DES

PREMIÈRE lÆÇuiv

La ligne droite, les angles, les perpendiculaires et les obliques.

La géométrie a pour objet de mesurer les étendues et d’en évaluer les rapports.

Une étendue peut être prise en trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur.

Tous les corps que renferme la nature, et tous ceux queTindustrie façonne, présentent ces trois dimensions.

Tout espace, soit vide, soit occupé par un corps, possède aussi ces trois dimensions.

La surface d’un corps se compose de tous les points qui séparent la portion de l’espace occupée par ce corps, et le reste de l’éspace,

4 ÇÉOMÉXKÜi:.' N . '

^ ^ Pnr eonsf^quent surface a nécessairement de la longueur et de lu largeur ;"mais elle n’a pas .d’épaisseur; car les points cacliés dans l'épais- • seur d’un corps ne peuvent pas faire partie de la éurlace même de ce corps.' • ‘ '

On appelle 7/^/e la suite contintrë des points <|ui séparent deux portions de la surface d’un ^corps: Une ligne géométrique n’a pas d’épaisseur ‘ni de largeur, élle h’a que de la lougucur.'

L’espace qu*^un corps occupe, dans un moment donné, a toutes les dimensions de ce corps. On peut s’en faire une idée complète, en moulant ce corps même et le retirant de son moule.

Alors, à la simple vue du moule, l’œil se forme une image très-exacte de l’espace que le corps occupait. Une boîte vide renferme une portion de l’espace, et la figure de cette portion est précisément celle de l’intérieur de la boîte.

Toutes les propriétés géométriques des dimensions d’un corps appartiennent par conséquent aux dimensions mêmes de l’espace occupé par ee corps. 11 en est de même pour les propriétés qu’a la surface des corps, et pour celles qu’a la partie de fespace occupée, dans un montent donné, par cette surface. - . -

Voilà pourquoi le géomètre purement théoricien ne, considère pàs tel ou tel Corps en particulier, ni sa surface individuelle, .pour étudier les rapports qu’ont, les' .dimensions' de ce corps

FREMlKne I.EÇOM. 5

et de cette surface. Il se ligure dans Fespacè les formes mêmes du corps et de sa surface, et ces formes lui suffisent. D’abord une pareille abstraction présente quelques difficultés; mais elle exerce l’esprit et fortifie l’imagination ; elle finit par donner de grandes ressources , dans les con- 'ceptions de la géométrie pure , et dans celles de la géométrie appliquée aux arts. 11 importe donc beaucoup d’y habituer par degrés les élèves. Faisons-laur remarquer une différence essentielle entre les corps tels que les considère le géomètre et ceux sur lesquels l’artiste travaille.

En géométrie, rien n’empêche notre imagination de supposerc des corps qui entrent l’un dans l’autre de manière à ce qu’ils occupent à la foison tout ou en partie une même portion de Fespace. Mais, dans les arts, il ne saurait en être ainsi. Jamais les parties matérielles de deux c*nrps ne peuvent occuper à la fois un même espace.

Lorsque cela parait avoir lieu, l’on doit simplement on conclure que les portions matérielles de l’un se placent dans les vides de l’autre : c’est ce qui s’effectue quand de feau s’infiltre dans une éponge. On verra combien ces considérations sont essentielles pour concevoir les effets et le jeu des machines. -

Si l’on suppose qu’un corps diminue par degrés sa longueur, sa largeur et sou épaisseur, il se ‘approchera de plus en plus d’une limite idéale,'

CKOMÉTRrK.

c'est \e point des géomètres, pour lequel chacune de ces dimensions est réJuite à zéro.

Dans les arts, on donne souvent le nom de point à des portions de surface et de solide qui n'ont que des diinensious fort-petites. Tels sont les points de l’écriture, ceux des lignes ponctuées dans le dessin géométrique, ou du pointillé, àaus le dessin aii crayon , dans la miniature , dans la gravure, etc. Tel est encore le point de couture des tailleurs, etc.

Ou appelle pointe , poinçon , un corps aigu qut sé termine, à l’endroit où finit sa longueur , par une partie presque sans largeur, et qui se rapproche ainsi du point , tel que les géomètres le conçoivent.

^ Il est essentiel que les élèves s’habituent à bien distinguer ces diverses manières de considérer le point dans la géométrie pure et dans ses applications.

Afin de faciliter Uétude de la géométrie , on trake d’abord des lignes, puis des surfaces, puis des corps, qu’on appelle eoùznie.ypar rapport à l’espace qu’ils occupent, et solides s’ils ont des formes qu’ils puissent garder par eux-mêmes : sans être contenus dans des vases ou des bords résistants, comme le vin dans les bouteilles^ l’eau dans le lit des rivières , des lacs et des mers , etc.

La géométrie suppose que les corps sont solides, ou du moins que 'leur figure n’est pas

•Oiqitized

'PniîMIliïlE LEÇOÎC. ' n

sujette J» «e tlétbrmffr sans rt'*y!e et sans limite, iHi moment où elle on fuit l’objet rie son étiule.

La plus simple, de toutes les lignes, et celle qu’on emploie le plus fréquemment dans les arts , c’est la li^e droite.

La ligne droite est celle qu’on parcourt en suivant toujours la même direcH-ion : c'est le plus ootirt chemin pour aller d’un point à un autre.

Comme il n’y a pas, entre deux points , deux chemins dont chacun puisse être le plus court, on ne peut pas mener , entre deux poiuts, deux lignes droites différentes. Donc , quand deux lignes droite.s aboutissent aux mêmes points, elles n’en font qu’une^ Si ces lignes droites sont figurées sur deux corps , en rapprochan t les deux corps de manière à ce qu’on mette en contact deux points de la première droite avec deux points de la seconde, les deux! droites s'appliquent exactement l’une sur l’atitre, comme si elles u’en for-, niaient qu’une seule. L’indusUûe fait usage «le-

cette propriété dé l.-h ligne droite

I®. Four s’assurer qu une ligne déjà tracée est droite, au moyen d’une, autre ligne qu’on sait être parfaitement droite»~\ \ sufiit en eüét d’appliquer en deux points la seconde sur la première, pour voir si elle sy applique aussi dans tous les autres points. D'ans le cas contraire, la ligne examinée n’est pas droite et l’on peut la rendre telle , c'està-dire, la rèctifier; 2”. Four tracer des lignes

8 (îÉOMÉTtllK. '

droites. On traw^ de telles'ligncs avea descorp* ayant une ou plusieurs arêtes rectilignes, corrtme des règles et des carrelets. ^

On pose la règle ou le carrelet sur une surCace où la ligne droite que représente cette règle ou ce carrelet, s’applique en tous points exactement ; sans cela il u’est pas possible de tracer une ligne droite sur la surface. Ensuite , avec un crayon , un poinçon ou tout autre instrument qui se termine soit en pointe soit en tranchant, on trace une ligne qui touche partout la règle ou le carrelet : c’est une ligne droite.

Voil.'i comment le eitrier, avec .sa règle et pa pointe de diamant , taille en ligne droite 1(!S carreaux qu’il doit poser.

Lorsqu’on désire tracer une ligne par deux points donnés, il faut approcher également, la règle de ces deux points, et aussi près que le comporte l’épaisseur du crayon ou de la pointe avec laquelle on dbit tracer : puis tenir la règle dans une po.sition invariable durant le tracé, en ayant soin que le crayon ou le poinçon reste toujours en contact avec la règle.

Quand les élèves commencent à dessiner des , figures géométriques , il Icilr faut fies .soins et du temps pour tirer exactement une simple ligne droite , même au crayon. IjOrsqu ils la mettent k .l’encre, ils ont une dilhculté de plus; c’est de conserver aux lignes qu’ils tracent une largeur

Digitiïed by Gtyogl*

pnEairÈRE LEÇo». . 9

pai'loutjla n>êmt‘. Quand celle largeur est trop considérable elle sufîit pour détruire l’exactitude du dessin. Il faut donc que les élèves s’habituent par degrés à ne donner aux lignes qu’ils traceront, que l’épaisseur néc&ssaire pour qu’elles soient distinctement visibles. >

Nous parlons ici de la largeur des lignes exécutées pour les travaux des arts. Il faut, en elfet, dire de la ligne droite ce que nous avons dit du point : le géomètre suppose que cette ligne n’a que de la longueur sans largeur. Au contraire, toutes les Ijgnes exécutées dans les ai-ts ont de la largeur ; même celle.s qui. représentent les lignes idéales des géomètres.

Dans l’industrie, on donne souvent le nom de ligne à des cavités ou à des reliefs étroits , peu profonds et fort longs, qui par là semblent se rapprocher de la ligne idéale des géomètres.

Telles sont les lignes defortification passagètv dont l’assiégeant ou l’assiégé entourent une place.

Dans l’écriture et l’imprimerie, ou appelle/^^«e une suite de mots alignés sur une même direc-, lion, et dont la hauteur,'égale à; celle des lettrés, est fort-petite par rapport à sa longueur.

Les cordiers appellent ligne une corde qui a fort j)cu de grosseur coinparaliveraenl à sa longueur. Il fapt placer celle ligne pu cordeau parmi les instruments de géométrie pratique employés dans les arts. Un çànieau tendu par les

lO

GÉOM ÉTR lE.

deux bouts, abstraction faite des effets de la pesanteur, prend la ligure d’une ligue droite. Si donc le cordeau (bien tendu par les extrémités-) est posé sur la surface où l’uji veut faire Veinpreinte d’uue ligne droite, et cju’on ait frotté le cordeau avec du blanc, du rouge ou du noir, puis, qu’on le pince pour le laisser retomber sur la surface, il y tràcera la ligne droite désirée.

Nous recommanderons, encore, au sujet de la ligne droite, comme au sujet du point, de distinguer soigneusement le tracé idéal du géomètre et le tracé matériel de l’artiste. Ôn verra qu’en beaucoup de cas le progrès des arts consiste è se rapproeber de plus en plus, dans les opérations de l’industrie , de cet idéal géométrique , dont il importe d(! bien faire connaître aux élèves et la nature et les propriétés.

Mais, avant d’y parvenir, il faut leur donner l’idée ifune surface qu’on peut former avec une ligne droite. C’est la surface plane ou le plan.

En quelque sens qu’on pose une 1 igné droite sur un plan , si deux points de la ligne droite sont en contact avec le plan , tous les autres points de la ligne droite le louchent pareillement.

Dans les arts , le plan peut servir à fabi’iquer la ligne droite et la ligne droite è fabriquer le plan. C’est ce que nous expliquerons avec détails , lorsque nous parlerons spécialement des surfaces. ( Voyez la sixième leçon.)

Diqitized by

• VHEI^lÉhK LEÇON. |I

La pluj)art des tracés uéce.ssalre8 aux arts s’exécutent sur un plan préparé d’aVance h cet clFet. Pour les tracés les moins grands, c’est une feuille de ]>apier, de parchemin , d’ivoire même. Pour les tracés plus éU;udus, souvent on prépare un vaste plancher, comme les constructeurs de vaisseaux préparent le plancher de leur salle des gabarits ou modèles. Les charpentiers de maisons et les appareilleurs font souvent leurs tracés sur la face plane d’un mUr; les ingénieurs tcacent les épures des ponts sur des aires horizontales, en plâtre; ils ne peuvent espérer quelque exactitude si la surface supposée plaue n’est au préalable bien vériliée : de manière à garantir qu’une ligue droite, posée dans tous les sens sur le plan, s’y applique exactement d’un bout à l’autre.

Mesuras de longueur. La ligne droite , étant le plus court chemin poUr aller d’un premier point à un second , sert très-convenablement à mesurer cette plus courte distance entre deux points.

Les dimensions ordinaires des corp§ se mesurent avec la ligne droite. C’est ainsi qu’on mesure la longueur, la largeur et la hauteur d’une pile de bois, d’une mai.sou« d’uu navire, etc.

Afin de comparer ces diverses mesures, il faut en prendre une pour unité, et voir combien de fols elle est répétée dans l’objet mesuré. Si elle y est répétée exactement 1,2, , 4, 5.... fois ,

en un mot un nombre exact de fois, iiulle

12 GÉOMÉTm'K. ' •

difïîcultc. Il n’en est pas de même lorsqu’il reste à rhesurer un bout qui n’cgale pas une' fois la longueur prise pour unité.

Alors oh prend l’unité de longueur ; on la divise elle-même en un «ertain nombre de parties égales , en I O , en 1 oo , en 1 ooo ; puis on cherche combien le bout de ligne droite qui re.sté à mesurer contient de dixièmes , de centièmes , de mUlièmés, etc. , de l’unité de mesure. •

EcheUe. C’est une ligne droite , AB , fig. \ , sur laquelle on marque un certain nombre d’unités <le - mesure et les subdivisiôns de ces unités. La géométrie enseigne les moyens de diviser et de tracer les échelles avec une grande exactifude. C’est une des opérations les plus importantes dans les travaux de l’industrie où le succès dépend de la précision. ( Voy. cinquième leçon. )

Il est très-commode pour les artistes d’avoir avec eux une ligne droite toute divisée suivant le système de mesures universellement adopté. Tels étaient l’ancien pied et l’aune; tel est aujourd’hui le mètre , gradué sur un'* règle.

Souvent des ouvriers par une économie mal entendue, achètent à vil prix, Jes mesures qui ne sont pas divisées avec 'exactitude ou qui sont sujettes à se déjeter, à s’altérer par l’effet du temps, à 's'user d’un bout ou de l’autre. On ne saurait trop recommander , au contraire , à nos artistes, de se gêner plutôt , pour acheter toujours

PHEMIÈRE fcKÇüJ(. l3

de bonnes mesures , et de bons iustrumenls en teut genre : la perfection que ces instruments leur permettront de donner à leurs ouvrages , les indemnisera , avec usure , de cette première dépense. Nous reviendrons souvent sur celte vérité.

Après avoir considéré la ligne droite isolément, il faut considérer plusieurs lignes droites <lans leurs rapports de position.

Supposons que la ligne droite A13X , figure 2 , tourne autour du point fixe A , et prenne successivement les positions AC, AD, AE, etc. ; dans ce mouvement ' elle s’écarte^ra de plus en plus de la position primitive ABX. On appelle angle , cet écartement BAG ou BAD, ou BAE, etc., d’une ligne par rapport à une autre : le point A d’où partent deux’lignes AB"^ AC , est le sommet de l’angle ; les lignes mêmes AB , AC sont les cotés de l’angle. ^

Pour indiquer l’angle formé par les côtés AB , AG , on dit quelquefois l’angle A et le plus souvent l’angle BAC, mettant la lettre A qui indique le sommet, entre B et G qui appartiennent respectivement aux deux côtés. ,

La ligne AX , fig. 3 , tournant toujours autour * du sommet A , arrivera dans la position AM directement opposée à- AB. Si elle continue de tourner, elle se rsipprochera de AB par le' côté contraire; jusqu’à ce quelle* revienne sur AB ntême', après avoir fait un tour complet.

l4 GÉÜMÉTIUJi:.

11 esiévidfntquq, dans lu pusilioii AM , la ligne droite AX a fait nn demi-tour AB; eu eflFtît,

si l’on repliait la partie de ligure BAME.sur^la partie inférieure, la première couvrirait exacteluentda seconde, et se confondrait avec elle.

Dans les niatiœuvres des troupes , après les avoir alignées, c’est-à-dire placées en ligqe droite et faisant face d’un côté, on a souvent besoin de faire face du,, côté opposé. Alçrs on commande denîi-tour, qui s’opère par la droite ; aussitôt chaque homme se met à tourner sur un de ses talous A, fîg. 3. Pour ne pas gêner ce mouvement, il a posé l’autre pied B derrière le premier’, positioit figure 4 > d tourne en même temps sur ses talons. Les deux pieds accomplissent chacun un demi-tour, fig. 5. Aloi-s le pied qui était dprri|ère se trouve devant ; on le ramène sur l’alignement du premier, fig. fi. Si le soldat faisait encore un demi-tour , il se retrouverait dans sa direction primitive : il aurait fait alors un tour entier.

Considérons Içs angles que forme la droite AC avec la droite DAB, dans la fig. 7., 11 y a deux angles , un petit BAC et un grand CAD ; leur somme égale toujours un demi-tour de révolution de AC, depuis AB jusqu’en AD.

Donc l’angle BAC est ce qui manque à l’angle DAC pour formér up demi-tour complet; de même pAC est ce qui manque à l’angle BAC

PREMIÈHE ^.EÇON.

pour former un demi-tour complet. Voilh potir- «juoi l’on dit que JîAC est le supplément , ran^rhi sujyplémentaire de DAC; tie même que D AG est le supplément , l’angle supplémentaire de ]ÎAC.

Supposons que l’angle JÎAC grandisse, parce que AG s’écarte de AIÎ; alors l’angle supplémentaire DAC diminuera. Il arrivera un moment où le moindre angle BAC croissant toujours, et le plus grand DAC diminuant, ils seront égaux, lig. 8. Chacun de ces angles égaux est ce qu on appelle tm angle droit. L’angle droit est donc la moitié du demi-tour d’une révolution complète : c’est un quart de tour.

L angle droit BAC , ou DAC, fig. 8, ou quart de tour, est un angle qu’on a besoin de produire ou de mesurer, à chaque instant, pour exécuter une foule de travaux des arts.

Dans la manœuvre des troupes on fait souvent usage du quart de tour, (ju’on appelle quart de conversion. Lorsqu’un peloton aligné sur AB, lig. 8, doit passer, de cette position à la jiosition perpendiculaire AC, il tourne, il converse autour du point A. Il ferait un tour, une conversion complète pour l'evenir à sa position première, s’il tournait toujours dans le même sens; il ne fait qu’un quart de conversion pour arriver à la position perpendiculaire. On détermine le sens du mouvement, en commandant la conversion par la droite , ou par la gauche.

if) i;i:uMÉTUJE.

Supposons mainlonant deux nouvelk-s lignes droites MON et OL , lig. 9 et 10 , pour lesquelles 011 ait pareillement trouvé la position de OL, telle que lés deux apgles INOL et MOL ^lit égaux. Je dis que ces deux angles sont égaux aux deux premiers BAC, CAD,. lig. B, que nous venons d’appeler angles droits. i^y

, Pour le demontrer , posons la ligne droite DAÛ, fig. 8, sur MON, fig. 9 , de manière qà’ellcs se confondent dans tpus Icure points , comme deux lignes droites peuvent le faire , et que le ]H>iiit A tombe sur le point O ; alors il faudra que Jccété AC couvre exactement le côtéOL. Admettons , s’il ^e peut , que AC , fig. 9 , ait une autre jxjsition , et tombe à gauche de OL ; il est évident que les angles CAB, CAI) étant égaux entr’eux, MOL qui Surpasse de COL le premier angle, et NOL <[ui est surpassé, ■ par le second , de ce même angle COL , ne pdnrraiènt plus être égaux ontr’eux. Au contraire, si AC ,-fig. uo, tombait à droite de OL , les angles BAC, l)AC étant ^aiix entr’eux, MOL plus petit que DAC , et NOL plus grand que BAC ne pourraient plus être égaux. Pai- conséquent AC ne peut tomber ni à droite ni à gauche de OL ; donc AC tombe exactement sur OL. Doue les angles droits que forment, d’une part les deux ligues droites .AC; BD, de - l’autre. les deux lignes droites di/l'érehtes OL, MN, sont tpujou£p «%aux eptr’eux. j • i.i

est le premier principe sur lequel est fonde l’j^sage de l’équerre. Une équerre peut être fornpée de deux parties de règles droites AB , A.C , •/ — 'lig. Il, fixées invariablement en A , de manière • à former un angle droit. Lorsqu’on veut , à partir du point O , fig. 12., mener une ligne OL qui

PREMIÈIIE LéÇON. l']

fasse deux angles droits avec MON , on pose un côté AG de l’équerre le long de ON, de manière que le point A vienne aussi près que possible du point O; puis on trace la ligne droite OL par les moyens ordinaires : c’est la ligne cherchée.

Si les artistes Employaient une équerre qui ne fût pas très-exacte, toutes leurs opérations auraient une source d’inexactitude. Il faut donc qu’ils aient grand soin de vérifier les équerres dont ils se -Servent : rien n’est plus facile.

P^éri/icafion des équerres. Pour vérifier l’équerre BAC, fig. 11 , je commence par tirer trèsex.aclemeiit, sur une surface plane, la ligne droite MON, fig. I i; ensuite Je pose le côté AC le plus près possible et le long de ON ; je trace QL le long de AB. Gela fait , je retourne l’équerre ; je la place en B'A'C', mettant A'C' le long de OM , et je vois quelle est la direction du second côté A' B'. 1®. S’il tombe juste sur la ligne OL déjà tracée, l’équerre est exacte, a”. Si le second côté de l’équerre n’arrive pas jusqu’à OL, l’équerre est inexacte, et l’angle qu’elle indique est trop petit. 3”. Si le second côté dépasse OL, l’équerre est encore inexacte, et l’angle qu’elle indique est trop grand.

Nous verrons par quels moyens l’artiste peut rectifier une équerre qui n’est pas exacte.

Les charpentiers de marine appel lent^/^j^eéquerre, un instrument XYZ, fig. ii, très-comïiiode pour prendre et transporter toute espèce

ËéoMÉTRra:.

rl’augles. nDStrument se cooipose de deux règles qui tourucBtsui' un même pivot auqüél elles sont fixées, de manière k pouvoir former tous les angles depuis le plus petit jusqu’au plus grand. On a soin d’ailleurs de serrer assez les deux règles 'l’une contre l’autrq, pour qii’SHes ne tournent pasliinsU’une aur l’autre ^sans épjübûvèr que^ue résisjtance de frottement; de sorte <jn’elles. gardent leurs poskioBs respectives quand on ne fait pfas effort: pour ouvrir ou fermer fanglè quelles représentent. On va voir, d’après cétte explication , combien il est facile de rapporter un angle quelconque BAC, fig. "14 , à partir d’un point O, fig. 15, en se donnant un côté OL dti ribùvel .angle LOM , qui doit égaler BAC. “ *

On ajus^ra la fausse équerrO de manière qae les deûx cûlés XY, YZ suivent resp.ectivjBment les directions AC jVÜ , fig.' i4- Ensuite qp transportera la fausse équ^ire surla fig. 1 ^ eu> ayant bieii.soin de n’en pas altérer l’anr gléi Oji posera 'XY sui' OL. Ators en traçant avec un crayon, ou une pointe, ou en cordeau , la ligne droite ülVf suivant le côté YZ , l’angle MOL sera égal à BAC.

. Superposition. I| est essentiel de remarquer le nfo/en que nous employons ici soit pour former des angles, soit pour nous assueer qu’ils sont égaux , en posapt les équerres sur les 'figures et ïes figures les une# suâ les autres. Ce même moyeu sert dans une £Îule de pratiques de findusU-ie et dans uiv grand; iiombre de démonstrations de la géométrie. Quand doux figures posées