III. Quand on connaît un côté seulement, t

et lès deux angles a, b , dont les sommets sont aux extrémités de ce côté , fig. 1 1 ,

On trace la ligne AB égale à 1 s puis, avec un instrument propre à rapl>orter les angles, on mène successivement les ligues droites AC et BC , qui font avec AB les angles a, b, ABC est le triangle demandé.

Toutes ces opérations sont très-simples; il importe que les professeurs les fassent souvent répéter aux élèves, avec la règle et le compas.

Nous venons d’expliqner trois manières de construire un triangle: i®. avec trois côtés donnés; a", avec deux côtés et l’angle compris entr’eux ; 3'. avec deux angles et le côté compris entre leurs sommets. Dans cliaquc cas, nous avons vu que ces données sont sullisantes.

Donc, I®. quand deux triangles ont leurs trois côtés égaux deux à deux, ils sont égaux : c’est le même triangle construit avec les mêmes éléments, en des endroits différents.

a®. Quand deux triangles ont deux côtés, et l’angle compris entr’eux , égaux de part et d’autre, les deux triangles sont égaux.

3". Quand deux triangles ont deux angles, et le côté compris entr’eux , égaux de part et d’autre, les deux triangles sont égaux.

Ainsi , fig. 8 , les deux triangles AIIC , ubc sont égaux >

1°. Si AB égale ab, BC égale bc,AC égale ac; 5 °. Si AB égale ab , BC égale bc , et si l'angle B égale l’angle b : K, b

78 GBOWÉt^IE.

éÙDt cx»apru«ntre AB«t 8C , ab.et b'e ; 3”.'Si AB égale

ab l’angle A égale. 4 , et si l’angle B ^ale l’angle b.' '

Il est essentiel que les artistes aient sans cesse présentes à leur esprit ces trois conditions d’égalité ; parce qu’on en fait le plus fréquent usage dans les opérations de l’industrie , ainsi que dans les démonstrations de la géométrife et de la méchanique. »

Si 1 une des trois conditions suivant lesquelles deux triangles peuvent être, égaux , n’est pas rigqureusement remplie , les deux triangles ne sauraient plus être égaux; puisqu’il y aurait quelque angle ou quelque côté dans l’un , qui n’aurait pas son égal dans l’autre/ Il importe beaucoup , si l’on veut pratiquer les arts d’une manière éclairée , de connaître à des signes faciles , les conditions indispensables pour chaque opération ; elles font éviter une foule de méprises, et sèrvent de vérifications immédiates.

Des figures dé quatre côtés ou quadrilatères. 11 y a des figures ABCD , fig. 1 2 , complètement ”fermées par quatre lignes droites; elles ont quatre angles et quatre sommets A, B, C, D. On appelle diagonalei\c& lignes droités AC , BD, qui joignent des sommets opposés.

En géométrie, on donne .le nom général de quadrilatère aux figures de quatre côtés. Il en est que leurs formes plus ou moins régulières font distinguer par des nqms spéciaux.

Digitiîod Çy Googk’

gt'ATRIÈMt: LEÇON. .

Le trapèze AJ^CD, iig. i3, et>t la figure de quatre côtés dout deux Ai3,.<CD , sont parallèles.

Un trapèze est l'ectangle, iig. i4, quand un troisième côté liG est perpendiculaire aux deux côtés parallèles AB,, CD.

Un trapèze 4 l^CD , iig. r5, est symétrique, . quand les deux côtés non parallèles AD, BC sont également obliques par rapport aux deux autres.

Pour quelques édifices réguliers , le toit se compose d’un triangle MDC, iig. i5, ,

dans la partie supérieure ; et d’un trapèze symétrique ABCD j dans la partie inférieure : c’est ce qu’on appelle une mansarde , du nom de l’architecte Mansard auquel on doit ce genre de toiture. La verticale MEF est la ligne de symétrie du triangle et du trapèze.

\je parallélogramme, fig. 1 6 , est la figure dont les quatre côtés sont parallèles deux «t deux.

' Applications. Lé parallélogramme est d’un usage continuel dans les arts; on en (ait un fréquent emploi dans la construction des machines ; il sert à produire ce qu’on appelle le mouvement parallèle, etc.

D’après les propriétés des parallèles, que nous avons démontrées dans la deuxième leçon , les angles opposés d’un parallélogramme , A et C d’une part, D et B de l’autre, sont égaux entre eux : deux sont aigus et depx sont obtus. De plus, si fou ajoute un angle aigu avec un angle

8o * (îKOMiTRlEl. T

âbtusv ^Ib soBHne égale .deux àagles droits.

''£a effet, si'noDs pitilongeons en G£ , fîg. i6, le côté IMj, les droites AD, B€ jetant paralldes, Tan^le ADC égale BCE , et DCB plus BCE égalent deux angles droits.

Puisque nous avons prouvé ( deuxième leçon) que les parallèles comprises entre parallèles sont égales, il, s’ensuit que. les côtés «opposés d’un perallélogrummc sont égaux entr’eux. Ainsi AB égale CD, AD égale BC.' <

Le point O de rencontre dés deux diagonales est au milieu de chacune d’elles.

En effet , AOC, DOB, fig. i6' étant les diagonales, les triangles ABO, DCO sont é^aux ; puisque, i". AB=DC; 1 °. l’angle ODC=OBA ; 3®. l’angle OGD=OAB, d’après les propriétés des parallèles. Donc OB=OD et OA=OC. * Des deux diagonales AC , DB , ü". ij , la plus grande AC est opposée aux plu s grands angles ByD En effet , si nous menons les li^nes'DE , CF perpendiculaires aux côtés- AB, CD, ces pei-pendiculaires seront égales ; or E^^est plus petit que AF donc l’oblique DB est plus courte .que l’oblique AC., • . .

Qn appelle un parallélogramme ABCD, fig- i8, dont les. quatre côtés sont égaux: cette .figure , par sa régularité, a delà grâce ; et s’emploie fréquemment dans les arts d’ornement.

Quand deux côtés du parallélogran^me sont à angle droit, tous le sont pareillement»,

En effet, si l’angle A, fig. lo , par exemple , est droit , dans le parellélogramme ABCD, le côté AD est perpendiculaire à AB ; il en est de nféme de BC par rapport à AB. Les deux anglêS A,fi sont droits, ainsi que leurs éga'ni D,C.

' Digitrzed by Googic

' QUATRIÈME LEÇOX. 8l

Telle est la Ggure qu’on appelle parallélogramme rectangle, fig. 1 9, ou seulement recta,ngle,n^a. d’abréger. Dans cette figure, les deux diagonales AC, BD sont égales. >

Pour le prouver, il suffit d’observer que les deux triangles rectangles ADC, DAB, sont égaux. En effet : i“. l’angle droit D égale l’angle droit A ; 3 °. le côté AD est commun aux deux triangles , et par conséquent égal pour les deux \ 3“. le côté DC de l’angle D dans le premier triangle, égale le côté AL de l’angle A dans le second : donc le troisième côté AC de ADC égale le troisième côté BD de DAB. Or, AC, BD sont les deux diagonales.

Le quarré ABCD, fig. ao, a se§ quatre côtés et ses quatre angles égaux.

Si nous résumons les propriétés des figures de quatre côtés, nous présenterons rénumération suivante, que les jeunes artistes doivent graver dans leur mémoire ;

Dans le quarré, les quatre angles sont égaux et droits , les quatre côtés sont égaux entr’eux, et les deux diagonales sont égales cntr’elles.

Dans le rectangle, les quatre angles sont égaux et droits; il y a deux longs côtés égaux entr’eux, deux petits côtés égaux eutr’eux, et deux diagonales égales eutr’elles.

Dans le losange, les quatre côtés sont égaux entr’eux, deux angles obtus sont égaux enlr’eux,. deux angles aigus sont égaux enlr’eux ; enfin les diagonales sont inégales.

T. I. — Géom. 1 1

8ï ' GÉOMÉTRIE.

Dam Je parallélogranie, il y a deux grands .côtés et deux grands angles égaux, deux petits côtés et deux petits angles égaux. Les diagonales sont inégales, la grande l'ait face aux grands angles, et la petite aux petits angles.

Symétrie des figures de ijuatre côtés. En repliant une partie de ces figures sur l’autre* partie, qui lui est égale, on prouvera que: i°. le trapèze a côtés obliques égaux , fig. 1 5 , est symétrique par rapport à la droite EF qui passe par le milieu de ses deux bases; le rectangle, fig. 19, est symétrique par rapport à chaque ligne droite menée par le milieu de deux côtés opposés; 3 ". le losange, fig. 18, est symétrique par rapport à chacune de ses dipgonales; 4". le quarré , fig. 20, est symétrique par rapport à ses deux diagonales, et par rapport à chaque ligne droite qui passe par le milieu de ses côtés opposés. Cette symétrie des figures de quatre côtés, a la plus grande importance pour les arts et pour la méchanique.

Nous savons que, dans tout triangle, la somme des angles est égale à deux angles droits.^

Mais toute ligure de quatre côtés ABCD, lîg, 13 , peut ,se décomposer en deux triangles ^\JBC , ACD , pour chacun desquels la somme des trois angles égale deux angles droits. De plus, les six angles de ces deux triangles ont pour somme les quatre angles de la ligure ABCD. Donc :

, Dans la figure de quatre côtés, la somme des

angles égale deux fois deux ou quatre angles droits.

Si l’on avait une figure de cinq côtés ABCDE , lig. 21, on pourrait, d’un sommet A , mener deux droites AC, AD aux sommets G , D; ce qui partagerait la ligure en trois triangles, dont les neuf angles seraient en gomme égaux aux cinq angles de la figure AUCDE.

Ainsi , dans la figure de cinq côtés, la somme des angles égale trois fois deux ou six angles droits.

En suivant la même méthode on verra que la somme des angles est égale, pour la figure de 3, 4> 6, 7, 8.... côtés,

îi 3, 4> 13.... angles droits.

Rapports du cercle avec les figures terminées par des lignes droites. Par les trois sommets d’uii triangle ABC, lig, 33 , on peut toujours faire passer un cercle; et voici comment ; Du milieu m de AB, l’on mène mo perpendiculaire à AB, et du milieu n de BC, l’on mène no perpendiculaire à BC. Le point o, où ces deux perpendiculaires se rencontrent, est également éloigné des trois sommets A, B, C : donc il est le centre d’un cercle qui passe par ces trois points.

Le triangle dont les sommets sont placés sur la circonférence d’un cercle, est ce qu’on appelle un triangle inscrit dans le cercle.

Quand un triangleestrec^a«j"/e, fig. 33, c’est-àdire, a un angle droit B, le centre O du cercle qui passe par les trois sommets du triangle, est au milieu du côté AC qui fait face à l’angle droit : côté que nous avons appelé Xhjpothénuse.

A'oici la voie la plus simple pour arriver à ilêmonlrcr ce principe (1 ).

' Dans le rectangle ABCD, fig. a 5 , les deux diagonales sont égales, et par conséquent aussi leurs moitiés GA, OB, OC, OD, qu’on peut prendre pour rayons d’un cercle. Donc on peut toujours inscrire dans un cercle un rectangle , fig. et par conséquent un quarré , fig. 26.

. Un triangle rectangle ABC étant donné, fig; 25 , si l’on construit son égal ADC, on forme \in rectangle, lequel est inscrit dans un cercle ayant son centre au milieu de AC. Donc le cercle qui passe par les sommets A, B, C. du triangle ABC, rectangle en B, a pour diamètre le grand côté AC du triangle.

Il suit de là que toute figure ABCD, fig. 24, de quatre côtés, dont deux angles opposés B, D, sont droits, peut être inscrite dans un cercle qui passe par les quatre sommets de la figure.

En effet, la diagonale AC décompose cette

(i) Nous allons en donner une démonstration indépendante de la considération des rectangles. Menons dn milieu de Ali, li^. 23 , la droite MO perpendiculaire à AB , et du milieu N de BC , la perpendiculaire KO à BC ; le point O de rencontre est le sommet lie deux tiiangles'égaux AMO, DMU , dans lesijiiels nous exprimons par 1 et U, les angles aigus correspondants de AMO, BMO. Ainsi les angles i et a font en somme «h angle droit. Mais, dans le grand triangle rectangle , l’angle A et l'angle C font en somme un angle droit; donc les angles marqués i, i, i, i, sont tous égaux ; de même les angles marqués a , a, a , a , sont égaux. Reinarc{uons que les rjuatre angles i, i , a , a , autour du point O , sont I plus a et r plus a , c'est-à-dire , deux fois un angle droit. Donc AO et OC sont en ligne droite. Donc le point O, également distant de A, B,C, est sur l'hypothénuse AC.

. Dirilîized

figure en deux triangles rectangles , inscrits l’un et l’autre dans un cercle ayant AC pour diamètre.

Les figures qui ont plus de quatre côtés ont *reçu des noms grecs désignant le nombre de leurs angles et de leurs côtés : ainsi

le pentagone , l’heiagone , l’heptagone , l’octogone , etc. a 5 6 . >] 8 côtés , etc.

Parmi ces figures, qu’on appelle en général polygones (ce qui veut dire figures de plusieurs angles), celles qui méritent surtout un examen spécial sont les polygones réguliers : leurs usages sont fréquents et importants pour l’industrie.

Les polygones réguliers ont tous leurs côtés égaux , et tous leurs angles égaux.

D’après cette définition , si l’on trouve un point O , figure 27 , également éloigné de trois sommets A, B, C, du polygone régulier ABCDEF, je dis qu’il est également éloigné de tous les autres sommets : ainsi OA=OB=OC=OD....

En effet , les triangles symétriques AOB, BOC^ ayant leurs bases AB, BC égales, ainsi que les côtés symétriques OA, OB, OC, sont égaux. Les angles symétriques égalent 7 B, puisque les deux du milieu, ajoutés, forment l’angle B. Le triangle OCD est égal à OCB, parce que OC est commun ; CD =BC comme côtés du polygone régulier, et l’angle OCD=OCB, puisque l’un de ces angles est la moitié de leur somme. On démontrera , de proche en proche, que les triangles ODE, OEF — sont égaux au premier, et par conséquent symétriques. Donc leurs côtés symétriques OA, OB , OC, .... sont égaux. Par

conséquent le point O se trouve également éloigné de tous les sommets de la figure régulière ; c’est donc le centre d’un cercle qui passe par tous ces sommets.

Ce cercle*existant dès qu’on peut le faire passer • par trois sommets, chose toujours exécutable, il en résulte qu’on toujours tracer un cercle dans lequel soit inscrit un polygone régulier, quel que soit le nombre de ses cotés.

Réciproquement un cercle étant donné , on y peut inscrire un polygone d’autant de côtés quon voudra.

Il suffira , pour cela, de diviser sa circonférence • en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés , et de joindre par des lignes droites les points de division qui se suivent.

Dans la 3'. leçon, nous avons donné les rapports de longueur entre les rayons du cercle et les distances de ces points, qui sont précisément les longueurs des côtés des polygones. A ' cet égard , il n’y aura donc aucune difficulté.

■Application des polygones réguliers aux fortifications régulières. Les ingénieurs militaires emploient les polygones réguliers pour tracer leurs fortifications régulières. Le nombre de côtés des polygones dépend de la grandeur de la place qu’ils ont à fortifier. Le triangle équilatéral et le quarré ne leur servent guère que pour des ouvrages de campagne. Le pentagone , Xhexagone et Vheptagotie' serseni pour enceindre de petites

places et des citadelles. Les ligures d’un plus grand nombre de côtés , servent pour enceindre de% villes plus considérables.

Application des figures précédentes aux travaux de pavage , de marqueterie , de vitrage et de mosaïque. Dans ces travaux, le problème ordinaire qu’on se propose est de couvrir exactement un certain espace avec des figures terminées par des lignes droites. On conçoit que ce problème est susceptible d’une infinité de solutions, suivant les combinaisons infinies de lignes droites qu’on peut tracer sur un plan.

Si l’on veut que toutes les figures soient régulières et d’un même nombre de côtés, la question se limite beaucoup et ne peut être résolue que par les figures suivantes :

1®. Des triangles équilatéraux dont les sommets aboutissent sixàsix au même point, fig, 27.

2“. Des quarrés dont les sommets aboutissent quatre à quatre au même point, fig. 29.

3 ®. Des hexagones dont les sommets aboutissent trois à trois au même point, fig. 28..

Pour démontrer ces pro{K)sitions, offrons le tableau suivant : les angles des polygones...

de 3 , 4 > ô, 6, 7,côte's,

sont de 6o“, 90”, 108"; lao", 128" - 4 ,

de 8, 9 , 10, II, 13 cotés,

sont de i 35 ®, • i 4 o®i i 4 î"> ' 4 ?® iV» ' 5 o".

Or, 6 fois 6o“, et 4 fois 90", et 3 fois 1 30", font 36 o®.

Aucun des autres nombres de degrés ne divisant 3 Go®

en un nombre rond de parties, on ne peut remplir l’espace autour d’un point donné, avec d’autres angles de polygone régulier, que ceux des figures de trois, quatre et sixràtés.

Remarquez qu’en remplissant l’espace autour tVun point, fig. 27, avec six triangles à côtés égaux, les six côtés extérieurs forment un hexagone régulier inscrit dans un cercle ayant pour rayons les côtés intérieurs*. Doric les côtés de lhexagone sont égaux au rayon du cercle dans lequel il est inscrit : propriété précieuse pour, l’industrie.

La multiplicité des objets qui doivent nous occuper dans ce cours , ne nous permet pas d’examiner en détail -beaucoup de .figures plus ou moins régulières qui, combinées ensemble, produisent des effets heureux pour les arts : leur étude et leur tracé exerceront et formeront , à la fois , l’imagination et le goût des élèves.

Lorsqu’il s’agit d’effectuer une mosaïque, une marqueterie ,. un pavé , sur lesquels on doit marcher, il importe qu’aucun point ne soit la réunion de trop de sommets ; car, en posant sur ce point le pied ou tout objet .pesant , il céderait trop aisément à la pression : ce qui détruirait la contexture et la solidité de l’ouvrage.

Aussi n’emploie-t-on presque jamais la combinaison des triangles équilatéraux dont les sommets concourent six à six aux mêmes points.

On évite môme de faire concourir les sommets des quarrés, quatre à quatre en un même ^int.

QtiATRlÎMI^ ^,’EÇOî^. 8q

Lorsqu’on veut couvrir un pavé quelconque avec des quarrés égaux entr’eux , on a le soin de ranger les quarrés ou les rectangles par files rectilignes , et de nnettre les joints des quarrés d’une file vis-à-vis le milieu des quarrés de la file suivante; D’après ce principe , dans' les constructions d’architecture , on emploie communément des pierres taillées suivant la forme , et mises dans la position qu’indique la figure 3o.

Les Romains donnaient souvent la figure du losange aux pierres et aux briques dont ils construisaient leurs murs; ils appelaient ce genre d’ouvrage opus reticulatum , ouvrage en filet, fig. 3i. En eflét, il a l’aspect d’un filet.

L’emploi de Diexagone pour le carrelage des appartementsoure Beaucoup d’avantages, lig. a8;

Les abeilles construisent leurs cellules en leur donnant la- forme d’hexagones Réguliers. Cette forme a la propriété qu’avec une rpiantité donnée de cire, les abeilles ^peuvent renfermer le plus grand espace où chacune se loge.

Dans une haute, antiquité) les hommes ont eu l’idée d’exécuter des constructions très-grandes et très-solides, avec d’énormes blocs de pierre taillés en forme de polygones irréguliers ; plusieurs des monuments qu’ils ont érigés subsistent encore dans l’Jtalie, la Sicile et la Grèce. Telles sont les constructions qu’bn a nommée^ cjclopéennes , et que représente la figure 3a.

T. I. — Gkom.

' Glîb

- L’aVantage de ce genre de eonatructiona est de pouvoir profiter de la- forme naturelle des blocs destinés à l’érection des monuments, eu les taillant de manière à perdre le moins possible de leur masse. ,

Dans la célèbre jetée ou brise-lame construite par les Anglais, pour protéger la rade de lÿymouth contre l’action violente des vagues de la nier, on a revêtu le dessus et le talus intérieur • de la jetée , dans la partie la plus haute , avec de très-gros blocs de marbre , enchâssés et taillés comme dans les constructions cyclopéennes.' Cet enchâssement ne permet pas à la mer de soulever un bloc isolément , et fait que chacun contribue à la solidité de l’ensem^. ' ' .

Des figures terminées' par a&s portions' de ligne droite et de cercle. $i les figutesi composées de ligne#droites, offrent déjà beaucoup de variété , l'on peut juger combien plus grande encore est la variété des figures où l’on combine des posions de ligne droite et de cercle. V-. •

. ‘‘ La plus simple des combinaisons est cellé qui se compose d’un demi-cerclè'et de son diamètre.

Telle est la figure du graphoinètre et du rapporteur employé pour rapporter’ des angles (i).

Telle était anssi la' figure des théâtres , chez les peuples anciens ; telle est la figure des amphi-

(J^ Voy** ia planche de la troisième leçon, tig. 17*' ' ■ ' ’ ^

QU AT ai KM K LEÇON. Qt

théâtres consacrés à des assemblées publiques et à l’enseignement, chez les peuples modernes.

L’orateur ou le professeur est au centre C , fig. 33 , et les spectateurs sont rangés sur des demicercles également espacés, et tous ayantle point C pour centre et AB pour diamètre.

Si , par les extrémités du diamètre . ACB , 6g. 34 , l’on mène des perpendiculaires Ji ce diamètre, elles seront tangentes en A et B au demicercle AMB. Si l’on mène ensuite, à une'ccrtaiue distance , la ligne droite EF parallèle à AB , l’on achève une figure très-souvent employée dans les arts : c’est celle «les voûtes et des portes en plein cintre , ainsi nommées parce que la courbure du cintre est partout également pleine.

Si, au-dessus du rectangle ABFE, fig. 35,.

avec AB pour rayon : l'-^dy point A comme , centre , je décris l’arc BM ; 2 “. du poiutsB comme centre , je décris l’arc AM , je forme une figure qui représente les voûtes dites en tiers point.

La figure des voûtes en plein cintre appartient à ï architecture grecque et généralement à l’architecture moderne ; la figure des voûtes en tiers point appartient à \ architecture go- . thique. Ces deux architectures , qui font usage de formes géométriques «liftérentes , doivent à ces formes des caractères particuliers , qui les distinguent essentiellejnênt. Chacune a ses droits ■à l’estime , ii l’admiration des gens de goût ;

^ i..GKOMÉr hlÈ.

chucuue mérite d’être l’objet d’une étude appro fondie , soit pour l’excellence des formes et des proportions , soit pour la hardiesse et la solidité des constructions.

Si, dans la ligure 34 nous décrivons un demicercle sur IîjF comme diamètre, nous aurons un' contour AMiJFNE qui est , en plan, celui des arènes destinées parles anciens aux courses pu- , bliques des chevaux, et nommées pour cette raison des hippodromes. Les bornés autour desquelles devaient tourner les coursiers , étaient situées aux centres G et c des parties circulaires.

Les modernes font usage, pour leurs ponts et . pour leurs édifices , de voûtes surbaissées qui sé composent de plusieurs arcs de cercle : c’est ce qu’on nomme voûtes en anse de panier. Dans la figure 36, d y a .trois aies de cercle ayant trois centres O, F, Q. ( Voyez quatorzième leçon. )

Un. l\' architecture gothique, ou plutôt

mauresque , consiste à former des voûtes avec , deux petits arcs très-courbés J3D , GF, figure 37 , prolongés par deux lignes droites DE, EF, qui l'ont un angle obtus.

Les Anglais ont beaueoup d’édifices gothiques coustruils dans ce genre , et non moins remarquables pour 1 élégance des formes que pour la hardiesse de la construction. Telles sont le.s chapelles de fleuri VIII* à, Westmin.ster; ■ de la Trinité à Cambridge ,-tdu château de Windsor.

QUATRIÈME LEÇOM. g3 ‘

Art de profiler. Les architectes ont imaginé (les combinaisons simples et gracieuses , du cercle et de la ligne droite, pour orner, sous le non» de moulures\ les profils de leurs édifices. Ce charpentier , le menuisier , l’ébéniste , le constructeur de rhacbines, emploient ces formes et doivent les bien connaître.-

La plus simple de toutes est le filet , composé de deux lignes parallèles très-rapprochées et terminées d’un bout par une perpendiculaire. On voit j fig. 38 , un seul filet AB; on en voit plusieurs placés en étage dans la fig. 3g, qui représente le chapiteau de l’ordre dorique grec, appelé l’cri/re de Pæstum; parce qu’on trouve k Pæstum un temple entouré par de belles colonnes de cet ordre.

Ordinairement on réunit un filet au reste de l’édifice, avec un quart de cercle BC, fig. 38 > < tangent en B, au-dessous du filet; et tangent en C, au côté vertical du mur, du pilastre, ou de la colonne qu’on veut profiler. ' ‘

Ordinairement aussi l’on surmonte le filet par un demi-cercle saillant, appelé ôoKijf/», fig. 38.

On emploie aussi séparément le quart de cercle en relief, appelé quart de l'ond,. A/nB, fig. jfjo; et le quart de cercle en creux AniB , fig. 4 1 •

Deux quarts de cercle AM B, BND, fig. 4^, ayant même rayon , et leurs centres O, P, sur la meme verticale , forment le talon.

Deux quarts de cercle AMB, BIVD, fig. ^4^»

GtiOMÉTH'lE. •

ayaut même rayon , et leurs centres O, P, sur la

même horizontale, forment la doucine.

^ Tels sont les élémens bien simples avec les- «fuels les architectes ont composé cette précieuse variété de corniches , de frises , de hases , de chapiteaux qu’on remarque dans les édilices soit anciens soit modernes.

11 ne faut pas croire que la combinaison de ces formes est tout - à - fait arbitraire , et peut se faire au hasard, ou d’après les caprices ir- ^ réfléchis d’une imagination déréglée. L’art de profiler les édifices et leurs diverses parties doit sa perfection à l’observance fidèle des lois de la simplicité, de la variété et du contraste. Au lieu de trop prodiguer les ornements, on doit les grouper par masses que l’œil puisse aisément saisir, et qui soient séparées les unes des autres par de grands espaces tout unis. Dans chaque groupe , on doit opposer les moulures les plus déliées aux plus volumineuses, et les formes droites aux formes rondes; afin que chacune fasse ressortir celles qui l’environnent. Telles sont les règles principales de cette partie de fart d’embellir les monuments : règles que les grands architectes de la Grèce et de l’Italie n’ont pas seids découvertes et mises eu pratique; car on les retrouve employées, avec non moins d’art, dans les beaux monuments de l’antique Égypte, dans les édifices gothiques du moyen âge ; et

(^UATIUÙMK LEÇON. g5

dans les mosquées , dans les palais que les Maures élevèrent eu Espagne , au temps où ils l'aisaient fleurir, eu cette contrée, les sciences et les arts presque anéantis alors dans le reste de l’Europe.

Une application de géométrie, beaucoup plus importante que la décoration extérieure et le profil des ornements, c’est la conception et le tracé du plan même des édifices. Les formes adoptées par les architectes se réduisent presque toutes à celles de la ligne droite et du cercle. Dans quelques cas rares, où ils ont besoin de formes plus compliquées, ils décomposent ces Ibrines en parties circulaires : comme nous l’avons vu pour les voûtes surbaissées. »

Lorsque les architectes ont à construire un édifice dans un espace entièrement libre , ils seraient inexcusables de ne pas adopter del formes régulières , dout la simplicité , l’uniformité, la symétrie plaisent ù la vue, et manifestent l’esprit de sagesse et d’ordre avec lequel l’homme érige ses monuments.

La forme généralement adoptée est celle du ■^rectangle ou du quarré, parce que ces figures se prêtent le plus aisément à des subdivisions de même figure nécessaires pour la distribution intérieure. Ces forrifes n’ont d’autre inconvénient que de s’accorder difficilement avec des contours circulaires intérieurs , «sans perdre de place, et

^ ' üfiOJjLBTBIE. i,

sans fournir de recoins, irréguliers de figure,- et qu’il faille cacher ii la vue. On tire néanmoins parti de ces recoins , eu y pratiquant des escaliers dérobés „ ou des dépôts d’objets qu’il convient de ne pas mettre en. évidence.

Dans les villes où l’espace est très*précieux et très-cher, l’architecte est obligé- de profiter du moindre terrain , et de tracer aussi bien que possible un système d’appartements réguliers; tlans une figure souvent très-irrégulière. C’est efn de pareilles localités que l’habitude de combiner ^ensemble des figures de géométrie pourra servir beaucoup les artistes, et leur faire trouver les combinaisons les plus heureuses.

Il y a des professeurs d’architecture qui croient rendre leurs élèves très-habiles en leur proposant de former des projets d’édifices qui çoûteraienf des millions, et qu’on bâtirait , sans aucune gêne, dans des plaines .imaginaires.. C’est ainsi qu’ils donnent à leurs élèves les goûts d’un luxe ridicule , et leur font acquérir des idées de dépense qui ^ plus tard , coûteut cher aux citoyens! Il vaudrait mieux exercer beaucoup ' l’esprit inventif des jeunes gens, à composer des plans d’édifices, en s’assujétissant â toute l’irrégularité des formes qu’on peut rencontrer au sein des cités où les maisons sont Mfe plus pressées les unes contre les autres.

Digilized by Cooglt

Des figures égales , des figures symétriques et des figures proportionnelles, w

Deux figures sont égales lorsque l’une étant posée sur l’autre , leurs contours se coufoudent exactement dans toute leur étendue.

La géométrie procure aux arts divers moyens d’exécuter une figure égale k une autre. C’est un problème très-importantpour l’industrie, et d’une application fréquente.

Ainsi, lorqu’on doit exécuter des objets de gravure, de sculpture, d’ornement, etc., il faut faire des moules, des modèles dont les dimensions soient parfaitement égales à celles des ol>jets mêmes qu’on veut produire. ' >

Déjà nous avons vu (seconde leçon), qu’au mo^en de parallèles ayant même longueur, on peut facilement construire une figure quelconque égale à une autre, et placée de inanière que les lignes correspondantes dans les deux figures soient parallèles. ^

Cette opération présentera d’autant plus de chances d’erreur que les parallèles à tracer auront plus de longueur, et qu’elles seront plus éloi- T. f. — Géom. ' i3

q8 GÉOUIÜTllIB.

gnces le» unes de» autres.' Il faudra joindre à ce# causes d’erreur, rimperfection plus ou moins •grande des règles, des compas, des cordeaux qu’on emploie pour' mesurer .les ^distances, la taille plus ou moins fine des crayons, des plumes, des tire-lignes, dont on fait usage, etc.

Le moyen même quf, dans beaucoup de cas , sert au géomètre pour s’assurer que deux figures sont, parfaitenwftt égales, sert à l’artiste pour exécuter'mje figure égale à une autre. Je veux parler du moyen qui consiste à poser une' des deux figures sur l’autre , et h voir si , dans cetté position, aucune des deux ’n est dépassée par l’autre, en quelque point que ce soit.

Proposons-nous d’exécuter une figure ABCD...

figure I , sur' une étendue quelconque MNPQ, jfig. I bis, telle qu’une étoffe déployée, une feuille de métal déroulée , etc. Posons la 'figure ABCD... de manière qu’elle se troùve en abed... dan.s MNPQ, fig- I bis; puis, découpons MNPQ suivant les côtés ab , bc, nous aurons

produit la figure abed... nécessairement égale à ABCD.;. .

Souvei>t, au lieu de' découper immédiatement la seconde figure, on tracé au crayon, ou à la craie, ou à l’encre, etc., le contour abcd.\.* en suivant les bords de la première figure. On enlève cette première figure , et l’on taille en uitc plus aisérnent la seconde.