SURFACES, SURFACES
Triangle....| 0,433o127 | Heptagone..| 3,6339r22
Quarré. ... : 1,0000000 || Octogone...| 4,8284277 Pentagone ..| 1,7204769 | Ennéagone..| 6,1818227
Hexagone...| 2,5980762 || Décagone. . .| . 7,6942098
Usage de cette Table * pour trouver les volumes des prismes ayant pour bases l’un des huit premiers polygones réguliers. |
* C’est de la valeur du rayon du cercle inscrit que dépend la surface d’un polygone régulier; on trouve ce rayon au moyen de la proportion suivante, employée pour l’un des cas de la résolution des triangles rectangles,
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puisque les rayons du cercle inscrit sont perpendicnlaires sur le “milieu de chacun des côtés des polygones, et que dans cette table h ‘ Pres AO
chaque côté est supposé l’unité; on a,c=—1, d’où == 0,50, et l’angle Lest la moitié de l’angle du polygone ; c’est la seule quantité susceptible de varier dans la proportion, et de laquelle
dépend la valeur de l’inconnue x, rayon du cercle inscrit.
Supposons qu’on veuille déterminer le volume d’un prisme qui aurait pour base un hexagone régulier dont le côté serait de 7 mètres, son quarré de 49 mètres, et qui aurait 24 mètres de hauteur. D’après le premier principe et la première règle ( pages 9 et 10), pour la surface de l’hexagone régulier, on trouvera (25980762) X 49== 127,3057338, multipliant par 24, hauteur de ce prisme, il vient (127,3057338) X 24 — 5055,5376112, pour le volume du prisme hexagonal.
RÈGLE GÉNÉRALE. Pour trouver le volume dun prisme ayant pour base un polygone régulier semblable à l’un de ceux dont la surface est donnée par la table précédente, il faut d'abord multiplier la surface du polygone, fournie par la table, par le quarré du côté du polygone semblable, qui est la base du prisme, puis multiplier ce résultat par la hauteur du prisme.
= » °\ Des pyramides régulières.
Les pyramides ont été définies, page 7 ; nous donnons (PI. 14, 16 et 18) les développemens des trois premières pyramides régulières.
Pour obtenir la représentation d’une pyramide il faut, dans la figure, relever les triangles de manière à ce que leurs bases viennent se réunir autour du poly-
gone régulier qui est ombré par des hachures. |
Le volume d'une pyramide est égal au produit de la surface de sa base par le tiers de sa hauteur.
RèGze GÉNÉRALE. Pour avoir le volume d’une pyramide ayant pour base un polygone régulier semblable
| 23 à l’un de ceux dont la surface est donnée par la table, page 21, il faut d'abord multiplier la surface du polygone, fournie par cette table, par le quarré du côté du polygone semblable, qui est la base de la pyramide, puis multiplier ce résultat par le tiers de la hauteur de la pyramide.
Des troncs de pyramides régulières.
Supposons que les trois pyramides qui ontété considérées soient coupées par des plans parallèles à leurs bases, il en résultera des troncs de pyramides régulières, dont on voit les rabattemens (PI. 15, 17, et19).
Pour obtenir la représentation d’un tronc de pyramide, il faut relever la figure autour de la base inférieure et faire tourner ensuite la base supérieure, jusqu’à ce que les deux bases ombrées par des hachures soient devenues parallèles.
Le volume d'un tronc de pyramide régulière à bases parallèles, est égal à la somme des bases parallèles, augmentée de la moyenne géométrique entre ces deux bases, et multipliée par le tiers de la hauteur du tronc de pyramide *,
Si le tronc de pyramide régulière a pour bases des polygones réguliers, contenus dans la table, page 27, on en déduira, comme ci-dessus, les surfaces des bases.
* Si l’on désigne par H la hauteur d’un tronc de pyramide à bases parallèles, par B la surface de la base inférieure, et par b la surface de la base supérieure, la moyenne géométrique entre les surfaces de ces deux bases sera W/B X 4; pour le volume du tronc de pyramide à bases parallèles on aura donc
(B+0+VBX0)x SH.
Du cône droit.
Le cône droit est un corps arrondi terminé en pointe et ayant pour base un cercle, page 8 : ce corps présente l’aspect d’un pain de sucre.
On peut concevoir que le cône droit soit formé par la révolution d’un triangle rectangle tournant autour d’un côté de l'angle droit supposé fixe; Pautre côté de l'angle droit, qui est mobile, décrit le cercle de la base, tandis que l’hypoténuse engendre la surface latérale du cône droit.
L’axe , ou la hauteur d'un cône droit, est le côté fixe autour duquel le triangle rectangle fait sa révolution.
L’extrémité, ou la pointe, qui termine ce corps se nomme le sommet du cône. |
L’apothème, ou le côté du cône, est la droite menée du sommet à l’un des points de la circonférence de la base; cette droite est donc l’hypoténuse qui engendre la surface latérale d’un cône droit.
Section d'un cône droit par un plan mené suivant l'axe.
La droite EF (PI. 20) est le diamètre du cercle qui est la base du cône; les triangles mixtilignes *, ACB, GIE, représentent le développement de la surface latérale de chaque moitié de cône; les triangles égaux ACD, HIK, sont la section commune à chaque moitié du cône, qui résulte du plan mené suivant l'axe et le
* Cn entend par triangle mixtiligne celui qui a parmu ses côtés une ou deux lignes courbes.
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diamètre EF ; les points L, M, servent de charnières, sur chacune OA se de la fi igure correspondante; enfin le cercle ELFM, base du cône, est la partie fixe autour de laquelle on forme le corps.
Pour avoir la représentation du cône (PI. 20), on relèvera la figure ADCBL sur le demi-cercle ombré ELF, en la faisant tourner suivant le point L, comme charnière; puis on courbera le triangle ACB, jusqu'a ce que l'arc ALB s'applique sur l’arc ELF, dont il est le développement: par conséquent le point A viendra en E, et Ben F; on fera ensuite mouvoir le triangle ACD autour du côté AC, de maniere que la base AD coïncide avec le diamètre EF, qui lui est égal , et le côté DC avec son égal BC; alors une moitié du cône sera formée.
On formera l’autre moitié avec GIKHM, en faisant d’abord tourner le triangle HIK sur le côté HI, jusqu'à ce que HK devienne sensiblement parallèle EF; on relèvera ensuite cette moitié de la figure en la faisant tourner sur le point M, comme charniere, et l’on courbera le triangle GIH jusqu'a ce que l’on amène GenEetHenF, de telle sorte que les côtés IG, IK, égaux entre eux, se réunissent ; enfin les trois côtés CB, CD et IH coiïncidant, ainsi que les côtés CA, IG et IK, il s'ensuit que les points Cet I se réuniront en un seul, qui sera sommet du cône. On obtient ainsi le relief de ce corps.
Section d'un cône droit par un plan parallèle à la base.
Le petit cercle ombré HE (PI. 21) représente la section du cône par un plan parallèle à la base, qui est le grand cercle ombré DB; la figure ADCGEF donne le développement de la surface latérale du tronc de cône, dont la base ombrée DB se trouve être la partie fixe sur laquelle on établit le corps.
On aura la représentation de ce tronc du cône en relevant la figure CGEHFA sur le pot D, comme charnière, et en pliant l'arc DA autour de l'arc DB, dont il est le développement: il s'ensuit que le point À viendra en B; l'arc DC se placera de la même maniére autour du grand arc DB, de sorte que le point C viendra en B pour se réunir au point À ; ensuite rapprochant les points F et G pour faire coïncider les droites AF et CG; faisant enfin tourner le petit cercle HE sur le point E, comme charnière, jusqu’à ce que les trois Points, Get H soient réunis; on formera le tronc d’un cône droit à bases AIME , où l'on yoitque le petitcercle HE est eneffetla section du cône.
Section d'urr (one droit, \ par ur plar parallele a la base.
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