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Du Dodécaèdre régulier.
Dérinirion. Le Dodécaëdre régulier (PI. 4) est un polyèdre qui a ses angles égaux et trièdres ; son volume est compris sous douze pentagones réguliers égaux. Ce polyèdre peut être inscrit dans une sphère, et peut lui être circonscrit.
La surface du Dodécaèdre régulier étant développée , donne douze pentagones réguliers égaux; en relevant ces pentagones suivant les côtés communs,et prenant pour base celui rempli par des hachures, il en résultera le relief de ce corps.
La table de la page 9 fournit le moyen de calculer les surfaces et les volumes des Dodécaèdres réguliers.
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De l'Icosaèdre régulier.
Dérmirion. L’Icosaèdre régulier (PI. 5) est un polyèdre qui a ses angles égaux et pentaëdres; il est compris sous vingt triangles équilatéraux égaux. Ce corps peut être inscrit dans une sphère, et peut lui être circonscrit.
Ce polyèdre étant développé, pour obtenir le relief de son volume, on relèvera les faces suivant les côtés communs à deux triangles, en considérant comme base celui ombré par des hachures.
La table de la page 9 donne le moyen d’avoir les surfaces et les volumes des Icosaèdres réguliers.
Les cinq propositions contenues dans le quinzième livre des élémens d'Euclide, traitent des polyèdres réguliers inscrits dans d’autres polyèdres réguliers. Les auteurs modernes n’ont point introduit ces questions dans leurs ouvrages. Pour satisfaire la curiosité du lecteur, je donne comme exemple la plus simple représentation de ce genre.
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Tétraëdre inscrit dans un Hexaëdre.
Instruction sur la manière de plier les plans. (PI.6)
D'abord formez le Tétraëdre en réunissant les triangles autour de celui qui est rempli par des hachures; ensuite faites mouvoir les deux sommets mobiles jusqu'a ce qu'ils soient tous deux aussi élevés, et par conséquent à la mème distance du plan fixe; alors le côté qui joint ces deux sommets devient parallèle à ce plan fixe; enfin, le Tétraèdre étant dans cette situation, relevez les diverses faces de l’Hexaèdre et amenez-les autour du Tétraèdre, de manière que quatre sommets de ce Tétraèdre coïncident avec dite sommets de l'Hexaëdre , ou Cube.
Les cinq poljédres réguliers peuvent donner naissance à d’autres corps dont les faces sont des polygones réguliers de deux espèces différentes ; dans chaque espèce les polygones réguliers sont égaux entre eux. Nous allons en donner un exemple:
Tétrahexaèdre, ou Tétraèdre tronqué.
Si l’on divise en trois parties égales chaque arète d’un Tétraëdre régulier (PI. 1), et que par trois points de division, les plus rapprochés de chacun des trois sommets, on fasse passer un plan; qu’ensuite on enlève chaque petit tétraèdre résultant de l'intersection de chacun des trois plans; et qu’enfin l’on développe ce corps sur une surface plane (PI.3), le rabattement se trouve composé de huit polygones, qui sont les faces du polyèdre, dont quatre triangles équilatéraux égaux, et quatre hexagones réguliers égaux.
Nous avons vu, page 6, qu’il ne pouvait y avoir que cinq polyèdres réguliers; mais il peut y avoir une infinité de polyèdres irréguliers, dont quelques-uns ont recu des dénominations particulières à raison des polygones qui composent leurs faces.
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