercle est fixé sur un axe , on peut faire tourner ce cercle sans que jamais il ait aucun effort à produire pour s'écarter de la ligne droite, ni pour repousser cette ligne droite.

Application au tournage d'un corps mobile, par 2e moyen d'un outil fixe. Le tourneur met à profit cette propriété pour tailler une surface plane suivant un contour circulaire. Il fait tourmer le plan autour d'un point fixe C , pris pour centre du cercle. Ensuite il dirige un outil tranchant , suivant la tangente XY ; le tranchant agissais au point p, toutes les parties du plan détachées par l'outil , sont éloignées de C d'une distance plus grande que Cp ; tous les points du contour , ainsi taillés , sont à la distance Cp du centre : donc ce contour est celui d'un cercle.

Application a la configuration des meules pour aiguiser les outils ou polir des surfaces. On fait usage de la même propriété , dans la construction des meules qui servent pour aiguiser des outils et pour polir les parties rectilignes de la surface des produits d'industrie. On tirnt fixe*

ment, s'oit à la main , soit avec un appareil quelconque , l'objet à aiguiser ou à polir , en le pressant contre une meule de forme circulaire. Si le centre' de la meule est bien fixe , et sa circonférence bien exacte, lorsqu'on fait tourner cette meule , sa surface reste toujours en contact avec les objets qu'on veut aiguiser ou polir.

Toute autre figure que le cercle n'aurait pas cette propriété; en la faisant tourner, il y aurait des moments où elle s'écarterait des objets tenus fixement , et d'autres où elle les repousserait.

Au lieu de supposer le cercle /mobile et la tangente XY fixe , nous pouvons au contraire supposer fixe le cercle, et mobile la droite XY: en assujettissant, toujours cette droite à Tester éloignée du centre C d'uqe quantité égale au rayon , elle ne cessera pas de toucher la circonférence du cercle.

Application au tournage des corps Ji&s* On emploie ce moyen pour tailler circulairement des corps immobiles. Alors c'est l'outil qui tourne autour du centre ; une face droite de l'outil est représentée par la tangente XY y et le tranchant même l'est par le point p.

On combine encore d'une manière différente le mouvement du cercle avec la position de ses tangentes.

Application au roulage. Supposons que la tangente XY restant imfnobile, on fasse rouler

TROISIÈME LEÇON. 5f>

le cercle dessus , de manière que chaque pot ito partie de la circonférence pose successivement , sans glisser en avant ni en arrière , sur une nouvelle partie de la tangente , on aura le mouvement qu'on appelle roulage : il est de la plus haute importance dans les arts.

Dans ce mouvement, la droite XY ne cessera pas detre tangente au cercle, puisqu'elle en touchera toujours la circonférence en un point seulement. Donc le centre du cercle restera sans cesse éloigné de la droite XY, d'une distance égale au rayon Cp. Ainsi, dans le roulage effectué sur une ligne droite XY, le centre du cercle roulé se meut en suivant une autre ligne droite parallèle à la route XY. Si donc cette ligne droite est horizontale, le centre du cercle suit pareil* lement une ligne horizontale.

Pour toute autre courbe qu'on ferait ainsi rouler sur une ligne droite horizontale,, un point , central ou non , monterait ou baisserait toor-à-tour; et le transport effectué par cette roue non circulaire , n'aurait ni régularité , ni douceur. Telle est la raison pour laquelle on donne la figure d'un cercle â toutes les roues de» Toitures destinées a transporter des voyageurs oa des effets.

Application aux mouvements paralteUt*. \j* propriété du cercle, qui nous occupe #*n c#r m '*mcBL.fofjnrit an mOTefitrevtir/fpl* *t trtirfot::}*-

de faire mouvoir un point parallèlement à une droite donnée. Il suffit d'attacher ce point au centre d'un cercle qu'on fera rouler sur sa tangente.

Menons la ligne xjr, fig. 6 , parallèle à XY, à une distance qui égale deux rayons Cp ou le dia-^ mètre du cercle, c'est-à-dire pCq. Alors xy passera par l'extrémité q du diamètre pq; elle sera, comme XY, tangente au cercle. Si maintenant on fait rouler le cercle sur XpY , il ne cessera pas de toucher xqjr , parce que la distance des deux parallèles est partout la même.

Application a la construction des machines.

Quand on veut faire mouvoir avec beaucoup d'exactitude une règle, un châssis, rectilignes , parallèlement à une ligne droite donnée, on prend des molettes ou roulettes d'égal diamètre, et d'une figure circulaire bien exacte; on les place entre la droite qui sert de base et la règle ou le châssis à mouvoir. On n'a plus ensuite qu'à tirer ou pousser tangcntiellement aux roulettes ou molettes, la règle ou le châssis, suivant les besoins de la machine dont ils doivent foire partie.

On remarquera combien sont déjà variés les moyens que la géométrie fournit aux arts pour décrire ou construire des cercles avec des lignes droites , et des lignes droites avec des cercles ; pour produire des mouvements rectilignes avec

TROISIEME LKOOX. i>7

des mouvements circulaires, et des mouvements circulaires avec des mouvements rectiligues.

C'est aux professeurs à bien faire comprendre aux élèves l'esprit de ces applications.

Après avoir comparé des cordes avec dew lignes droites ; comparons les cercles entrutix.

Supposons que deux cercles' A, B, ligure 7 % soient placés de telle manière <|ue la distance» ÂB de leurs centres égale la somme AD plus IM) de leurs rayons. Il est évident que le point () est à la fois sur les deux circonférences. \h> plus, aucun autre point P ne peut être à la fors sur ces deux circonférences (i);

Les deux cercles sont par conséquent êangfntê l'un à l'autre.

Application pour transmettre le môitvttnrftè e/r* culture d'un axe a un autre. On peut faille tourner le premier cercle, fig. 7, sans qu'il cesse de toucher le second, supposé fixe, ou même supposé mobile et tournant soit dans le même sens que le premier soit en sens contraire : sans que, dans ce mouvement , les deux cercles cessent de se toucher et sans qu'il* empiètent Fun sur l'autre,

I>s art* emploient souvent cette propriété géonétrique. pour mettre en mouvement un

*i E* ^S*f . %■ Txhl sb£b* >* * : ~ç*irt 4s'*'i+t As. h*', ;"vu *■<» 1* iff 4*ur4 AO pt«f IT> |Am «>vir* -«y? >♦ J»*»** A> pu» ftf. fctoi* Ai* et li> •* J*»*4W* ^ 4"* '£••**

T I — Oivr #

cercle par un autre: soit en vertu du simple frottement des circonférences , soit en les hérissant de dents d'égale grosseur et placées à même distance. Il faut seulement observer qu'alors, si l'un des cercles tourne de gauche à droite, l'autre tourne de droite à gauche : ils se meuvent en sens contraires. On a représenté par des flèches cette opposition de mouvements, dans la figure 7.

Si l'on avait trois cercles en contact, A, B, C, fjg. 7, dé manière que le premier fît tourner lesecond , et le second le troisième ; le deuxième tournant en sens contraire du premier, et le troi* 1 sième en sens contraire du second, le troisième et le premier tourneraient par conséquent dans le même sens A . Donc il faut trois cercles en contact pour fairç passer, dans le même sens, un mouve- « ment circulaire d'un centre à un autre.

Des courroies enveloppes des cercles. Quand Qa veut transmettre un mouvement circulaire, à une distance assez considérable, au lieu d'em-. ployer de trop grands cercles ou de les trop > multiplier, on erç prend deux qu'on entoure d'une : lanière. Ce qu'on peut opérer : i°. sans croiser les lanières, comme dans la figure 8; 2 . en les croisant, comme dans la figure 9. Ces lanières sont tendues de manière que les parties mn , pq, qui ne sont pas en contact avec les deux cercles, soient en ligne droite. On peut faire tourner cha-

TROISIEME LK^ON, l\\)

cnn de ces deux cercles , sans que la longueur ni la direction des parties circulaires plim et yli/i changent, non plus que la longueur et In il il motion des parties droites mn> pq. Donc, si dans le premier moment, l'adhérence de la courroie sur les circonférences est assez grande pour qu'en faisant tourner un cercle, la courroie suivit le même mouvement et le transmette h l'autre cercle, ce mouvement se transmettra sans difficulté et toujours de la même manière, à mesure qu'on fera tourner le premier cercle.

Si, par l'usage, ou par l'effet des variation* de chaleur et d'humidité de l'atmosphère , la courroie venait à s'alloiger, il faudrait employer un troisième cercle D, fig. 10, qui, brisant une partie rectiligne pq , la mettrait (\m\% une position pr, rq , où elle serait encore tendue malgré son allongement, 11 suffirait pour cela que la différence de langueur entre b droit* pq et la partie coudée prq fut égale a l'allong*» ment de la courroie. On fait un fréquent M*age de ce merreo dans la construction de* n&dtitmm.

Une différence qud Huit bk» teuarquer eritre les deux genres de courroie* c toiva» <*t wn% croisé**, en panant d'un «rde a Fa/ifr*, •/** qafavet de» cMrroiest c**mi*& 9 fig, <;~ fa* 4*$$% coeses tooaMot e» ses» <ttBtear«r<*; t#nd* qrfarar des cwarrae* mb ***>****, feg, 4 et i</,

60 GÉOMÉTRIF. «

Dans la suite de ces leçons , on verra beaucoup d'autres applications du mouvement des lignes droites et des cercles, combinés pour satisfaire aux besoins des arts.

Du mouvement dun cercle dans un autre* Si dans une surface plane on découpe un cercle, on aura, pour la partie découpée, une circonférence en relief y et sur le reste du plan, une circonférence en creux. Faisons tourner autour de son centre le cercle découpé ; tous les points de sa circonférence restant toujours à la même distance du centre , seront toujours en contact avec quelque point de la circonférence en creux taillée dans le plan. Donc la circonférence en relief, lorsqu'elle tournera, ne cessera pas de toucher, en tous ses points, la circonférence en creux.

Le cercle est la seule figure qui jouisse d& cette propriété. En effet , pour toute autrefigure qu'on ferait tourner autour d'un point, il y aurait des parties du contour de la figure plus ou moins éloignées de ce point, et ces parties tantôt sortiraient du contour taillé en creux sur le plan,, et tantôt, n'atteignant pas jusqu'à ce contour > laisseraient un vide entre elle et lui.

Toutes les fois qu'il est nécessaire de fermer exactement un espace sur un plan , tandis que certaine partie de ce plan doit tourner sur ellemême , il faut par conséquent donner à cette

TROISIÈME LRCQN. 6l

partie la figure d un cercle. Telle est la rfti<mn pour laquelle on donne une figure circulaire aux bouchons des robinets, des bouteille*, de» flacons, etc.

Application aux bottes à vapeur. Dans la construction des machines à vapeur, on fait un usage ingénieux de cette propriété qu'a le eercln, de tourner sur lui-même , sans qu'aucun point de son contour cesse de toucher une circonférence creuse qui l'emboîte. Nous expliquerons cet usage en décrivant les boites circulaire* à vapeur.

Division du cercle et son application h la me» sure des angles. Avant d'expliquer cette division, faisons connaître un principe essentiel.

Si deux arcs d'un cercle AMB, DNK, fig. 1 1 , sont égaux entrcux, les cordes AB, DE, qui appartiennent à ces arcs , sont égale* entra elles f \\

Réciproquement, les corde» AB , I)K , f ig, i i , étant égales, si on pose la deuxième &>rde mr la première y les deux arcs AMB, DSh se a>ufbndront dans toute leur étendue, et wrwit égaux. Donc, si Ton parvient à tracer dan* un

h «nr 3e f«l A, J&vn W* fan zr*x , çvtteme > mfM + ******, 5e yémg i.. frme b* %qpt àrim* t* wHf iï?, tx *****

64 GÉOMÉTRIK.

cercle en autant de parties égales qu'on voudra , depuis la demie jusqu'au douzième.

Ensuite, par le moyen que nous avons donné pour prendre la moitié d'un arc, on aura sur-lechamp l'ouverture de compas qui correspond.... au 1 4*- 1 * 6 e . ■> 1 8 e . , 20 e . , f x i c . , 1 4 e . , 9 8 e . , etc.

ou i fois 7 8 y io ii 12 14, etc.

Nous avons indiqué le moyen facile de diviser un arc en deux parties égales ; on a cherché long- temps une méthode géométrique rigoureuse pour diviser un arc en trois parties égales: on n'a pas trouvé cette méthode.

Application des arcs de cercle a la mesure des angles. Les angles étant susceptibles d'être augmentés ou diminués, on peut prendre l'un d'eux pour unité de mesure et représenter tous les autres par des chiffres exprimant le nombre de fois qu'ils comprennent cet angle ou ses subdivisions. (Voyez première leçon.)

Au lieu de prendre un angle même AGB, fig. 1 6, pour unité de mesure, on a jugé plus convenable de prendre l'arc AB compris entre les côtés de l'angle et décrit du point C comme centre.

Il est facile de voir que si l'on trace une suite de rayons CA, CB, CD, CE... à telles distances que les angles ACB, BCD, DCE,... soient égaux, on pourra poser ces angles les uns sur les autres; alors leurs arcs AB, CD, DE.... s'àppliquant en entier les uns sur les autres, seront égaux.

TROISIÈME LECOTf. 65

Si l'on prend deux, trois, quatre des angles égaux à l'unité, pour en .former un angle unique, il faudra prendre aussi deux, trois, quatre fois Tare qui leur correspond, pour avoir celui qu'embrasse le nouvel angle. Par conséquent, le même nombre représentera la quantité de fois que le nouvel angle , quel qu'il soit , contient l'unité de mesure des angles , et la quantité de fois que l'arc correspondant au nouvel angle contient l'unité de mesure des arcs.

On peut , sans rien changer à ces nombres , prendre à son gré des mesures d'angles ou d'arcs. On a trouvé plus commode de faire usage des arcs ; et voici comment on a procédé.

On a divisé le cercle en quatre parties égales, lesquelles donnent par conséquent quatre quarts de circonférence, servant de mesure aux quatre angles droits qui embrassent tout l'espaée autour du centre C.

Ensuite on a divisé chaque quart en quatrevingt-dix parties égales qu'on a nommées degrés.

La circonférence du cercle contient donc quatre fois 90 ou 36o degrés. Cette division parait assez bizarre au premier abord et ne s'accorde pas entièrement avec notre division par 100, par 10,000, etc. Cependant elle offre quelques avantages. Le principal est celui de se prêter à beaucoup de divisions en parties égales, exprimées par des nombres ronds.

T. I. — Géom. . o

• Ainsi la &m/-circonférence égale 160 degrés.

le tiers, le quart, le cinquième, le sixième, le huitième, le dixième,

xao 90 75 60 45 36

le douzième, le quinzième, le vingtième, le vingt -quatrième,

le trentième, le trente* sixième de la circonférence»

la 10 degrés.

Nous ne pousserons pas plus loin cette indication ; elle fera comprendre aux artistes l'avantage de l'ancienne division du cercle e* 36o degrés.

Afin de mesurer les parties d'angle plus petites qu'un degré , on divise le degré en 60 parties égales , qu'on appelle minutes.

Pour suffire à des mesures plus délicates encore , on divise la minute en 60 secondes , la seconde en 60 tierces et la tierce en 60 quartes. __

La circonférence du cercle contient 21.600 minutes, ou 1.296.000 secondes, ou 77.760.000 tierces, ou 4»665.6oo.ooo quartes (1).

Ainsi la seconde n'est pas la millionième partie de la circonférence , et la quarte n'en est pas le quart de la milliardième partie.

Application a la géographie. Les géographes

(1) Pour indiquer d'une manière abrégée des degrés, des minutes, des secondes, des tierces, des quartes, on écrit un °, f , " f "', *% au dessus du chiffre indiquant ces parties du cercle.

Ainsi i5°, 45', 53", 37"', »i' r , veut dire i5 degrés, 45 minute* 53 secondes , 3? tierces, 11 quartes.

ont fait , pour mesurer la surface de la terre , une application très-importante de la division du cercle par degrés, minutes, tierces, etc.

Ils ont remarqué que les lignes tracées du nord au sud , comme celles que l'on trace de l'orient à l'occident , sont à fort peu près des cercles. Ils ont divisé ces cercles en degrés, minutes, secondes, tierces, etc.

Voici quelle est la longueur de ces parties , suivant l'ancienne division du cercle :

La circonférence de la terre , mesurée sur un méridien ,

est de 40,000,000 de mètres

1 degré égale 11 1,1 1 1 mètres

1 minute égale i y S5i mètres

1 seconde égale 34 mètres

1 tierce égale {-mètre et quelque chose.

Suivant la nouvelle division du cercle;

1 degré égale 100,000 mètres

1 minute égale t,ooo mètres

1 secondé* égale 10 mètres

1 tierce égale 1 décimètre

1 quarte égale 1 millimètre.

application de la division du cercle à la cons— tructioh des machines. La division de la circonférence du cercle en parties égales est une opération indispensable dans un grand nombre d'arts, et surtout dans la fabrication des machines ; par exemple , pour tracer les roues dentées nécessaires aux engrenages, et les cylindres cannelés nécessaires au filage méchanique da caton y de la laine , du chanvre , etc. Suivant

qu'on exécute ces opérations avec un soin plus ou moins grand , les mouvements transmis par engrenage le sont avec plus ou moins de facilité : la précision géométrique peut seule faire éviter les ressauts , les arrêts et les pertes de force qui accompagnent toujours l'irrégularité et l'inexactitude dans le jeu des machines.

Il serait très-important que nos fabricants n'employassent jamais de roues dentées et de cylindres cannelés, sans avoir vérifié, avec beaucoup de soin , si les dents et les cannelures divisent la circonférence du cercle en portions très-sensiblement égales. Ces vérifications rendraient les fabricants de machines plus rigoureux dans leurs méthodes ; l'industrie française y gagnerait une grande économie de forces transmises; et les produits de notre industrie, qui demandent beaucoup de perfection dans la main-d'œuvre, acquerraient une nouvelle supériorité.

Instruments propres a mesurer 1er angles.

Pour mesurer les angles on fait usage d'un grand nombre d'instruments sur lesquels se trouve marquée la division du cercle en degrés et /néme en subdivisions de degrés.

Le rapporteur est le plus simple de ces instruments. C'est un demi-cercle en cuivre ou en corne, sur la circonférence duquel on se contente de marquer les degrés. Si l'instrument est en

cuivre , la partie mnpC , fig. 1 7 , est à jour, et C , le centre , est indiqué par une petite entaiHe ; de plus, les petites entailles m,p, laissent voir deux autres points du diamètre mCp tracé sur un plan, et caché d'ailleurs exactement par le bord mCp de la partie droite qui représente un diamètre.

Le rapporteur en corne n'a pas besoin de ces entailles et laisse voir le dessin à travers son épaisseur.

Le rapporteur est ainsi nommé, parce qu'il sert à prendre l'ouverture d'un angle XO Y,, et à la rapporter dans une autre position, en se donnant le sommet et un côté du nouvel angle.

Veut-on tracer une ligne CY qui passe par un point donné O de CX , et qui fasse un certain angle , par exemple de 55°, avec CX? On pose le diamètre mCp sur CX , et le point G sur le point O. Ensuite on marque , à toucher le contour gradué , un point H qui correspond à 55°. La ligne droite CHY menée par C et par H, est celle qui fait avec OX l'angle de 55 degrés.

Le graphomètre est un instrument dont les

arpenteurs font usage , et qui ressemble au

rapporteur. Il se compose pareillement d'une

demi-circonférence divisée en degrés ; mais il est

beaucoup plus grand. Il est posé sur un pied

à trois branches. Il porte, aux extrémités de sa

demi-circonférence graduée , de petites plaques

en cuivre qui laissent une ouverture droite et

perpendiculaire au plan du cercle. A l'aide de

ces deux ouvertures qu'on appelle alidades , en se

JO GÉOMJÉTBIE.

plaçant derrière Fane et regardant à travers l'autre, on tourne le graphomètre jusqu'à ce qu'on soit dans la direction précise d'un objet déterminé. Ensuite un diamètre, mobile autour du centre, porte aussi deux alidades ; on fait tourner ce diamètre jusqu'au point où regardant par ses deux ouvertures on voie un second objet. On mesure ainsi l'angle formé par deux lignes droites qui passent par le centre du graphomètre et respectivement par deux objets déterminés. On observa sur la graduation de l'instrument le nombre de degrés qui séparent les deux diamètres : il indique l'angle cherché (i).

Il y a d'autres instruments qui servent à mesurer les angles, mais qui n'ont que le quart d'un cercle gradué, ce sont les quadrants ; d'autres qui n'ont que le sixième, ce sont les sextants; d'autres qui n'ont que le huitième, ce sont les octants. On emploie ces instruments dans les opérations de géographie ou mesure de la terre, et dans celles de navigation, pour mesurer la position respective des objets terrestres et des astres, lorsqu'on est en mer.

On emploie aussi des cercles entiers, qu'on appelle cercles répétiteurs ; parce qu'on y répète

(i) Il sera très- utile que le professeur explique la structure et le jeu du rapporteur, du graphomètre et des autres instruments, en les offrant à la vue des élèves.

les observations, de manière que les enreurs différentes qu'on peut avoir faites dans les diverses observations, se compensent en partie, et diminuent Terreur totale.

Indépendamment des vices inhérents à leur construction , tous ces instruments ont une source d'erreur dans l'inégalité des divisions du cercle. Car jamais la main de l'homme ne peut parvenir à des divisions telles que l'imagination du géomètre les conçoit, c'est-à-dire, rigoureusement exactes. Mais il peut diminuer à ce point les inexactitudes, quelles deviennent réellement imperceptibles , même en cherchant à les découvrir avec des instruments qui rendent sensibles les plus légères fautes.

Machines à diviser les cercles. On a construit des machines propres à diviser promptemént et commodément le cercle. Voici par quel moyen.

On trace sur un plateau beaucoup de cercles ayant un même centre ; en partant du plus petit cercle pour aller vers le plus grand , on divise successivement

le i er ., a e ., 3 e ., 4% 5 e .... cercles,

en 3, 4 1 5, 6, 7 parties égales.

Cette première division doi filtre faite avec un soin extrême, et vérifiée à plusieurs reprises, par l'une dçs me'thodes que nous avons indiquées.

Supposons maintenant qu'on veuille diviser en parties égales un autre cercle ou une portion

71 gjîomiStrie.

de cercle. II faut placer le nouveau cercle de manière que son centre ait le même axe que celui de tous les cercles gradués. (Ici le professeur décrira l'instrument en présence de la machine. )

Cette opération n'est juste qu'autant que le ' centre de la pièce à graduer est exactement posé sur le centre commun des cercles déjà gradués. M. Gambey , célèbre artiste français , a su , par une application bien simple des parallèles, trouver le moyen d'obvier à cet inconvénient et de diviser avec exactitude une circonférence qui n'est pas concentrique au plateau primitivement divisé.

Soit ACB la pièce sar laquelle il s'agit de tracer ua arc de cercle AB , avec des gradua tio os parfaitement correspondantes à celles du plateau. Un encadrement à angles droits CM3JPQ est tenu de manière que ses cotés CM PQ soient toujours dirigés vers le centre C delà pièce ACB qu'on veut diviser, et ne puissent se mouvoir que parallèlement à leur position primitive. Quand on fait tournerd'nne certaine quantité le plateau , par exemple de 5o°, le coté OCA passe en (")«■« , CB passe en cb et l'angle acb égale 5o°. Mais, dans ce mouvement, l'encadrement transporté on cmnpq , n'a pas changé de direction, et la ligneuse trouve toujours en li^ne droite avec le centre c de l'arc. Donc : ï°. l'indicateur Q marque, sur 1j pièce ACB, une suite de points, tous également éloignés deC, c'est-à-dire» un arc de cercle ayant C pour centre; i°. quand le plateau tourne d'un degré , l'indicateur Q marche aussi d'un degré mir la pièce à diviser.

ET METIERS et BE

Yî<£ . 12

Yi$l

Formes diverses qiùon peut donner aux produits d'industrie, avec la ligne droite et le cercle.

Parmi les figures planes qui sont terminées par des lignes droites , il y en a de régulières et d'irrégulières , de simples et de compliquées. Nous nous bornerons à faire connaître celles dont les arts font l'usage le plus fréquent.

Deux lignes droites, parallèles ou non , ne peuvent pas fermer complètement un espace. Pour obtenir ce résultat , il faut au moins trois lignes qui ne soient pas parallèles.

On appelle triangle rectiligne la superficie fermée par trois lignes droites. On distingue dans un triangle ABC, fig. i , ses trois cotés AB, BC, CÀ ; ses trois angles , et les trois sommets A, B, C , de ces angles.

Les angles d'un triangle jouissent d'une propriété remarquable et précieuse pour les arts : leur somme égale deux angles droits, quelle que soit la grandeur et la forme du triangle.

Pour le prouver, prolongeons le côté AB en BE, fig. 2, et menons BD parallèle à AC. Les deux parallèles AC, BD, T. I. — GÉOM. 10

*4 ciomtrniw.

étant coupée* par deux droites ABE, BC, nous auroM: l \ L angle CAB égide 1 angle DBE ; i\ L'angle ACB égala i an^leCBïJ. Donc les trois angles A. C, B. du triangle ACB, filent en somme les trois angles ABC, CBD, DBE, qui occupent tout l'espace d an côte de la ligne droite ABE, r>*t-j-dire. deax angles droits.

Par là , dés l'instant où Ton connaît deux angles d'unAAngle, on connaît le troisième: il suffit d'une addition et d'une soustraction.

S apposons, par exemple, que ces deax angles soient 1 an de 5j\ l'antre de 4g"; ajoutant 49 à 5j on a 86 degrés , qui , retrancher de deax angles droits ou 1 8o<>» font fj'i<* -. donc le troisième angle a gi = .

Puisque la somme des trois angles d'un triangle égale deux angles droits, il faudrait qu'un des angles fut égal à zéro pour que les deux autres fussent droits. Donc un triangle ne peut avoir qu'un angle droit

A plus forte raison un triangle ABC , fig. 1 , ne peut-il avoir qu'un seul angle A obtus, c'est-àdire, plus grand que l'angle droit : c'est le triangle obtusangle.

Un triangle ABC , fig. 2 , peut avoir ses trois angles aigus : c'est le triangle acutangle.

Le triangle rectangle ABC, fig. a 3 , est celui qui possède un angle droit B. UhypothènusG est le grand coté ÀC, qui fait face à cet angle.

A présent comparons eutr'eux les cotés d* 1 triangle. La ligne droite étant le plus cour* chemin pour aller d'un point à un autre, il s'ea~~

QUATRIÈME LEÇON. jS

suit que , dans un triangle , tout cote est plus court que la somme des deux autres cotés.

De deux côtés AB, AC d'un triangle, fig. i, le plus grand AC, est opposé au plus grand angle B*

En effet , prenons kb =z AB et kc -=z AC , puis menons Bb, Ce; les angles AB6, A^B, ACc, AcC seront égaux. De plus, ABC est plus grand que AB6, et ACB est plus petit que ACc. Donc l'angle ABC est plus grand que ACB.

Le triangle èquilatèral ABC , fig. 3 , est celui dont les trois côtés sont égaux entr'eux.

Le triangle symétrique ABC , fig. 4 j C3t celui dont deux côtés sont égaux entr'eux.

En considérant les deux côtés égaux CA , CB v fig. 4 9 comme des obliques égales par rapport à la base AB, la perpendiculaire CD tombe au milieu de cette base, et divise le triangle en deux parties égales : leur symétrie justifie la dénomination de symétrique donnée au triangle dont deux côtés sont égaux.

Afin de satisfaire aux lois de la symétrie , les architectes couvrent la plupart des maisons et des édifices publics , avec un toit dont le profil est un triangle symétrique. Pour les anciens temples grecs et les maisons dltalie , fig. 5 , ce triangle est oblusangle ; pour les toits des clochers et des anciens édifices gothiques, fig. 6, ce triangle est acutangle.

Quand on doit élever des fardeaux , on emploie, souvent ce qu'on appelle une chèvre , fig. 7 ; c'est

un appareil qui se compose de deux pièces de bois d'égale hauteur , unies d'un bout en C , et séparées vers l'autre bout par une traverse AB. La corde qui sert pour élever le fardeau D, passe par une poulie fixée en C. Le triangle ABC que représente la chèvre, est symétrique; donc la perpendiculaire , menée de C sur la base AB, divise cette base en deux parties égales.

Dans les arts 9 on a souvent besoin d'exécuter un triangle dont on connaît certaines parties. Voici comment on opère :