PREMIÈRE LEÇON

l’une sur l’autre s’ajustent, se confondent dans toutes leurs parties, elles ont même forme et même grandeur; elles sont parfaitement égales; et l’on fait une ligure égale li une autre, quand on l’exécute de manière à remplir celte çonditiou. C’est ainsi que les tailleurs et les modistes posent des patrons sur l’étoffe qu’ils veulent exactement tailler suivant le contour de ces patrons qui feprésentent les formes qu’on doit figurer ou Couvrir.

Quand la ligne AC , fig. 1 6 , fait avec DAlî les deux angles droits BAC, CAD , ou dit que AC est perpendiculaire h DAB. Par conséquent ou mène une perpendiculaire AC, à la droite Ï)AB, toutes les fois qu’o'i pose une équerre XYZ tl’un côté YZ le long de AB, et qu’on trace une droite AC le long du côté XY. J’indiquerai d’outrés moyens de mener des perpendiculaires.

Plions, en deux la üg. 17, de manière que la ligne droite ABE sait le pli même, les angles ABD, ABC étani égaux, la droite BC se posera sur BD. Donc l’angle CBE couvrira exactement DBE; donc ces deux derniers angles sont égaux comme les deux premiers. Ainsi-j quaiul delix droites se poupent , si parmi les quatre angles quelles forment , un seul est droit, les trois'autres le sont pareillement; alors jcliaque partie AB, BÉ d’une des droites est perpendiculaire à l’autre droite.

11 est essentiel de prouver qye d'uu point B,

ao

ligure i8, on ne peut mener qu’une perpendiculaire BA sur une ligne droite donnée DAC.

Pour nous eu convaincre, supposons que du point L l’on puisse mener deux perpendiculaires I5A , BD , sur la niêiiie ligne droite DAC. Je prolonge BA de manière que A 6 égale AB^ puis je mène la ligne droite Dl/; cnsuite^c replie toute la pai-tie DACft sur DACB. Les angles i AC , Bac étant égaux , Aù se pose sur AB , et le point b sur le point B. Donc DZ> se pose aussi sur DB donc l’dnule AD/; égale l’angle droit ADB. Ainsi T)b ferait partie de la perpendiculaire DB , et l’on pourrait mener deux lignes droites 6AB, /;DB , entre les points /; et B; cè qui est absurde.

Ce^préliminaires établis sur les angles droits , il faiit parler des angles obliques.

Quand la droite CD, lig. 19, forme deux angles inégaux aved la droite ACB, il y en a un plu.s petit et l’autre plus grand que l’angle droit ACE : le petit s’appelle un angle aigu , et le grand un angle oh tus,

11 est évident qiie ces deux angles occupent l’espace autour de C, d’u'n côté de AB, de même que les deux angles droits ACE, BCE. Donc la somme de l' angle:0,igu BCD et de l'angle ohtus ACD , égale deux angles droits.

Il est facile, en eli'et,.de voir que l’angle aigu BCD égale un angle droit hioins DCE, et que l’angle obtus x\CD égale un angle droit plus DCE; donc leur somme égale deux angles droits.

Supposons maintenant qu’on prolonge* DC en CF, et comparons les deux nouveaux angles ACF, BCF avec les premiers.

PHKMIÈKËLKÇOH. 21

1*. L’angle ACD plus l’angle BCD, foi'mcs pur CD et In ligne droite AB, égalent deux angles droits; par eonsé- ^ quent BCD égale deux angles droits moins ACD. 2°. L’angle ACD , plus l’angle ACF, formés par AC sur la ligne droite DCF, égalent deux angles droits ; par conséquent ACF é^ale deux angles droits moins ACD. Par conséquent aussi BCD , ainsi que ACF, égalant chacun deux angles droits moins ACD, sont égaux entr'eux. On démontre de même l’égalité des angles ACD, BCF qui , comme leS premiers , sont opposés au sommet.

Ainsi, quand deux lignes droites se croisent, elles forment quatre angles. Alors : i“. les angles adjacents, pris deux h deux, font une somme de deux angles droits ; 2°. les angles opposés au sommet sont égaux.

Actuellement nous pouvons comparer entre .

elles les perpendiculaires et les obliques.

Si l’on mène , djun point D quelconque, fig. 20, une droite DE jusqu’à la droite Ali, et que les angles AED-, DEB ne soient pas dr«ts, la ligne DE n’est pas perpendiculaire à Ali, elle est oblique. Si de plus on mènp DG perpendiculaire à . AB, des deux angles AED, BED, le dernier, celui' qui regarde DG, est aigu; l’autre est obtus,

A présent, je prolonge DC jusqu’en d, de manière, que CD égale CrL Je mène la droite V.d; puis je replie la partie inférieure de la ligure, en la faisant tourner sur AB connue sur une charnière. Alors V,d se pm’tc sur CI) et d sur D ; puisque les angles BCD , BCrJ sont égaux.

Donc lid égale ED. De plus la ligne brisée DEïJ est plus longue que la ligue’ droite IMi// menée entre les mêmes extrémités D, d. Donc la moitié de DEr/, c’est-à-dire

D ■- ty GiMJjjle

GÉOM ÉTRIE.

l’oblique DE eijt plus longue que la moitié de hOd, c’est ^ à -dire la perpendiculaire DC.

Telle est donc la propriété générale d’une droite DC, fig.' ao , perpendiculaire à une autre droite AB, d’être plus courte que toute oblique menée de F extrémité D de la perpendiculaire à cette ligne AB. Leslignes droites DC , DE mesurant les distances du point D à la ligne droite AB, il en résulte que pour aller dun point à utie ligne droite, le plus court chemin est la perpendiciilaire menée de ce poinü à cette droite.

Voilà r une des propriétés de la géométrie élémentaire, les plus remarquables et les plûs avantageuses dans les applications aux arts.

Vous aurez souvent à chercher les distances Içs moins grandes, les surfaces les moins étendues, les volumes les moins considérables qui satisfassent à des conditions données : mais il ne vous sera pJs toujours aussi facile de les trouver. Les questions de cet ordre , desquelles dépend toute l’économie des jfratiques de 'l’industrie , nous occuperont beaucoup, et nous tâcherons den bien faire comprendre l’esprit.

* Supposons qu’ayant mené , üg. 2 1 , DB perpendiculaire à AC, on ait B A égal à BC , je dis que les obliques menées de D en A , -et de D eu C sont égales. En efi’et, si nous replions la partie . Bf>C sur 1 »I)A , la pcrpentlifculaire BD servant ■r de charnière, lés deux angles droits ABD, CBD

r ^ .’eû îvCooglt

"1*REM1ÈKE LBCON. o3

étant égaux , -BC tombe sur BÀ et G sur A ; donc DG égale DA. Parconséquent deux offliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales.

Application à la vérification des perpendiculaires. les menuisiers, les char-

pentiers, les appareijleurs, etc., fontun fréquent usage de cette propriété, quand ils veulent vérifier si une ligne est perpendiculaire à une autre , sans recourir à l’équerre. Ils mesurent très-exactement dçux longueurs BA.,BG égales entre elles, à partir de la ligue BD dont ils veulent vérifier la positiou^^ls mesurent ensuite, avec une règle ou tout autre^nstrument, la distance des points A et D , c’est-à-dire la longueur de l’obliqué AD; ils portent cette longueur sur DG à partir • de D ; si elle aboutit exactement en G , alors les deux obliques AD, DG sont égales, et la ligne' BD est perpendiculifire à AG. ^

Quand on veut vérifier la position 'd’une perpendiculaire BI5 sur ABG, il ne faut pas prendre ^ d’oblique Da, trop voisine de la perpendiculaire; car si elle était très-près de B, un dérangement même assez senj^ible dans la position de cette perpendiculaire , n’en produirait qu’un fort-petit dans la longueui- de l’oblique Db , et l’on s’exposerait à se trohiper. 11 aurait égaloment de l’inconvénient à -trop écarter les obliques. Les positions les meilleures se rapprochent de celles pour lesquelles AB, Bf',, BD sont égales.

~2/f GÉOMÉTRIE. '

C’est par îles précautions dé ce genre, appli- «juécs dans le mémo esprit à chaque cas particulier, que les artistes pourront donner à leurs tracés, à leurs'' constructions , k leürs machines ce grand degré de précision , uéessaire k l’état d’une industrie très-perfectionnée.

Il ne sullit pas d’avoir prouvé que les obliques sont toujours plus longues que la perpendiculaire, il (’aut prouver que les obUffiics sont à! autant plus longues quelles s'éloignent davantage de la perpendicuUdre.

Soit, fig. 22, OD pcqiencUculalre à'Ofi-, je dis que, fies deux obliques DC, IJB , la plus co^urte est la plus voisine' .de la perpendiculaire. En eft'ct, menons CK perpendiculaire à nous aurens par cela niêiue DC plus court que DK, et à plus forte raison que DB. •

•Kous verrons cette propriété présenter dans la méchanique des appliiSitions très-fréquentes. Supposons qu’on veuille rapproclicr un corps B , lig. 23 , de la position AC perpendiculaire à BM. Supposons aussi qu’on ait attaché ce coi-ps h deux cordes BA, BC ; puis qu’on tire la pTe- ^ mière du point A, la deuxieme du point G, pour diminuer les distances de ces points au corps. Il faudra que le corps avance de plus en plus , de manière à présenter deslignes AB', puis AB", ...CB', puis CB",... demoinsen moins obliques , et qui par cela meme seront plus cour* tes. Au contraire, s’il fallait éloigner B de AC, on emploierait des tiges inflexibles de fer ou de bois, pour, le pousséi* â partir des points C et A. On ferait prendrc''à ces tiges une position de plus en plus oblique, et par conséquent, u ne longueur de plus en plus considérable» soit entre B et A , soit entre B et C.

Des lignes parallèles , et de leurs combinaisons avec les perpendiculaires et les obliques.

Deux lignes droites sont parallèles quand elles ne se rencontrent jamais, quelque loin qu’on les prolonge des deux côtés. -

Par un point A, fig. i et fig. a, l’on peut mener une ligne droite AB, qui, prolongée par les deux bouts, ne rencontre jamais une autre ligne droite CD ; et l’on n’en peut mener quune ■ par un même point As

Pour trouver ÂB , il faut du point  mener ÂC perpendiculaire à CD ; puis AB perpendiculaire à AC. Alors AB sera parallèle à CO. £n effet , si les deux lignes AB , CD se rencontraient en un point , on pourrait de oe point abaisser deux perpendiculaires sur une droite AC ; chose que nous ayons démontrée impossible ( première leçon) .

A présent , prouvons que toute autre ligne AE coupe CD. Quelque petit que soit l’angle BA£ , l’on conçoit qu’en faisant tourner AE autour de A , pour l’éloigner de AB , l’on répétera l’angle BAE un assez grand nombre de fois pour couvTir tout l’espace compris dans le quart de tour BAC. Mais, si l’on prend autant de points qu’on voudraC,, C,, C,, C^, etc., éloignés l’un de l’autre d’une distance égale à CA, puis qu’on élève les perpendiculair resCiD,, C,D, , CsDj..., ces pei’pendiculaires diviseront T- I. CÉOM. 4

26 GÉO M ÉtRIE.

l’cspacc BACG,C,G,... en bandes parallèles ayant toutes la même superficie que ABGD. Or , on pourra toujours faire un plus grand nombre de bandes qu’il n’y a de petits angles BAE; EAE, ; E,AE, ; E,AE, dans l’angle droit BAGG, . Donc, l’espace occupé par une seule bande BAGD,.... est toujours moindre que l’espace compris dans un angle BAE , quelque petit que soit cet angle. Une telle condition exige que la ligne droite AE piolongée coupe GD ; car, sans cela , il faudrait que l’espace BAE , simple partie de BAGD, fût plus grand que BAGD même ce qui serait absurde.

Ainsi dès l’instant où deux lignes droites ÂB ,

CD sont parallèles , si l’une est perpendiculaire à une troisième ligne AC , l’autre est aussi perpèn^ diculaire à celte troisième.

Dans l’art du dessin et dans les tracés du rae- 'nuisier, l’on fait usage de celte propriété qu’ont les parallèles. On fabrique un instrument qu’on • appelle T, parce qu’il est formé de deux parties droites, MN, OP, lig. 3, assemblées en forme de T. On pose la branche MN plus épaisse et saillante en dessous, le long du bord AD de la planche ABCD; l’autre branche OP étant perpendiculaire h la première, il en résulte que toutes les lignes droites AB, EF, tracées le long de la ^ branche OP, sont des parallèles. /

Quand on veut ranger des troupes eu co- j louue, c’est-à-dire, par pelotons parallèles AB£ CD, EF, etc. , lig. i , on place des guides A,C,E,G^ en ligne droite et à égale distance; ensuite m aligne chaque peloton perpendiculaircmeiil à la

. DEUXIKMC LEÇOZr. . 2'J

droite ACEG.,. : on est sûr qu’alors les pelotons sont parallèles entr’eux. ' t

Les arts emploient fréquemment des lignes droites qui sont a la même distance les unes dès, autres. • '

Dans réoriture faite à la main et dans l’impression des livres , les caractères sont posés sur des lignes partout égalentcnt distantes, et par' conséquent parallèles. Ces caractères mêmes ont leurs parties droites * comme les jambages d’un m et d’un n, équidistantes en haut et en bas : .la seule diflFérence qu’on remarque entre les directions parallèles de ces jambages, c’est qu’ils sont perpendiculaires aux lignes dans l’écriture ronde et dans . le caractère d’impression dit romain , inclinés à droite dans la coulée et Yitalique , inclinés à ^uche dans la bd^arde. ..

La musique fait usage des lignes 'parallèles équidistantes, fig. 5 pour y poser des points pleins ou vides , simples ou distingué^||||[||||.s queues pafallèlesentr’elles. On groupe cif^|^Hs d^^anièreà çe qu’il faille un même temps pour dhanter ou pour exécuter, les sons de chaque groupe ; ce temps est ce, qu’on appelle une mesure, et les diverses mesures sont séparées^ par des lignes droites perpendiculaires aux premières pa^lèles. Par conséquent, ers ^rpendieulaires sent aussi des lignes parallèles entr’elles» • Souvent on trace h la fois les oiij^ lignes pa-

38 * .'géométrïk.

rallèles, avec un tire-lignè à cinq pointes placées eh ligt?e droite, qn’on appuie contre une règle, de manière que les cinq pointes soient sur un •alignement perpendiculaire à la règle : il est éviident qu’on trace ainsi* cinq lignes partout également distantes , et par conséquent parallèles.

L’usage des parallèles équidistantes est infini dans les arts. Le laboureur forme ses sillons Suivant des lignes ainsi disposées. Quand il herse la terre et, qu’il traîne sa herse en ligne droite, les pointes de la herse placées à égale distance les unes des autres , décrivent des lignes droites parallèles ; par conséquent, les pointes de l’in- .. strument agissent partout également, pour diviser les mottes de. terre que le soc dé la charrue a'détachées et soulevées par masses plus ou moins grosses. , ‘

Quand un graveur veut figurer des surfaces

» planes , il représente leurs parties plus s ombrées, par des hachures plus ou rtes , mais parallèles , et toutes'à la même distance les unes des autres. #

■ Quand il veut figurer des surfaces planes dont une partie l’éloigne du’ spectateur , ou la surface du eiel , il emploie encore des hachures droites , parallèles. Il 4 >eut les foire à égale distance, pourvu -que les * plus voisines du spectateur soierit fdus foncées ou plus larges que les. autré’s. J1 ^eut aussi faire toutes ses hachures égalertieut

DEUXIÈI^E tË^N.

foncées , également larges , niais-de plus en plus éloignées les unes des autres , à mesüËe ique les points de l’espace qu’elles indiquent , sont moins ombrés 'OU moins voisins du spectateur. Ces dégradations elles-mêmes sont soumises à des rè- ^ gles géométriques; et les artistes qui veulent opérer d’une manière éclaii'ée , doivent s’en foN mer une idée précise. < " ^ ï

On peut prouver maintenant quç deux lignes droites parallèles , sont dans toute leur longueur . à la rnême distance l’une de l’autre.. , •

Ayant tracé les deux parallèles ÂB , CO , fig. G , et les droites AC , MN , pei'pendiculaires à ces deux lignes , marquons U au milieu de AM, et menons HK perpendiculairement aux deux parallèles ; replions ensuite sur HK, comme sur une charnière, la partie gauche de la*figure sur la partie droite. Les angles droits KHAet KHM d’une part, HKC et HKN de l’autre étant égaux entr’eux, HA ' viendra s’appliquer sur HM , et KC sur RN. De plus, les angles hIc.'HMN étant droits et par conséquent égaux, AC s’appliquera sur MN ; et le point C tombera sur le point N. Donc la perpendiculaire AC égale la perpendiculaire MN. '

^insi toutes les perpendiculaires , telles que AG , MN , fig. 6 , qui mesurent en diverses positions la distance de deux parallèles , sont ége^s entr elles : ce sont les plus courtes distances de ces parallèl^Si. . # , ' *

Les perpendiculaires AÇ > MN , à la mêmesligne droite- AB,, sont jparallèles : donc lès droites AM , CIN , qui leur sont perpendiculaires , sdut de mêr^ égales eutr’elleS

jCftSi» M ErillE.

Par^conséquent , lorsqu’on a deux parallèles AB,Cp ^et deux autres droites AC, MN parallèles entr elles, mais perpendiculaires aux pVemières parallèles, les portions des deux premières y droites , comprises entre les secondes , sont égales entr elles , et les portions des deux secondes qpmprises entre les deux premières, sont dé ^ même égales entr’elles.^

Application aux routes en fer, ou routes or- ^tûères. Ce sont des routes sur lesquelles, on pratique d’avance , soit en creux , soit en relief, des ornières parfaitement droites et parfaitement unies, dans lesquelles ou sur lesquelles doivent se mouvoir avec précision quatre roues de chariotsf deux, sur l’ornière de droite et deux sur celle de gauche. Quand une des deux ornières • est droite , l’autre doit donc être partout éloignée de celle-ci, d’une distance égale h récîp’tement . des roues placées sur un même essieu. Ainsi les deux ornières sont parallèles. C’est précisément parce que les ornières u’ont pas d’inégalités , et sont exactement et ^ uraUèles , qu’pu

trQuve un si grand avantage, une éçoncmic si précieuse dans les transports effectués sur ces ornières, comparativement aux transports efiec- •tués sur des routes ordinaires.

•Supposons maintenant qu’on fasse avancer vers AB , fig. 6 , la ligne CD , sans quelle cesse d’être perpendiculaire à AC^ elle ne cessera pas d’être

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deuxième leçon. 3l

parallèle à AB, dont elle s’approchera de plus en plus, mais également dans toutes scs parties/

Ce mouvement des lignes parallèles, et cette égalité qu elles Conservent dans leurs distances , ont une très -grande importance dans la méchanique.

Application des parallèles au jeu des MulU Jenny ou chariots qui servent à filer le cOton.

Qu’on imagine un chariot dirigé suivant CD, fig. &, et qui puisse avancer ou reculer parallèlement à AB , au moyen de roideltes qui cou- ' rent sur deux ornières parallèles AC , MN. Les fils de coton partent de AM , où ,ils sont disposés à égale distance , pour aller s’enrouler sur des b(v bines alignées suivant CN , aussi à égale distance. Quand le chariot CN se rapproche de AM, les distances des points de CN a la droite AM diminuent toutes également; par conséquent les fils s’enroulent avec égalité sur les bobines, sans qu’ils cessent tous d’être également tendus.^ Lorsque le chariot s’éloigne de AM pour revenir en CN , les fils sont tous alongés également. Ainsi , c’est en profitant de légalité des parallèles comprises entre les parallèles , que l’on a pu parvenir h construire ces belles machines à filer, qui , non-seulement ont l’avantage d’opérer, par le seul mouvement d’un chariot , le filage de 4o , 5o , 6o fils et même plus , mais qui confectionnent tous les fils avec une égalité qu’on n’aurait

jamais obtenue } eu les filant à part, et sans moyens géométriques. -

Jusqu'ici nous n’avons comparé les parallèles qu’avec des perpendiculaires , • comparons - les avec des obliques. Supposons que l’on mène, fig. 7, les deux lignes AB, CD obliques par rapport à EACF ; si les deux angles EAB, ECD [^appelés correspondants ) sont égaux , les deux lignes droites AB , CD sont parallèles (1).

La réciproque est également vraie , c’est-à-dire, quand ces lignes sont parallèles, toute oblique les coupe de manière à former avec elles quatre angles aigus égaux entr’eux , et quatre angles obtus pareillement égaux entr’eux (2). .

. (1) En effet , si elles ne sont pas parallèles , en les prolongeant assez elles se rencontreront quelque part, soit en.dessas, soit cnKlessous de EACF ; voyons si cela se peut.

Je prolonge BA et DC jusqu'en b et d, puis je prends la ligure BACD , que je renverse de naanière que A se pose en C et C en A Mais l'angle BAF , qui égale EAè, égale DGF qui égale Y,Cd . donc le coté AB renversé se posera s ur Cd , et le côté CD reii versé se posera sur A 6 . Donc enfin , si les deux lignes droites èAB, <^CD se rencontrent en un premier point, d'un côté de AC, il faudra qu'elles se rencontrent en un second point, de l'autre côté de AC. Cette conséquence est impossible, puisqu'on aurait deux lignes droites qui se rencontreraient en deux points

Ainsi, règle invariable , quand deux lignes droites ÔAB, <iCD forment avec une oblique EACF , des angles aigus égaux a , a', a”, a'", et par conséquent des angles obtus égaux , o , o', o" , o" , ces lignes sont parallèles.

(3) Pour s'en convaincre , il suffit d'observer que la ligne droite

DEDtlÈME LËÇOW. 35

Dans ies arts où l’on a besoin de mener une droite parallèle à une autre , l’on fait souvent usage de ces deux propriétés des parallèles.

Lon se sert pour cela d’une règle et d’un ' triangle fig. 8, en bois, en verre on en

métal : c’est une équerre de dessinateur. Ce triangle s’appelle équerre, parce qu’il a deux côtés qui sont à angle droit ou d'équerre.

Supposons maintenant qu’on demande de faire passer par le point A une droite parallèle à CD, fig. 8. Ou commencera avec poser l’équerre xjz de manière qu’un de ses côtés xy suive exactement la direction de CD. Ensuite on posera la règle M contre le côté a?z de l’équerre; on appuiera Ibrlement d’une main sur la règle, ou bien on fixera cette règle sur le plan avec des poids. Alors 1 autre main conduira l’équerre lelong de la règle jusqu’à ce que le côté xy vienne aussi près que possible du point A, vu la nature de l’instrument dont on doit se servir pour tracer la ligne droite AD demandée. Cette ligne tracée le long de xy sera nécessairement parallèle a CD, pui.sque les angles aigus correspondants , formés par la règle et les deux lignes AB, CD, sont égaux entr’eux. i.,.

rfCD, menée par le point C dé manière qne les angles a" a'» égalent a et a' , est p4raHèle k bAB. Or , on ne peut mener par JC pomt C qu’une seule ligne parallèle a èAB. C'est donc la droite pour aquélle a, a', a'', a"’ sont égaux , de même que o,o’,o" o"' T. I. — Gkom. 5

Avec le côté jrz de l’équerre , on peut tracer partout des lignes qui soient perpendiculaires h la règle ; ce qui est beaucoup plus expéditif que de mener des perpendiculaires au moyen d’obliques egalement inclinées. Mais il faut avoir des équerres bien justes, et rien n’est plus rare. Même dans les villes où les arts sont le plus avancés, ü n’y a qu’un petit nombre d’artistes qui fassent des équerres et des règles d’une précision satisfaisante pour de bons dessinateurs.

" Examinons maintenant l’application des propriétés que nous venons d’indiquer, à la construction et au mouvement des corps.

. Ayant, fig. lo, une figuré ABCD de forme invariable, supposons qu’on veuille la faire avancer, de manière que tous ses points en ligne droite Amnp.... se meuvent suivant cette même droite Amripa.... , je dis que tout autre point B ou G, ou D , de la figure ABCD, parcourra une droite Bb, Ce, Bd parallèle h Aa. En effet, la figure ne changeant de forme durant son mouvement, chaque point B, G, D, reste toujours'à la même distance de la droite Aa. Donc il décrit une ligne droite parallèle à Amnpa.

L’industrie fait l’usage le plus fréquent de cette belle propriété donnée par la géométrie.

jdppUcation au jeu des tiroirs dans leurs em- - boitements. Bes tiroirs des tables, des commodes et des armoires , fig. 9 , sont emboîtés et guidés

DEÜXIÈMB LEÇo'r». ' 3$

dans leur mouvement, par un encadrement dont les joints rectilignes représentent autant de- lignes droites parallèles Aa, Bb, Dd, Ce. Quand le tiroir avance ou recule, si le meuble est bien exécuté , c’est-à-dire si le parallélisme de toutes ses parties est exactement observé , le tiroir ne cesse pas de s’ajuster dans son emboîtement; et nulle part il n’est gêné dans ses mouvements , parce que des parallèles toujours comprises entre les mêmes parallèles, et par conséquent égales, représentent la distance des divers points de ce tiroir considéré dans scs diverses positions. * Application au jeu des pistait s dans les pompes. La même explication nous fait comprendre comment un pistou qui s’emboîte exactement dans un corps de pompe dont le contour est formé de lignes droites parallèles , s’j meut avec exactitude , sans éprouver d’obstacles ni de jeu t quand le corps de pompe et le piston sont exécutés avec précision. Lorsque le pistou monte et descend alternativement, chacun des points de son contour devient une ligne droite parallèle à laxe du corps de pompe; toutes les parallèles ainsi décrites doivent être entièrement placées sur le contour intérieur du corps de pompe. C’est surtout en exécutant des machines à vapeur, que le moindre défaut de parallélisme et la plus légère déviation produiraient de gi’aves inconvénients et une grande perte de force.

36 ' CBOHlSTftl'e. '

Application à V ourdissage et au tissage des étoffes. Pour ourdir une étoffe, on étend d’abord parallèlement un certain nombre de fds qu’on réunit d’un bout sur une lisière, et qu’on enroule de l’autre bout sur un arbre ; on tend ces fils de manière à ce que la partie développée présente une suite de lignes droites parallèles et placées sur le même plan. Afin que l’étoffe qu’on jVeut fabriquer ne soit pas trop lâche en certaines parties et trop serrée en d’autres^, on fait usage d’un instrument appelé peigne : il se compose de lamelles très-minces et droites , qui sont tenues à égale distance l’une de l’autre , et parallèlement, par deux garnitures convenables* On fait passer, dans chacun des intervalles qui séparent les lamelles -du peigne , un fil de la chaîne ; ce qui règle l’écartement des fils. Par ce double système de lignes droites parallèles , dont l’un sert de régulateur à l’autre , quand le peigne est exécuté avec une extrême précision , on parvient k confectionner des tissus d’une -grande largeur , d’une grande longueur et d’une parfaite égalité dans toutes leurs parties.

On sait à quel degré de finesse et de beauté les Indiens ont porté la fabrication de leurs célèbres cachemires. Cependant , comme ils n’ont point, pour assurer le parallélisme et l’égale distance des fils, de moyens comparables en précision avec ceux des Européens , il leur est

DEUXIÈME LEÇOX. 3^

impossible «l’exécuter des fonds de cbéles qui pour l’égalité du tissu, rivalisent avec ceux qiie* produisent les Européens , quoique nos fabricants ne comptent pas encore vingt années d’essais , dans cette nouvelle carrière ouverte à leur , industrie. ' - ' ' ' : '

11 est essentiel de faire sentir aux élèves que la supériorité , ainsi conquise dans uh art trèsperfectionné , tient aux moyens employés pour s’approcher de la précision , telle que la conçoit la géométrie idéale , dans le parallélisme des lignes droites représentées ici par des fils très-Qns.

• On aura souvent l’occasion de présenter des conséquences analogues, et partout on verra combien les progrès de l’industrie exigent qu’on introduise la rigueur des conceptions et 'des constructions géométriques dans le travail' des ateliers. Voilà, répétons-le souvent, ce qui rend de plus en plus nécessaire , à nos artistes , debien connaître la géométrie appliquée aux arts.

Les propriétés des lignes parallèles sont trèssouvent mises en pratique pour exécuter une figure ou un corps exactement égaux à un corps on à une ligure donnés. '

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’exécuter une figure abcd, lig. 1 1 , exactement égale à ia figure ABCD , déjà consü;^^ On mènerà les lignes Bh, Ce, De?, égales éi jjârailléles à Aà , puis les ligues ab, ho, c<i, da; c^l(c3-ci seront

G^'OMÉTRIE.'

uécessairement égales et parallèles à AB, BC„ CD, DA; et les deux figures seront égales., Application aux tracés de V architecture civile etde t arclütecture navale. Lorsqu’on doitdonner a un morceau de Lois , de pierre ou de fer , un relief qui s’adapte exactement à la figure d’une cavité ou creux préparé pour recevoir la pièce en i«lief, on se sert alors de la propriété des parallèles dont nous venons de faire usage. Supposons , par exemple, que dans le rentrant représenté par ABCDEF, fig. 13, ou veuille ajuster exaetement une pièce de bois XY , après l’avoir convenablement taillée. Il suffira pour cela de mener les li-

gnes Aa, B6, Ce, Hd, Ee , ¥f, égales et parallèles entr’elles , puis de tracer le contour ahedef, et de tailler la pièce XY suivant ce contour.

On emploie ce moyen pour faire , avec des planches légères, les modèles ou gabarits des lignes principales avec lesquelles on construit un navire , suivant un plan donné. Les charpentiers de vaisseaux appellent tricage cette manière d appliquer les propriétés des parallèles; c est de son exactitude que dépend la fidélité parfaite avec laquelle les formes conçues par l’ingénieur sont reproduites dans l’exécutioiî.

Quant à l’emploi du même procédé pour l’assemblage en creux et en relief, fig. i3,

qui doiven ^CT ipHer l’une dans l’autre , c’est de

sa précisi^ ^^^ d^&^end la solidité même du na- '

DEUXIÈME LEÇON. 3g

Vire, et la résistance qu’il oppose à ce que ses parties prennent du jeu,, quand ce bâtiment éprouve les tourmentes de la mer : jeu qqi, comme nous le verrons plus tard , est une des causes de destruction les plus dangereuses.

Application des parallèles au dessin de la géométrie descriptive : méthode des projectiojis. Nous avons dit un mot du moyen de construire une figure égale à une autre , à l’aide des parallèles. On s’est servi de ce moyen pour en faire un mode général de représentation, de description des corps : tel est le but du dessin de la^éométrie descriptive.

' C’est sur un plan appelé plan de projection, tel qu’une table , un plancher , une feuille de papier tendue , qu’on rapporte l’objet qu’il faut représenter. A partir de chaque point de l’objet même, on mène une ligne droite parallèle à une direction qu’on fixe d’abord d’après certaines convenances. On conçoit que chaque point du corps représenté, quitte sa place primitive et vieni^ se poser sur le plan de projection , en suivant 1? direction parallèle qu’on a choisie. La position nouvelle du point , sur le plan de projection , est

la projection du point.

Si l’on projette ainsi tous les' points d’une droite ou d’une courbe, ils formeront, sur le plan de projection, une droite ou une courbe

4o GÉOMÉTRIE.

nouvelle , qui seront les projections de la dt*oife ou de la courbe primitive.

Voilà le genre de dessin dont on fait usage pour .représenter les objets dans l’architecture civile, militaire et navale, dans la charpente et dans la coupe des pierres , dans le dessin pour l’exéculioii des machines, etc.

Une seule représentation des objets ne suffit pas; il en faut deux pour déterminer exactement leur figure et leur grandeur. C’est pourquoi l’on emploie deux plans de projection; l’on trouve simple et commode de supposer l’un vertical et l’autre horizontal. Sur le plan vertical,, on rapporte, on projette l’objet à représenter, avec d^ parallèles qui sont horizontales. Sur le plan horizontal , ou projette l’objet à représenter, avec des parallèles qui sont verticales.

La projection horizontale est’ce qu’on appelle , à proprement parler, le plan de F objet. La projection verticale est ce qu’on appelle ïélévation de l’objet.

11 est biep essentiel que les élèves soient pénétrés, dès cet instant, de l’importance, de la* nécessité indispensable de connaître et de pratiquer avec exactitude le dessin des projections, par plans et par élévations , de tous les objets à représenter et à exécuter, dans tous les arts où l’on doit dopner aux produits une forme très-exacte, soit, d’après les modèles,

deuxième l’kçom. 4‘

soit <i'api è6 des t^mensions et 'des règles délermi liées ix l'avance.

La suite de ce cours leur donnera des moyens d’opérer dans les cas principaux qui pourront se présenter à eux; mais’ cela ne leur sullira point. 11 faut qu’ils prennent un maître spécial pour leur apprendre le dessin des projections, ses méthodes et ses ressources.

Application de la méthode des projections à la méchanif^ue. l^on-àeulement les parallèles et les perpendiculaires peuvent servir, par le moyen des projections, à représenter la forme d’un corps supposé immobile dans un moment donné; elle sert également à représenter le chemin qu’a suivi ou que doit suivre chacun de ses points , quand ce corps doit prendi'e un mouvement quelconque. Cette nouvelle application de la géométrie est de la plus haute importance pour la médianique. Elle permet de représenter par des lignes ce qui n’est réellement pas figuré dans l’espace ; elle permet ' de fixer durablement des traces dont la nature est de disparaître à l’instant même qui suit l’instant de leur apparution.

Supposons , par exemple, que je tiroune balle de fusil ou de canon, vers un but donné. Le centre de cette balle parcourt une cei-taine ligue que rien ne mai’que dans l’espace, ni avant ni après le tir de la balle. Cependant on peut, sur un plan , représenter cette ligne telle qu’elle

T. I, — Géiim,

-ap'

fut, ou telle quelle sera. C^lc représentation nous' servira , dans beaucoup de cas; par exemple, pour nous rendre compte de l’effet du tir d’une batterie sur une fortification. Suivant que cette ligne, dirigée sur la crête des fortifications, entrera dans l’espace où se trouvent les défenseurs, ou passera par-dessus cet espace , à telle distance quelle ne puisse atteindre les défenseurs,, la batterie aura de l’avantage ou du désavantage pour l’assaillant ; il y aura ou n’y aura pas-de péril pour les assiégés placés derrière le rempart (--y oyez quatomème leçon.)

On représente donc la ligne îi parcourir par le centre de la balle, sur les plans de projection qui marquent les positions respectives et les reliefs de la batterie et des fortifications, pour juger ce qu’on doit espérer ou craindre des effets de cette batterie.

Ou représente également par des lignes, la suite des points que parcourent le centre de la lune autour de la terre , le centre de la terre et des autres planètes et des comètes autour du soleil, etc. La connaissance des lignes ainsi paiv courues par les astres de notre système planétaire, est au rang des découvertes les plus précieuses qu’ait faites le génie de l’homme. Il a fallu plusieurs milliers d’années pour y parvenir.

Les machines que l’on exécute pour les besoins de la société et pour les travaux de l’in-

Dr ■ :ed by Googli

DEUXIÈME EEÇON.

(lustrie sont fabriquées dans le dessein que certaines de leurs parties opèrent des mouvements déterminés. Il ne suffît pas de représenter les parties de chaque machine dans une position particulière ; il faut pouvoir représenter les mouvements , le jeu de ces parties. C’est encore en employant la méthode des projections , àvec dés parallèles et des perpendiculaires, qu’on y parvient. Au moyen de cette réprésentation l’on se rend mi compte exact des effets produits par la forme même qu’ont les diverses parties des machines , quand ces machines sont mises en mouvement.

On doit voir, déjà, combien la théorie des parallèles et des perpendiculaires /toute facile, toute simple qu’elle paraît , a cependant d’applications importantes soit pour figurer et fabriquer des objets de toutes formes, des meubles, des édifices et des machines; soit pour représenter l’état stable des corps et les diverses circonstances de leur monvement. 11 faut donc se familiariser beaucoup avec le moyen de représentation quelle fournit à l’industrie.

Une des applications les plus utiles des lignes parallèles, est celle qu’on en a faite, pour réduire à la mesure de lignes droites parallèles , la figure des lignes courbes. '

Étant donnée une ligne courbe quelconque, MABCDN, 6g. on la rapporte à une I%ne droite principale ou axe mn , par une suite

d’autres li^iie.s droites parallèles An , B/i, Ce , l)d, etc. Ordinairement on trace ces dernières’ à égale distance les unes'des autres.

u4ppiica(ion au tracé des courbés. L’avantage de ce tracé géométrique, c’est qu’il- permet; si je puis m’exprimer ainsi, décrire, de compter la' ligure des lignes courbes, même des moins régulières, La construction des vaisseaux en >offro un exemple remarquable.

Exemple offert dans la construction des vais~ seaux..La rapiditédela marebed’un navirej toutes choses égales d’ailleurs, dépend de la forme con-^ •venable de la carène ou partie plongée dans l'eau.^ Il faut que cette forme soit partout bien continue et bien exécutée,* suivant les dimensions déterminées par l’ingénieur. C’est pourquoi l’on emploie les méthodes géométriques les plus exactes pour représenter et pour construire la carène des vaisseaux. On a recours k la méthode des parallèles et des perpendiculaires.

Tous les navires que nous construisons ont leur côté droit , appelé tribord, parfaitement semblable au’côté gauche, appelé bas-bord. On prend pour lesfigurer une ligne horizon taie MN,fig. i5, qui va de la pouppe è la proue. Sur cette ligne droite divisée en parties égales MA, Ali, BC... , on élève des perpendiculaires, et sur ces perpendiculaires on marque des points qui indiquent la largeur des Zig’nescTeflM. ■

Digilized by Googk-

On suppose que le navire, sans incliner {l’un côté ni de l’autre, s’enfonce graduellement dans la mer, et qu’à chaque degré d’enfoncement on marque sur sa surface extérieure la ligne du contour de l’eau : c’èst ce qu’on appelle les lignes d’eau. La continuité de ces ligues décide avant tout de la bonté des formes d’un navire. Ces c'ourbes sont déterminées , comme nous venons de le dire, par les demi-largeurs marquées,' à ilroite et à gauche de l’axe, sur les parallèles. Quand ces demi-largeurs sont indiquées en nombres pour chaque ligne d’eau et pour chaque pai-allèle, on peut toujours exécuter le dessin de la carène, et par conséquent le navire lui-même.

Exemple offert parle tracé des routes et des canaux. La ligne M N, fig. i6 , prise pour axe , étant , par exemple , celle du niveau des eaux du canal ou toute autre ligne parallèle à ce niveau ; on mène des perpendiculaires Aa, Bé, Ce..., depuis cette ligne jusqu’au terrain , dont la figure est déterminée par la courlje qui passe par les points a ,b, c, d. Pour déterminer, les hauteurs Mm ,' Art , B^>, Ce, on fait usage d’un instrument appelé niveau. Nous le décrirons en traitant des machines hydrauliques.

On forme ensuite ce qu’on appellp des profils en travers , en menant par chaque point A, B, C, D..., des horizontales perpendiculaires à RIN , et prenant chacune de ces horizontales pour non-

vel axe. On abaisse des perpendiculaires , de cet axe sur le terrain} on en mesure la longueur; puis on forme une figure pour chaque nouvel axe, avec les perpendiculaires et la courbe du terrain qui leur correspond.

Ces opérations sont indispensables pour connaître au juste la quantité de terre qu’il faut excaver dans les endroits trop élevés, afin de la transporter dans les endroits trop bas, et de transformer la figure primitive du terrain , en celle qui Convient soit à la route, soit au canal qu’on veut tracer. Enfin les mêmes hauteurs donnent le moyen d’effectuer avec promptitude et facilité les calculs nécessaires pour évaluer les quantités de terre à enlever, ce sont déblais , et à rapporter, ce sont les remblais'.

Quand on veut déterminer exactement la figure du fond d’un lac , d’un fleuve , d’un port , d’une rade, on en divise la surface par deux suites de lignes horizontales parallèles également distantes ; celles d’une suite étant perpendiculaires à celles de l’antre. Cela Élit, on abaisse, de chaque point où les parallèles inenées dans un sens sont coupées par les parallèles menées dans l’autre , une perpendiculaire qui va jusqu’au terrain. Si l’on fait passer des lignes courbes par l’extrémité des perpendiculaires menées d’une même horiimntale , l’on forme un profil du fond du lac, dû fleuve, de la rade, etc. L’on ob-

DEUXIKMK LEÇON. /(n

tient de la sorte, soit en long, soit en travers, tous les profils nécessaires pour «léterminer la figure de ce fond.

Au lieu de suivre ce moyen de représenter la figure d’un terrain couvert ou non couvert par les eaux , on préfère souvent des courbes telles que les hauteurs verticales soient égales pour chacune d’elles ; on forme alors une suite de courbes horizontales. Ordinairement on suppose que les courbes "^qui se suivent sont à la même distance les unes des autres, en mesurant ver-' ticalement cette distance. Par conséquent, eu projection verticale, c’est-à-dire en élévation, ces sections horizontales sont toutes représentées par dès parallèles à égale distance les unes des autres; ce qui simplifie une foule d’opérations. Ce moyen de représentation a le grand avantage de montrer à la vue simple, sur un plan, tel qu’une feuille de papier, ,1a figure complète du terrain dans ses diverses parties.

La détermination de cette figure n’est , pas utile seulement à Vhydrograpliic , c’est-à-dire, à la description des lieux couverts d’eau ou baignés par les eaux. Elle sert au topographe pour décrire avec précision lâ forme exacte et détaillée des vallons , des montagnes, etc. Elle sert à l’ingénieur militaire , comme à l’ingénieur des ponts et chaussées , pour les projets des voies publiques et des fortifications.

48 CÉOMÉTIUE.

Lorsqu'on veut consy'uîre uo {»qi»educ ou un pOJit;. les piles de ce, pont ou de cet aqueduc, s’élevant à la hauteur d’une hgne do niveau déterminée MN , fig. 17; ôn la divise en parties généralement égales M'A, AB, BG , CD...., A partir de chaque point de division , l’on abaisse les per- ^ ^ pendiculaires Aa, Bi>, Ce, De?....., jusqu’au ter- 1 ïain. : ces lignes indiquent la hauteur que doivent avoir les piles du pont ou de l’aqueduc.

ne m’étendrai pas davantage' sur les appll- . cations innombrables qu’on peut faire de cette ^ représentation des formes de l’étendue, parle secours des parallèles. Vous devez voir toute l’importance de cette méthode, sa facilité, sa ‘ ‘ simplicité, sa rapidité : il faut donc vous familiariser avec elle , par dé fréquents e.vercices^ en "“■dessinant rigoureusement' beaucoup d’objets, rapportés à des axes et à^des parallèles. Il faut

<JüE CE genre’ CE DESSIN SE RÉPANDE^ SUctESSi VE- ' ' . >■ - . .

MENt DA«S TOUS LES ATELIERS:

On peut consulter avec fruit , d’abord .fou-» vrage très-élémentaire de M. Francœur sur le dessin linéaire, ensuite l’ouvrage' de M. Lacroi.v sur les plans et les surfaces courbes , et la Géométrie descriptive , de M. Monge. Mi\I. jHacbette et Vallée ont aussi donné de très-bons tVaités sur cette matière. On y trouve des choses excellentes qu’on clierclierait vainement ailleurs.

Cercle.

Un cercle est une surface plane dont le contour, appelé circonférence, a tous ses points également éloignés d’un point unique appelé centre.

Toutes les lignes droites menées du centre J» la circonférence , mesurant des distances égales , sont égales entr’ellcs. On appelle rayons ces lignes droites. Donc les rayons d’un cercle sont tous égaux entr’eux.

Quand deuxrayons sont directement opposés, l’un à droite, l’autre à gauche du centre, la ligne droite unique qu’ils forment , est ce qu’on appelle un diamètre du cercle.

Ainsi dans le cercle AUDE, fig. i, G étant le centre, CA , CB , CD , GE , sont des rayons , tous égaux entr’eux. Si les deux rayons CA, CD forment une ligne droite ACD , cette ligne est un diamètre du cercle.

Chaque diamètre DA , fig. i , divise le cercle en deux parties égales.

Pour s’en convaincre, il suffit de replier lapo^on DAB sur la portion DAE , en faisant tourner DAB autour du diamètre DA , comme sur une charjiière. Si quelque point du contour DAB tombait en dedans du contour DAE , il serait plus près du centre ; si quelque point de DAB tom-

GEOMETRI-E.

bo

baît en dehors, il serait plus loin du centi’c. Or, cela ne peut pas être, puisque tous les points de la circonférence AB DE A sont également éloignés du centre. Donc enGn le contour DBA s'applique partout sur DEA ; et les deux portions du cercle , séparées par le diamètre DA , sont égales en tr’clles.

Ou appelle corde toute ligne droite mn, fig. 2, terminée de part et d’autre à la circonférence d’un cercle. On appelle arc de cercle toute portion mqn de la circonférence. On appelle flèche la partie pq du rayon Cpq perpendiculaire è la corde, partie comprise entre cette corde et l’arc.

Cc 3 dénominations sont empruntées de l’usage que faisaient les anciens , d’un bois qu’ils tendaient avec une corde, à peu près en portion de circonférence , fig. 3 , et qu’ils appelaientarc, pour litneer des flèches posées au milieu de la corde et dans une direction perpendiculaire à cette corde. Ici, comme on voit, l’application a devancé la science et lui a fourni des noms.

Le' rayon Cpq , fig. 2 , perpendiculaire à la corde mn , divise l’arc et la corde en deux parties égales. , -

Eu effet, menons les rayons Cm, C/t,- ce sont des obliques égales par rapport à la perpendiculaire Cp. Donc 1". mp = np. Les cordes mq , nq sont aussi des obliques égales, et si l’on replie Cqn sur Cqm , le point n tombera sur m , et l’arc^s^ sur mrq ; puisqu’aucun point du premier arc ne pourrait tombei- en dedans ou eu dehors du second , sans être plus près ou plus loin du centre G. Donc, 2". les dcux^arcs mrq , nsq sont égaux.

TROISIÈME LEÇOX. 5l

Applications au dessin linéaire. La' propriété qui vient d'être démontrée, fournit des appliéations très-utiles dans l’art du dessin et dans presque tous les arts où l’on doit prendre et combiner des mesures exactes.

Elle sert d’abord à diviser un arc de cercle mqn, Cg. 4 > en deux parties égales. Pour cela , l’on prend un compas que l’on ouvre suffisamment (c’est-à-dire plus que de la moitié de wi«) ; ensuite posant en m une des pointes du compas, on décrit avec l’autre pointe un arc de cercle rst puis portant une pointe du compas en n , on décrit avec l’autre pointé un second arc vsu , en ayant soin que le compas ne s’ouvre ou ne se ferme-pas , durant toute l’opération. Le point s où se croiseront les deux ai-cs sera également distant de ot et de n ,• donc il sera sur la perpendiculaire à rnn qui passe par le milieu de cette droite et par le centre du cercle. Gettc droite elle-même divisera la corde mn ainU que l’arc mqn , en deux parties égales.

Si l’oh.ne connaissait pas la position du centre, il suffirait de tracer du côté de ce centre , deux arcs abc , dbe , avec une même ouverture de compas : le premier ayant m pour centre , et le second n. Le point b serait , comme le point s , sur la perpendiculaire qui divise en deux parties égales , la corde nin et son arc mqn.

Avec une telle construction, nous pouvons, en connaissant seulement trois points ,m, n , o , fig. 5, sur la circonférence d’un cercle, déterminer la, position du centre , la grandeur du »ayon , et par conséquent tracer la circonférence même.

-11 suffit pour cela de mener, d’après le moyen qùe nous venons d’indiquer, i®. parle milieu de mn, qa perpendiculaire à mn ; par le milieu de no, rb , perpen-

Sa CJiOMKTlUK.

diculaire à no. l)u puint G' où se rencontreront les |iei'pendiculaircs Cq , Gr, menons les obliques C/« , Cn , Co / elles seront égales. Ainsi,. C//z, Cn, Co , seront trois rayons du cercle cherçlié, dont G sera le centre. ’

Quand , fig. 6 , des cordes AB, DE, FG....d’un cercle, sont parallèles, les arcs AD et BE , DF etEG,, qu’elles comprennent, s (mt égaux.

Pour le démontrer , menons , du centre G , le rayon Clinnp perpendiculaire à toutes les cordes ; il coupera chacune d’elles en deux pai'ties égales. De plus , en comparant la longueur des arcs qui coirespondent à ces cordes Uàrc... pAégalepB^pD c^ale pE,pF égale pG ; ce qui exige qu’on ait l’arc. . . . AD égale BE, DF égale EG.

Une ligne droite XpY, fig. 6 , perpendiculaire au rayon Cp du cercle , et menée par l’extrémité de ce rayon, est toute en dehors du cercle, qu’elle ne touche qu’au point p. C’est la tangente du cercle, et nulle autre droite ne peut, à partir du point p, passer entre le cercle et sa tangente XjdY.

Enelfet, le rayonétantpei'q)endicul'airc àla droiteX^Y, le pied p de cette perpendiculaire est plqs près du centre G , placé sur cette pcipendiculaire, que tout autre point X ou Y; puisque la distance de chaque antre point X, Y... ■^au point G , serait mesurée par une oblique nécessairement plus longue que la perpendiculaire Gp. Donc tous les points de la <h'oiteXjt>Y, exeepté p, sont hors du cerchc.

Les arts tirent le plus grand parti de ces propriétés qu’a le cercle , par rapport aux droites qui lui sçut tangentes.

D’ahord on peut faire tourner le cercle autour

Digilized by Googlc

TnoisitME Lï^;os. ‘53

de 'son centre G supposé fixe. La tangente XY restant également fixe dans ce mouvement :

i“. jamais le cercle ne dépassera XY ; 2 ”. il toùche;*a toujours XY en un point p qui se trouve éloigné du centre G, d’une étendue égale au rayon Cp. Par conséquent , lorsqu’une droite fixe touche un cercle en un point, si le centre du cercle est fixé sur un axe , on peut faire tourner ce cercle sans que jamais il ait d’effort à produire pour s’écarter de ]a ligne droite , ni pour repousser cette ligue droite, ' ' \

Application au tournage dun corps mobile , par le moyen dun outil fixe. Le tourneur met à profit cette propriété pour tailler une surface plane suivant un contour circulaire. H fait tourner le plan autour d’un point fixe G , pris pour centre du cercle. Ensuite il dirige un outil tranchant, suivant la tangente XY ; le tranchant agissant au point p, toutes les parties, du plan détachées par l’outil, sont éloignées cÜ G d*une distance plus grande que Gp ; tous les points du contour, ainsi taillés, sont à la distance Cp du • centre : donc ce contour est celui d’un cercle.

A^lication à la configuration des meules pot^iiguiserlcs outils ou polir des surfaces. On ^fait usage delà même propriété , dans la construc- ■'tion des meules qui servent pour aiguiser des outils et pour polir les parties rectilignes de la surface des produits d’industrie. On lû-nt fixe-

ment , soit à la main ; soit avec un appareil quelconque , l’objet h aiguiser ou à polir , en le pressant contre une meule-de forme circulaire. Si le centre de la meule est bien fixe, et sa circonférence bien exacte, lorsqu’on fait tourner cette meule, sa surface reste toujours en contact avec les objets qu’on veut aiguiser oü polir.

\Toute autre figure que le cercle n’aurait pas cette propriété; en la faisant tourner , il y aurait des moments où elle s’écarterait des objets tenus fixement, et d’autres où elle les repousserait.

Au, lieu de supposer le cercle mobile et la tangente XY fixe, nous pouvons au contraire supposer fixe le cercle , et mobile la droite XY : en assujettissant toujours cette droite à '^rester éloignée du centre G d’une quantité égale au rayon , elle ne cessera pas de toucher la circonférence du cercle. *

Application au tournage des corps fixes. On em’ploi# ce moyen pour tailler circ.ulairement des corps immobiles. Alors c’est l’outil qui tourne autour du centre ; une face droite de l’outil est représentée parla tangente XY, et le tranchant même l’est par le point p.

On combine encore d’une manière diligente le mouvement du cercle avec la positioq de ses tangentes.

Application au roulage. Supposons que - la tangente XY restant immobile , on fasse rouler

TKOISIÈME LEÇON. 55

le cercle dessus , de manière que chaque petite partie de la circonférence pose successivement , Sans glisser en avant ni en arrière , sur une nouvelle partie de la tangente, on aura lé mouvement qu’on appelle roulage ; il est de la plus haute importance dans les arts. . •

Dans ce mouvement , la droite XY ne cessera pas d’être tangente au cercle, puisqu’elle en touchera toujours la circonférence en un point seulemeut. Donc le centre du cercle restei'a sans cesse éloigné de la droite XY, d’une distance égale au rayon Cp. Ainsi , dans le roulage elTectué sur une ligne droite XY , le centre du cercle roulé se meut en suivant une autre ligne droite parallèle à la roule XY. Si donc cette ligue droite est horizontale, le centre du cercle suit pareillement une ligne horizontale. ' '

Pour toute autre courbe qu’on ferait ainsi rouler sur une ligne droite horizontale, un point, central ou non , monterait ou baisserait lour-à-tour; et le transport effectué par cette roue non circulaire, n’aurait ni régularité, ni douceur. Telle est la raison pour laquelle' on donne la figure d’un cerclé à toutes les roues des voitures destinées à transporter des voyageurs ou des effets.

Application aux mouvements parallèles. La propriété du cercle, qui nous occupe en ce moment , fournit un moyen très-.simple et très- facile

de faire mouvoir un point parallèlement à une droite donnée. Il suffit d’attacher ce point au centre d’un cercle qu’on fera rouler sur sa tangente fixe.

Menons la ligne , flg. 6, parallèle à XY, à une distance qui égale deux rayons Cp ou le diamètre du cercle , c’est-è-dire pCq. Alors xjr passera par l’extrémité q du diamètre pq; elle sera , comme XY , tangente au cercle, Si maintenant on fait rouler le cercle sur XpY ; il ne cessera pas de toucher xqj , parce que la distance des deux parallèles est partout la même.

Application à la construction des machines.

Quand on veut faire mouvoir avec beaucoup d’exactitude une règle , un châssis rectiligne , parallèlement à une ligne droite donnée, on prend des molettes ou roulettes d’égal diamètre, et d’une figure circulaire bien exacte ; on les place entre la droite qui sert de base et la règle ou le châssis à mouvoir. On n’a plus ensuite qu’à tirer ou pousser tangentiellemcnt aux roulettes ou molettes , la règle ou le châssis, suivant les besoins de la machine dont ils doivent faire partie.

On remarquera combien sont déjà variés les moyens que la géométrie fournit aux arts pour <lécrire ou construire des cercles avec des lignes droites, et des lignes droites avec dc^s cercles; pour produire des mouvements rectilignes avec

TROISiKMfi LEÇON. 5n

«ies mouvements circulaires, et des mouvements circulaires avec des mouvements rectilignes. C’est aux professeurs à bien faire comprendre aux élèves l’esprit de ces applications.

Après avoir comparé des cercles aveq des lignes droites, comparons les cercles entr’eux.

Supposons que deux cercles A, B, ligure 7, soient placés de telle manière que la distance AB de leurs centres égale la somme AO plus BO de leurs rayons. Il est évident que le point O est à la fois sur les deux circonférences. De plus, aucun autre point P ne peut être à la fois sur ces deux circonférences (i). ' . • '

Les deux cercles sont par conséquent tangents l’un à l’autre.

Application pour transmettre le mouvement circulaire d'un axe à un autre. On peut faire tourner le premier cercle, fig. 7, sans qu’il cesse de toucher le second , supposé fixe , ou même supposé mobile et tournant soit dans le même sens que le premier soit en sens contraire : sans que, dans ce/mouvement, les deux cercles cessent de se toucher etsans qu’ils entrent l’un dans l'autre.

. Les arts emploient souvent cette propriété' gépmétrique, pour mettre en mouvement un •• '’r ^ J ;

‘(1) En eflfet, si l'on mène les, lignes' droites AP, BP, l’on aura toujours la ligne droite AO plus BO plus courte que la ligne brisée AP plus BP. Donc AP et BP ne peuvent pas être égaux attx rayons AOetBO.