O*0MjàTR'lE

^ Aiir$ilA'4ien»<in»Dfér«noe' égale r8o degF«$^ ' , '* '

4 t»«ri ,■ le quart,, le cm^éme., te sixième, lè huitième U. dixième; ' ' . 1,30 go- ^ ^ . 6o ; 45. , ,36^,

h 'douzième ^ , U quinzième , te vingtième j le vingt-quatrième, j- , 3o v; - a4 !'• *8 J- ' i5^ ,

. U trentième , Jetzenteuixlème..... de la circon/érenee.- . • 12 ' lO* degrés.

A 4 j» de. mesurer J es parties d'angle plus .petites gp’uo d^fe, on divise, le degré en 6o {Parties égftjes J, .qu’on appelle .minttfej., . ^ •

■ Pour suffire à des mesures plus', délicates encore y on r divise la minute en 6o sécandes, la seconde en 6o tierces -et la tierce en 6o quartes.

•-• tLa circonférence du cercle contient 21.G00 minutes, ou i.apd-ooo secondes, "où 77.760.000 tierces, ou 4 - 665 . 6 oo. 6 oo quartes (i ). ■ * .

i^Ainsi la seconde n’est pas la millionième partie de k; ch*CGnférence,‘et la quarte n’en est pas le quart de la milliardième' partie. ' '

Application a la géographie. Les géograpljes ont lait, pour.' mesurer la surface de 1» terre, une application très-importante de la division du cercle par degrés, minutes, tierces, etc. >

. Ils ont remarqué que .les lignes tracées. du ‘ , *' * *'■ < '

• tO Pour iniliqucr d'une manière abrégée des degrés, des minute*, des seaoudes,' des tierces , desquartes , on écrit un ",

«u-dessus du chiffre indiquant ces parties -du cercle.

Amsi veut dire'iS degré.s ''^Sminutes

53 secondes , tierces , ai qnartes.i ^ ^^r

TROlSltMÜ tEÇOn. 67

nord au sud, comme celles que 4’on trace de l’orient à l’occident^ sont à fort peu près dw cercles. Ils ont divisé ces cercles en degi'és , minutes, secondes, tiercés, etc.

Voici quelle est la longueur de ces partie» ||jÉ^ suivant l’ancienne division du cercle :

La circondéreace de la teire , menirëe sur nn méridien, est de . - • de mènes

I dègr^ égale . , . . . . t iii,in mètres' > , I minute égale. .• . . ... . “ t,85a

^1 secondwgale,. . . . . .■„ . 3o.8 mètres ,,

î tierce égalé ~ mètre et quelqge chose.

Suivant le nouveau système, lé clegre etet ïe centième du quart de la Ciçcôriférencp ; la niinute est le centième du degré là sècôndé le ceutième de la minute , etc, D’après cela , pour le cercle du méridien de la felre : • ■ ^ , »>i

I degré égale. ... . . , loo.ooo^ètres ■ \

V 1 minute égale i ,000 TBètresiiivi/

. I seconde égale ,, , >0 mètres f,,‘v

I tierce égale, . % , . . , . « 'i décimètre^ ‘

I quarte égale. . t . . . ; 1 millimètre.

Application de la' division du cercle a la construction des machines. La division tle la circon-, férence du cercle en parties égales est tmé opération indispensable dans un grand nômbre d’arts, et surtout dans la fabrication tles'nîàchines; par exemple, pour tracer les roues débitées nécessaires aux engrenages, et les éylirlches cannelés nécessaires au iilage médianique > du coton , de la laine , du A^hanvre , etc. -Vivant

^ H . -y ■ f id . - ■ ■

68 GSOMÉTSIE.

qu’on exécute ces opérations avec un soin plu» ou moins grand, les inouvemenrts transmis par ' engrenage le sont avec 'plus ou moiris de facilité : la précision géométrique peut seule faire 4kviter les ressauts, les arrêts et les pertes de force qui accompagnent toujours l’irrégularité et l’inexactitude dans le jeu des machines.

^ Il serait très-impojtant que nos fabricants

• n’employassent jamais de roues dentées et de cylindres cannelés, sans avoir vérifié, avec heau-

• coup de soin , si les dents et les cannelures di- ■’visent la circonférence du cercle en portions

très-sensiblement égales. Ces vérifications rendraient les fabricants de machines plus rigou- - reux dans leurs méthodes ; l’industrie française y gagnerait^ une grande économie de forces transmises; et les produits de notre iridustrie, qui demandent beaucoup de perfection dans la main-d’œuvre, acquerraient une nouvelle supériorité.

. Instruments propr^ à mesurer les angles.

Pour mesurer les angles on fait usage d’un grand nombre d’instruments sur lesquels se trouve marquée la division du cercle en degrés et même: en subdivisions de degrés. Le rapporteur est le plus single de* ces instruments. .

idiG’ett un demi -cercle en cuhTe ou eh corne, sur la (ifcouiereuee duquel on contente de mai-qucr les degrés. Si (’iusti'ument est en cuivre, la partie rntipil,.

Cg. 17, est%jouf, et C, le centre, est' indiqué par uno ]>etitc entaille j déplus, les petites entailles ni,p, laissent voir deux autres .points du diamètre mC p‘ tracé suc un plan, et caché d’ailleurs exactement par, le hord wC/»

^c la partie droite qui r'epresénte un diamètre. Le rapporteur en corne'n’a pas liesoin'de ces entailles , et laisse voir le dessin à travers son épaisseur : c’est un grand avantage. •( ^

' Le rapporteur iert à prendre l’ouverture d’un angle XOY, et h la rapporter dan.s une autre position.

Veut-on tracer une droite XaY qui passe pai' lé point donné a , et qui fasse dn angle d’un certain nombre de degrés AB , avec la ligue dixaite connue LBD j on poussera parallèle lisent le rapporteur vers le point a j de manière que le centre C soit toujoiii's sur ED, ainsi que le p«inl D qui marque le nombre de degrés de l’angle ACB. Quand la base MK du rapportébr parallèle au diamètre nin , atteindra le point a , cette base ayant une certaine^ épaisseur , servira de règle pour tracer ^a Hgtle demandée XY.

Le graphomètre est un instrument dont le!^ arpenteurs font usage y et qui ressemble au rarpporteur. 11 se compose pareillement d’une demi-circonférence divisée en degrés ; mais il est beaucoup plus grand. Il est posé sur un piçd à trois branches. Il porte, aux extrémités de sa demi-circonféj'ence graduée , de petites plaques en cuivre qui laissent une ouverture droite et perpendiculaire au plao du cercle. A l’aide de ces deux ouvertures qu’on appelle pinnuleSy en se

7* *^ ». GKOMÉTRIK; • • ^

j^Iaçant derrière J’une «t regardant à tilivers l’autre, on tourne le graphomètre jusqu’à ce qrfori soit<lans la dii’t’Clion précise d’urt objet déterminé. Ensuite un diamètre, mobile autour du centre^ porte aussi deux pinnul.cs ; on fajt tourner ce dia- mètrejusqu au pointoù regardant par ses deux ouvertures on voie un second objet. On mesure ainsi 1 angle formé par deux lignes droites qui passent par le centre du graphomètre et respectivement par deux objets déterminés. On observe sur la graduation de finsüument le nombre de degrés qui séparent les deux diamètres : il indique l’angle cherclié (i).

•Il y a d’autres instrumens qui servent à mesurer' les angles, mais qui n’ont que le quart dun cercle gradué, ,ce sont les quadrants ] d’autres qui n’ont que le sixième, ce sont sextants; dauti"^ qui n’ont que le huitième, •ce sont les octants. On emploie ces instrumens dans les •opérations de géographie ou nlesure de la terre , et 'dans celles de navigation pour mesurer la position respective des objets terreslrés et des astres, lorsqu’on est en mer. -

On emploie aussi des cercles entiers , qu’on appelle cercles répétiteurs ^ parce qu’on y répète

'-(1) Il sera très-utile qne le professeur expliq^ue la structure etj rnsagedn t-apporteur , du jp-aphoniètreet dés antres instrUidents,

• eu les offrast.à U Vue dès élèves. . •» ■ W

TUU1SI£M.K I.KÇON. 7 1

les obsei'vatiou», de ftianière que les a-reurs différeutes qu ou peut avoir laites clans les diverses opérations , se coiu pensent en partie, et dimi-* uuent Terreur totale. -■

Indépendamment des vices inhérents à leur construction, tous ces instruments ont une source d’erreur dans l’inégalité des divisions du cercle. Car jamais la main de l’homme ne peut parvenir à des dirLsions telles que l’imaginatiorf du géomètre les conçoit, c’est-îWire, ngoureusement éxaetes. Mais il peut diminuer à tel point les iuexactitudes , qu’elle» deviennent réeC len^çut imperceptibles, même en cherchant à les efteouvrir avec des tnslrumcnls qui rendent sensibles les plus légères fautes. ^ *

Machines à diviser les cercles. On a cotistruit des luacbines propres ü diviser promptemepl et commodément te cercle. Voici par quel mo^en.

On trace sur un plateau beaucoup de cercles , avaut uu incjlie centre; eu partant du plus petit cercle pour piller ver.s le plus grand, on divise successiveuieut. •

le. i"-. ,. 3*.,- 3*., ‘4**> 5*..,.. cercles,

en 3 , 4) 5, 6, 7 parties égales*

■ Cette première division doit être, faite avec unsoin exU cuie , et ;vériliée à plusieurs i<eprises , pat Tune des méthodes que nous avons indiquées.'

» Supposons, uiaiiiteuant qu'ou veuille divi\-.cr en parties égales uii autre cercle ou une portion

GÉ0MÉTRIE4

de cercle. Il frfut placer fe nouveau cèrcle dè manière que son centre ait le même axe que

• celui de tous tes cercles gradués. ( Ici le pro-

fesseur décrira l’instrument en préàence .de la machine.) '

Cette opération n’est juste qu’autant que le centre de la pièce à graduer est exactement posé sur le centre commun des cercles déjà gradués. JVL Gambéy , célèbre artiste français , a su , p'ar une application bien simple des parallèles, trouver le moyen d’obvier à cet inconvénient pt de diviser avec exactitude une circonférence qui n’est pas concentrique aù plateau primitir veinent divisé. *

Soit ACB la pièce sur laquelle il s’agit de tracer un arc de cercle AB, avec des graduations parfaitement cor-

• respondantes à celles du plateau. Un encadrement à angles droits GiilNPQ est tenu de manière quç ses côtés CM,PQ soient toujours dirigés vers le centre G de la pièce AGB qu’on veut diviser, et ne puissent je inou\oir que parallèlement à leur position primitive. Quand on fait tourner d’uné certaine quantité le plateau , par exemple de 5o“, le côté OG A passe en Oca , GB passe en cb et l’angle acb égale 5o“. Mais, dans ce mouvement, l’encadrejnent transporté en cmnpq , n’a pas thangé de dii-ection, et la ligne pq se trouve toujours en ligne droite avec le centre c de l’arc. Donc : i''. l’indicateur Q marque , sur lapièçe AGB, une suite de points, tous égalementeloignés deC, c’est-à-dire, un arc de cercle ayant C pour centre ;

. . 2 ®. quand le plateau tourne d’im degré , l’indicateur Q marclie aussi d’un degré sur la pièce à diviser.,'

QUATRIÈME LEÇOK.^

Formes diuerses qu’on peut donner aux produits de l’industrie , avec la ligne droite et le cercle.

Parmi les figures planes qui sont terminées

par des lignes droites, il y en a de régulières et

d’irrégulières, de simples et de compliquées.

Nous nous bornerons à faire connaître celles

que les arts emploient le plus souvent.

Deux lignes droites,, parallèles ou non, ne

peuvent pas fermer complètement un espace.

Pour obtenir ce résultat, il faut au moins trois

Kgnes qui ne soient pas parallèles.

On appelle triangle rectiligne la superficie fermée par trois lignes droites. On distingue dans ' un triangle ARC , fig. i , ses trois cotés AB , BC, CA ; ses trois angles, et les trois sommets A, B, C, de ces angles.

Les angles d’un.tiiangle jouissent d’une propriété remarquable et précieuse pour les arts r leur somme égale deux angles droits, quelles que soient la grandeur et la forme du triangle.

Pour le prouver, prolongeons, fig. a, lecAtéAB en BE, et menons BD parallèle à AC. Les deuxparallèles AC, BD, T. I. — Géom, lo

étant coupées par deux droites ABE, BC , nous aurons i I L’an^ CAB égal à l’angle ÜBE; 2". L’angle ACB égal à l’angle CBD. Donc les trois angles A , C , B , du triangle ACB, égalent en somme les trois angles ABC, CBD, DBE, qui occupent tout l’espace d’un côté de la ligne droite ABE, c’est-à-dire , deux angles droits.

/‘Par là, dès l’instant où l’on connaît deux angles d’un triangle , on connaît le troisième : il suffît d’une addition et d’ilne soustraction.

Supposons , par exemple , que ces deux angles soient l’un de 37“, l’autre de 49 ° ; ajoutant 4 p à 87 on a 86 degrés, qui, retrnnchis de deux angles droits ou 180°, font 94° • donc le troisième angle ^t de 94°-

Puisque la somme des trois angles d’un triangle égale deux angles droits , il faudrait qu’un des angles fût égal à zéro, c’est-ù-dire n’existàt pas, pour queles deux autres fussent droits. Doncun triangle ne peut avoir qu’un angle droit.

A plus forte raison un triangle A13G, lig. i, ne peut-il avoir qu’un seul angle A obtus , c’est-àdire , plus grand que l’angle droit : c’est le triangle obtusangle. '

Un triangle ABC, lig. a , peut avoir ses trois angles aigus c’est le triangle acutangle.

Le triangle rectangle ABC, lig. a3 , est celui qui possède ,un angle droit B. Jjhjpothétmse est le grand côté-AQ, qui lait face à cet angle.

A présent comparons entr’eux tes côtés du triangle. La ligne droite étant le plus court chemin pour aller d’un* point à un autre, il s’en-

QUATRIÈME LEÇON. -jfî

suit que , dans un triangle , tout coté est plus court que la somme des deux autres côtés.

Des deux côtés AB, AC d’un triangle, fig. i, le plus grand AC , est opposé au plus grand angle fi.

En effet , prenons A6 = AB et Ac ^ AC , puis menons • Bb, Cc; les angles AB&,, AAB , ACc, AcC seront ^'aux. lie plus, ABC est plus grand que AB^, et ACB est plus petit que ACc. Donc i’anglcABC ést plus grand que ACB.

Le triangle équilatéral ABC, fig. 3 , est celui dont les trois côtés sont égaux entreiix-

Le triangle symétrique ABC, fig. 4 , esl- cpltd dont deux côtés sont égaux entr’eux.

En considérant les deux côtés égaux CA , CB, fig. 4 > comme des obliques égales par rapport à la base AB, la perpendiculaire CD tombe au milieu de cette base, et divise le triangle en deux parties égales : leur symétrie justifie la dénomination de symétrique donnée an triante dont deux côtés sont égaux. , ''

Afin de satistaire aux lois de la symétrie, les architectes couvrent la plupart des maisons et des édifices publics, avec un toit dont le profil est un triangle symétrique. Pour les anciens temples grecs et les maisons d’Italie, fig. 5, ce triangle est obtusangle -, pour les toits des clochers et des anciens édifices gothiques , fig. 6 , ce triangle est

Quand on doit élever des fardeaux , en emploie souvent ce qu’on appelle une chèvre, fig. 7 ; c’est

■j6 - • GÉOMÉTRIE.

un appareil qui se compose de deux pièces de Jaois d’égale longueur , unies d’un bout en C , et séparées \ers l’autre bout par une traverse AB. La torde qui sert pour élever le fardeau D, passe par une poulie fixée en G. Le triangle ABC que représente la chèvre, est sjmétrique-, donc la perpendiculaire , menée de C sur la base AB , divise cette base en deux parties égales.

Ilans les arts, on a souvent besoin d’«xécuter un triangle dont on connaît certaines parties. Voici comment on opère : ' '