A PARIS

CHEZ CARILIAN-GOEURY, LIBRAIRE

DES CORPS BOYAUX DBS PONTS BT CHAUSSIbs BT DBS MXNB8,

QUAI DB8 AU6USTIN6, H® ^l.

GonsidéuSe géométriquement y la Perspective linéaire est une projection po-* laire à trois dimensions ; cette projection , qui fournit le moyen de ramener sur un seul plan les données et les opérations des problèmes qu'on peut se proposer dans l'espace , considérée jusqu'à ce jour comme une application de la méthode orthogonale , n'a été traitée directement par personne. Cependant , d'après ce qui a lieu en Géométrie plane , il était facile de prévoir, par analogie y que le système de projection polaire appliqué à l'espace pourrait y dans plusieurs circonstances , remplacer avec avantage la méthode orthogonale , et que l'étude de ce nouveau procédé descriptif ajouterait une branche importante À la théorie déjà si féconde des projections.

Nous allons essayer de remplir la lacune que nous venons de signaler , et, favorisés par la rickeflsa du sujet <pxe nous avons à traiter , il ne nous sera pas difficile de prouver que la projection polaire fournit , par elle-même , toutes les conditions nécessaires pour poser et résoudre les problèmes que l'on peut se proposer dans l'espace ; qu'elle marche de pair avec la méthode de projection or^thogonale ; qu'il n'est aucune épure de ce dernier système qu'elle ne puisse reproduire, et, chose remarquable, que la plupart des nouvelles épures sont plus simples et plus générales que les anciennes.

Dans les applications, les deux méthodes offrent une différence qu'il est important de signaler. Les épures de perapective fausant nécessairement image , seront lues avec la plus grande facilité, souvent même par ceux qui n'auraient aucune idée de. Géométrie (i)f mais elles ne donneront pas immédiatement les grandeurs réelles des objets décrits (2) ; tandis que celles de Géométrie orthogonale, qui donneront presque toujours ces grandeurs, ne fourniront pas à beaucoup présides dessins aussi faciles à concevoir.

Il s'ensuit que la première de ces méthodes doit être employée de préférence dans tous les cas où il faut surtout parler aux yeux; la seconde, quand il s'agit d'exécuter les objets qu'elle sert à décrire. L'une est connue sous le nom de Géométrie descriptwe , l'autre prendra celui de Géométrie perspective.

Des démonstrations très élégantes de Géométrie plane ont été récemment û-

(i) Lft penpectWoi quand il s'agit d'objets dont la forme nous est familière , est une ëcriinre tEmÎTerselle qae cfaacon sait lire ssuos ayoir en besoin d'en ^tndier les principes, (a) On pourra néanmoins obtenir ces grandeurs par des opérations graphiques extrêmement simples.

rtfes des propriétés projectives polaires ; nous aurons occasion de prourer les ressources que ces considérations peuvent fournir ne sont pas enocure épi sées. Dans le nouveau système que nous allons développer, une seule figure plane exprimant des propriétés de l'espace , on sent que les vérités géométriqxijes qui dérivent de cette dépendance , peuvent être démontrées d'une manière simple en remontant aux causes qui leur ont donné naissance; de sorte qu'une dé^ monstration se réduira souvent à remarquer que la figure plane dont on s'occupe, est l'épure polaire qui résout un problème connu à trois dimensions.

Une autre considération importante , c'est qu'une projection polaire étant vraie pour toutes les. positions de l*œil , vraie, en ce sens qu'elle représente toujours un spectacle géométrique de même nature , dans lequel , les projections restant les mêmes, il n'y a de changé que les grandeurs angulaireà et linéaires des oI>— jets représentés; il suffît qu'une vérité indépendante de ces grandeurs soit déihontrée dans une figure particulière , pour Vêtre dans toutes les transformations que cette figure peut subir par le changement de Vœil. Les modifications produites dans la perspective d'une même figure, par le changement du plan de projection , entraînent la même conséquence.

C'est ainsi qu'on démontre que certaines propriétés des parallèles ont lieu pour des droites concourant à un même point , quand on ne considère qu'un seul faisceau ; et , pour des droites concourant par groupe» mh* une même ligne , quand il s'agit de plusieurs faisceaux chacun de direction différente, mais tous parallèles à un même plan ; c'est ainsi que certaines propriétés du cercle , considéré comme cas particulier , ont lieu pour toutes les courbes du second degré; propriétés qui s'étendent aussi aux surfaces du second ordre , et qui se démontrent par des considérations analogues.

Nous aurons soin dans le courant de cet ouvrage dindiquer quelques -unes des applications à la Géométrie plane, auxquelles les épures que nous avons à traiter pourront donner lieu ; ces applications seront renvoyées à la fin de chaque chapitre, afin de ne pas interrompre le développement de la théorie.

Notre travail a été soumis à l'Académie des Sciences, qui l'a approuvé dans sa séance publique du 22 août iSaS (i) ; voici quelques passages du rapport des commissaires MM. Fresnel et Mathieu , rapporteur :

« Au moyen des extensions que M. C. apporte à la Perspective ordinaire,

(i) Des Qtconêtnicét ^articulièietf ayamt rsMidë la pnlitfeftiian de «ce Vtémùïtt) l'Avtcor «n ip» prenant qn^il venait de panltré, «n 1&17, utk oavrage aooa le joâsM^titra (Gétunéui^ ffert f M€ i itfe)y par M« le colonel Dnfour, de Genève, a dû craindre ^e aon travail ne perdit PaTaotage de la noaveaauî, car en Mathe'matiqnet il n'est pas rare de se rencontrer qnand on traite le même snjet. La lectnre de l'Onvragelde M. Dafonr a dnsipë ses appréhensions, et il t^tîme faenieiiz de pouvoir, sans compromettre ses droits, rendre nn juste hoawuige à la manière élégante dont M* Dafour modifie les épnres orthogonales pour en présenter la perspective , et. aux hcureases .applications que cet habile ingénieur en a faites à la recherche des. ombres.