AC A'C' A"C

rait donc, â volonté , déterminersjuelle doit être la puissance pour faire équilibré à une résistance connue, et quelle doit être la résistance pour faire équilibre à une puissance déterminée. . ^

A parallèles , fig. 8 , les cordes deviennent les diamètres des rouets

ABC A'B'C , A”B»C” , p.r co»sé,n»t, ce.

alors doubles des rayons AC, A'C', A"C" , etc.; donc R

— — 2 X 2 X 2 ,...; de manière qu’il y ait autant de facteurs 2

pm

qu’il y a de poulies mobiles. '

Si nous cherchons , dans le cas du mouvement , le rapport des espaces parcourus par la puissance et par la résistance , nous verrons : i<> que l’espace parcouru par R est la mçitié de l’espace parcouru par P ; celui-ci la moitié de l’espace parcouru par P' ; celui-ci, la moitié de Pespace parcouru par P"; et ainsi de suite. On aura donc, pour rapport des espaces E, e, parcourus par la puissance P" et par la résistance R ’ E

-=3Xixix...

autant de fois qu’on avait

rapport de la résistance à la puissance. Enfin , multipliant ces deux expressions l’une par l’autre , on aura

= 3 fois 2X5 fois 2X3 fois 2.... autant de fois qu’il

y a de poulies mobiles.

Or , i fois 2=1; on aura donc ^ = t.

■“ ’ P"Xe

Ce qui exige que la résistance R , multipliée par l’espace E qu’elle peut parcourir en un instant , soit égale à la force P"* , multipliée par l’espace e qu’elle doit parcourir dans le même

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l 5 o UÉCHANIQUE.

instant , si l’on trouble tout à coup l’équilibre , pour donner du mouvement à la machine ( i).

On emploie souvent dans les arts un système de poulies à cordons presque parallèles : c’est celui de rouets fixes i , a ,

3 , etc. , fig. 9 et lo, portés par la même chape fixe, et de rouets mobiles I , II , III , 'portés par la même chape mobile. On appelle mouffleg ces chapes.

La corde passant tour k tour sur i et 1 , 2 et II, 3 et III , si les cordons AB , A’o , b'W , A'a", b'W , etc. , étaient parallèles , la tension supportée par chacun d’eux serait égale a la résistance divisée par leur nombre : en ayant soin , cependant , de ne pas compter le dernier retour de cordon oP. qui, n’agissant ^ue sur une poulie fixe , ne change rienà l’équilibre. On pourrait , en effet , remplacer P par son égal P' , dirigé dans le prolongement de BA ; alors le cordon nP disparaîtrait.

Par conséquent , il faut compter seulement les cordons qui

Î artent immédiatement des poulies mobiles, c’est-à-dire, eux cordons par poulie mobile , lorsque , fig. 9 , le cordon

{ lart de la chape fixe ; et un cordon de plus lorsque , fig. 10 , e cordon part de la chape mobile. Ces cordons , en général , seront à très-peu près parallèles ; ils pourront , sans erreur sensible dans la pratique , être considérés comme tels. Si donc il y a m poulies mobiles , il y eura im cordons dans le premier cas , et im i dans le second. Ils contribueront également à supporter l’effort de la résultante R , et chacun sup- R R

portera la — »»» ou partie de cet effort. Mais P=P’,

teusion de BA. Donc la puissance P égale la résistance R , divisée par deux fois le nombre des poulies mobiles , fig. 9 , et deux fois ce nombre plus un, fig. 10.

11 serait facile de prouver , dans ce cas comme dans les précédents, que si l’on faisait un peu. mouvoir la machine , les espaces pai'courus par la puissance et par la résistance , du- rapt le même temps , seraient entr'eux daifs le rapport inverse de ces nombres.

En effet, quand CR descend d’une certaine quantité, il faut que chaque distauceBA, B'A', B''A'’.„, Aa', A'a",... soit augmentée de la mênac longueur. Donc la longueur totale des cordons, depuis a jusqu’en c"..., est augnicnlcc

(i) C’est encore un exemple du principe des vitesses virtuelles.

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NEUVIÈME I.EÇON. l5l

d’autant de fois cette longueur qu’il y a de cordons. Il faut donc que le cordon libre aP ait fourni toute cette longueur, et par conséquent que P ait parcouru tout cet espace. Ainsi, a/re, Cg. 9, étant le nomlire des cordons, l’espace Rr parcouru par R est à l’espace Pp parcouru par P : : i : a/re.

Mais R : P : : I : im. On a donc, force R X esjiace parcouru par R = force P X espace parcouru par P.... On démontrerait de même ce principe pourlafig. 10.

Il existe deux systèmes de poulies composées, ou, comme on les appelle ordinairement, de mouffles. Dans un de ces systèmes , ûg.g et 10 , plusieurs rouets de poulies sont portés cliacun sur un essieu séparé, et tous ces essieux traversent une même chape. Dans l’autre système , fig. 11 et 12 , tous les rouets de ‘poulies sont portés par le même essieu dans la même chape et séparés par des cloisons fixes qui font partie de la chape. Chacun de ces systèmes a ses avantages et ses inconvénients. Dans le premier système, tous les rouets de chaque mouille se trouvent placés dans un même plan , ainsi que la corde qui passe successivement d’un mouSle à l’autre.

Dans le second système, pour passer d’un mouille 'a l’autre, la corde est obligée de changer de plan ; de sorte que toutes les parties de corde qui se trouvent d’un côté des deux mouffles, quofque parallèles en tr’elles , ne sont plus parallèles aux parties de corde qui se trouvent de l’autre côté des deux mouflles. Ce défaut de parallélisme a l’inconvénient de tendre à incliner les rouets dans une position oblique par rapport à leur axe; ce qui déforme l’œil de ces rouets et tend à déformer aussi les essieux , en augmentant le frottement. Cet inconvénient n’est pas très-sensible, tant que les deux mouffles sont à une distance considérable par rapport à l’écartement des rouets sur un même essieu ; mais lorsque les deux mouflles se rapprochent , le défaut de parallélisme augmente et produit des résistances défavorables.

Sous ce point de vue , les rouets placés sur le même essieu , sont moins avantageux que les rouets placés dans une même chape, sur des essieux différents.

Mais ce dernier système occupe beaucoup plus de place que le précédent. Lorsqu’il s’agit , par exemple , d’élever des fardeaux , il faut un appareil où le point de suspension des mouffles soit plus haut que l’endroit où l’on doit élever le fardeau, d’au moins la longueur totale des deux mouflles; et cette longueur peut être considérable , si chacune des chapes contient trois et quatre rouets. Cet inconvénient devient grave surtout

132 MÉCHANIQDE.

lorsqu’on arrive aux derniers étages d’une maison , et qu’il s’agit de monter les pierres des assises les plus élevées. C’est aux méchaniciens à juger , suivant les cas , quel système il leur conviendra de préférer.

Si les monffles ont l’avantage de donner un moyen de vaincre une grande résistance avec une faible puissance , ils exi-

f ent , par compensation , une longueur de corde considéràle ; par conséquent , la puissance doit parcourir un grand espace , pour faire avancer la résistance d’une quantité beaucoup moindre. C’est la compensation générale que nous remarquons comme un principe qui se reproduit dans le mouvement de toutes les machines.

De la pesanteur dans les poulies. En considérant les poulies comme des corps pesants, veut-pn obtenir la valeur de l’effort supporté par le point fixe Q , fig. 5 , auquel est pendue la poulie supposée libre dans l’espace? il faut prendre la résultante générale de la puissance P, de la résistance R, du poids de la corde PABQ , et de la poulie entière.

Si m est le poids de la poulie entière , et n le poids de la corde , on aura les quatre forces m ^ n , P , Q , dont la résultante doit être égale et directement opposée à la résistance R , pour qu’il y ait équilibre.

Ensuite , en considérant ce qui se passe autour de l’essieu C de la poulie, on verra que cet essieu supporte : i° l’effort de P et de Q ; 2 ° le poids du rouet de la poulie ; 3° le poids des cordes PA , BQ) dans le cas où la puissance agirait de haut en bas , comme dans la fig. 4- H faudra donc qu’en nommant m' le poids du rouet qui a évidemment son centre en C , les forces 7»', P et Q, aient une résultante unique qui passe

f >ar l’essieu C. Cette résultante égalera la pression exercée par e rouet sur l’essieu.

Il est facile de voir que le poids du rouet ne change en rien les rapports de P et de Q pour l’équilibre ; mais plus il est considérable, plus il fatigue l’essieu , et plus il cause de frottements. Il faut donc que le poids du rouet soit aussi petit que possible, si l’on veut que la poulie produise le plus grand effet possible.

Quant à la corde, dans le cas, fig. 4 > où son poids est

f )orté par l’essieu , cet essieu sera d’autant moins chargé que a corde sera plus légère.

Ces considérations ont une grande importance dans l’emploi des cordes et des poulies , à bord des vaisseaux ; indépcn.

NBDViàME LEÇON.

damment de l’économie très-considérable qu’on peut faire sur la quantité de matière employée aux rouets de poulie ainsi qu’aux cordages passant sur ces rouets , il faut , pour vaincre la même résistance , une force bien moins grande , quand les rouets et les cordages sont très-le'gers.

' Lorsqu’on fabrique des rouets métalliques, afin de les ■ rendre plus légers, on a grand soin de les évider entre la gorge et l’axe , soit au moyen de rais isolés comme les rais d’une roue de voiture, soit au moyen d’une cloison trèsmince qui réunit la gorge au moyeu , comme on le voit dans la figure i3.

Lorsque la poulie , fig. 5 , doit être mise en mouvement , une première partie de la puissance P fait équilibre à toutes les résistances. Une seconde partie P' donne à la corde , au rouet et à la résistance R, une quantité de mouvement dont l’effet représente tout ce que n’ont pas détruit les résistances de la machine.

Or cette quantité de mouvement se mesure.: i ° par l’espace que P' a parcouru; 2 ° par la somme des produits du poids de la corde , par l’espace que la corde a parcouru dans le sens de sa longueur ; 3° par la somme des produits du poids de chaque élément du rouef par l’espace que cet élément parcourt. Il faut déterminer cette troisième partie.

Si nous divisons le rouet en rondelles on zones d’égale largeur , nous verrons que le poids de ces rondelles sera précisément proportionnel à leur rayon. En coupant deux rouets de même épaisseur , et qui diffèrent de diamètre , leur volume est proportionnel au quarré de ces diamètres. Si l’on divise ces deux cercles en petites parties , dont le volume soit aussi dans ce même rapport , et semblablement placées dans les deux rouets , le quarré de la distance de l’axe aux parties correspondantes dans les deux rouets , sera proportionnel au quarré des rayons de ces rouets. Donc le produit du volume de chaque partie par la distance à l’axe , sera proportionnel au quarré du diamètre multiplié par le diamètre, c’est-k-dire, au cube du diamètre des rouets. Ainsi , pour une même vitesse angulaire de deux rouets d’égale épaisseur , la quantité de mouvement que chacun reçoit est proportionnelle au cube de son diamètre. Ce rapport croissant beaucoup avec le diamètre des rouets , il importe , surtout pour les grandes poulies , de faire les rouets aussi peu volumineux qu’il est possible. C’est un avantage qu’on obtient , lorsqu’on emploie des cor- T. II. Méch.

IÔ4 1 MiCHANlQUI!.

liages qui, pour une force donne'e , n’ont qu'un diamètre peu considérable à cause de leur qualité supérieure. 11 suffit , en effet, que le rouet ait pour largeur un peu plus du diamètre des cordes , afin qu’elles ne s'usent pas en frottant contre les parois de la mortaise où le rouet est logé , dans la caisse de la poulie.

Si l’on pouvait employer des cordes qui n’offrissent aucune résistance à la flexion, sur la gorge delà poulie, plus te diamètre du rouet serait petit , et moins il y aurait de force perdue pour vaincre l'inertie de ce rouet, lorsque la puissance imprime un mouvement à la résistance : mais la roideur des cordes est une résistance considérable , qu’il importe d’évaluer.

Coulomb , physicien célèbre , a déterminé comme on va le rapporter , la résistance que la roideur des cordes oppose au mouvement des poulies.

Une poutre AA', i4i porte : i<> le grand plateau PP' , au moyen de la, corde d'épreuve CC', qui, de droite et de gauche , fait un tour sur le rouleau mobile BB' ; j» le petit

Ï )lateau y, et la petite corde ed , faisant deux à trois tours sur e rouleau BB' , en sens contraire de CC'. Afin de ne pas compliquer les effets , on empêchait avec soin que les cordes se touchassent.

Le rouleau BB' tend à descendre , par l’action : i ® de son propre poids , avec un bras de levier égal au rayon du rouleau ; 2 ° du poids du plateau y , avec un bras de levier égal au diamètre du rouleau. Donc, on peut ajouter la moitié du poids du rouleau au poids de la charge y, pour avoir une force unique agissant avec un bras de levier égal au diamètre du rouleau. Quand le poids du rouleau était trop grand, on en diminuait l’effet par un contre-poids j? attaché au bout du cordon ce', passé sur une poulie de renvoi r. Chaque unité de poids p faisait équilibre à deux unités de poids du rouleau.

Avant de mettre en expérience la corde CC' , dont on voulait mesurer la roideur, on la detirait , afin de la mettre à peu près dans un état pareil à celui des cordes qui servent habituellement aux machines. On passait la corde CC' sur la gorge d’une poulie*, on attachait un poids suffisant à l’un des bouts de la corde j ensuite, des hommes, tirant sur 1 autre bout, faisaient monter et descendre le poids. Par cette manoeuvre , on évitait les irrégularités qu’on remarque toujours