AB:DE::DF:AC

c'est-à-dire qu'ils seraient équivalents si les côtés qui comprennent l'angle égal étaient réciproquement proportionnels.

548. Théorème. Dmix triangles semblables sont entre eux comme les carrés de leurs côtés homologues.

Soient ABC et abc (fig. 171 ) deux triangles semblables. Les angles C et c étant égaux , on a , en vertu de la proposition qui précède ,

ABC : abc :: ACxBC : acx^bc,

La similitude des deux triangles donne la proportion

AC:ac::BC:ô<?.

Multipliant ces proportions terme à terme , on obtient

ABC X AC : aô^X ac :: AC xBC' : ac X *?.

Supprimant le facteur AC commun aux antécédents et le facteur ac commun aux conséquents , il reste

ABC:a6c::BC':6ô\

On démontrerait de même , ou l'on conclurait sans peine de ce qui précède, qu'on a également

ABCiabcv.W'.lïc^ et ABCraftc :: AFrôô*.

Corollaire. Si l'on a AC = 2.ac, il en résulte

ABC : aôc :: 4.âc*:â? ou ::4:l,

c'est-à-dire que si les côtés de l'un des deux triangles sont le double des côtés homologues de l'autre , l'aire du premier est quadruple de celle du second.

Si l'on avait AC = 3 .o^ , il en résulterait

ABC:a6c::9:i,

et ainsi de suite.

Application. Quand on copie sur le papier un Iriangle Iracé sur le terrain, en adoptant réchelle d'un miUlmèlre par mètre , on a AC = 1000. ac, et conséquemment

ABC :a&c:: 1000000:1,

c'est-à-dire que l'aire du triangle tracé sur le papier est la millionième partie de celle du triangle tracé sur le terrain.

162 PftEMiÈa^ PABTIB.

Si Vqp ^Y^lMe en millimètres carrés l'aire d^ petit triangle, en mulUpllant celte aire par iOOOOOO, on aura celle du grand triangle. Remarquons que celte multiplication revient à regarder |es millimètres carrés comme des mètres carrés ; car un mètre valant 1000 millimètres, un mèlre carré vaut 1000 x 1000 milli- ■mètres carrés, ou lOOOOOO de millimètres carrés.

549. Théorème. Le carré oanstruit sur l'hypoténuse d'un trianrgle rectangle équivaut à la somme des carrés construits sur les deux autres eûtes.

Soit ABC (fig. 278) un triangle rectangle en B; et soient ACFB , CBKL , AB6I , les carrés construits sur l'hypoténuse et sur les deux autres côtés. Du sommet de Tangle droit abaissons sur l'hypoténuse la perpendiculaire BD , et prolongeons cette perpendiculaire jus* qu'en H. Le carré AGFE se trouvera partagé en deux rectan* gles ADHE et CDHF.

Le carré ABGI et le rectangle ADHE sont entre eux comme les produits de leurs bases par leura hauteurs , et l'oa a

ABGI:ADHJÎî;iaxAB:AExAD,

ou, en remplagaat AI par soq égal j^, et A£ par sou égal AC ABGl:AD^f;::ÂP:ACx^D. [1].

Or , la similitude des triangles ABD et ABC (204) donne la proportion

AC : AB :: AB : AD , d'où AB*= AC X AD. Dans la proportion [1] les deux termes du second rapport sont donc égaux , et il en résulte que les deux termes du premier le soqt aussi , et que le carré ABGI est équivalent au rectangle ADHE.

On démontrerait de même que le carré BCLK est équivalent au rectangle CDBF. La somme des deux carrés ABGI et BCLK, équivaut donc à la somme des rectangles ADHE et CDHF , c'est-à-dire au carré ACFE.

Corollaire L Les rectangles ADHE et CDHF ayant même hauteur DH , sont entre eux comme leurs bases AD et CD ; mais ces rectangles étant équivalents aux carrés ABGI et BCLK , il s'ensuit que ces carrés sont entre eux comme les segments AD et CD de l'hypo-tentée.

CoROLLAiRB II. Si Ton compare le rectangle ADHE avec le carré ACFE, on voit qu'ayant n^éme hauteur ils sont entre eux comme leurs bases AD et AC, mais on peut remplacer le rectangle ADHE par le carré équivalent ABGI ; on peut donc écrire

ABGI : ACFE:: AD: AC,

c'est-à-dire que le carré construit sur l'un des côtés de l'angle droit est au carré construit sur Vhypoténme , comme le segment de l'hypoténuse a^facent à ce côté est à l'hypoténuse elU^méme.

GtoMÉTBlI PUNË. 15S

RsMARQUE. Nous avoDs déjà, au n" 204, démontré le théorème précédent , à Tégard des carrés des côtés supposés réduits en nombre. Ces propositions s'étendent , comme on devait s'y attendre , aux superficies elles-mêmes dont les carrés de ces nombres sont la mesure.

Elles fournissent le moyen de résoudre plusieurs problèmes utiles.

350. Problèmk. Faire un carré équivalent à la somme de deuos carrés donnés.

Désignons par M et N les côtés des deux carrés donnés. Sur les côtés d'un angle droit, prenons à partir du sommet les longueurs BA = M ( fig. 158) et BC= N ; lirons AC , qui sera le côté du carré demandé, car on aura, en vertu du théorème précédent :

ÂC"=Br + BC' = SÏ"-f N*.

CoROLLAiRS. On pourrait, de la même manière « faire un carré équivalent à un nombre quelconque de carrés donnés. Pour cela, soient M, N, F, Q, etc., les côtés des carrés donnés ; on fera d'abord un carré ? équivalent à la sommb des carrés ]f et N^ ; puis un carré Y , équivalent à la somme des carrés X', et P^ puis un carré?, équivalent à la somme des carrés Y* et Q' ; et ainsi de suite. On aura évidemment

?=T*-f Q'=H'+N*-{-p+12";'et ainsi de suite.

581. Problème. Faire un carré équivalent à la différence de deux carrés donnés.

Désignons par M et N les côtés des deux carrés donnés, et soit M le plus grand. Sur l'un des côtés d'un angle droit ABC ( Bg. 168) prenons, à partir du sommet, une longueur BA = N. Du point A comme centre , avec un rayon égal à M , décrivons un arc de cercle qui coupera l'autre ^côté de l'angle droit en un point C. La longueur BC sera le côté du carré demandé. Car si l'on joint AC, on aura

AC=Br+Bn*, d'où BC=ÂP-BÂ'=JP— N*.

3SS. Problèmb. Fmre un carré qui soit à ^n carré donné comme m est à n.

Les quantités m et n peuvent être des lignes ou des nombres ; A ce sont des nombres , on pourra les remplacer par des lignes qui contiennent chacune une même longueur convenue, autant de fois qu% ces nombres contiennent d'uniiés.

Soit donc M le côté du carré donné. Sur une droite indéfinie, prenez ui^e longueur AB (fig. 279) égale à n, et une longueur BG

16/i PREMIÈRE PARTIE.

égale à m. Sur AC comme diamètre décrivez une demi-circonférence. Au point B élevez la perpendiculaire BD. Tirez DA et DC. Prenez sur DA une longueur DE égale à M. Menez £F parallèle à AC; cette parallèle coupera DC en F. La longueur DF sera le côté du carré demandé.

£n effet , Tangle ADC , inscrit dans un demi-cercle , est droit ; d'ailleurs DB est perpendiculaire sur AC ; on a donc (349, Corollaire I):

DC':ÂD"::BC:BA::w:n.

Mais , les droites AC et £F étant parallèles , on a

DF:DE :: DC: AD, d'où DP: DE':: DP: AD'

Donc, à cause du rapport commun ,

DP: DE' :: m:n.

ou W*:W::m:n.

Corollaire. On peut, par cette construction, faire un carré qui soit le double, le triple, le quadruple d'un carré donné , etc., ou qui en soit la moitié , le tiers , le quart , etc.

Application. Cette construclion peut devenir utile pour la réducUon d'un dessin. Supposons, par exemple, qu'on veuille, par la méthode des carreaux (2S6) , réduire un dessin, de manière que la superficie soit les | de ce qu'elle était d'abord. Après avoir enveloppé le modèle d'un carré quelconque, dont le côté peut être représenté par M comme ci-dessus, on aura à trouver un carré qui soit les i du premier. Dans ce cas particulier, le rapport m : n devra être remplacé par le rapport J : 1 ou 3 : 5. Ayant déterminé DF d'après cette condition, comme nous l'avons indiqué ci-dessus, on construira un carré sur cette ligne , et c'est dans ce carré que devra se faire la copie.

Bemarqde. Dans quelques cas particulier , on peut éviter la construction précédente.

Si ABCD ( fig. 196 ) est le carré donné , et que l'aire du carré demandé doive être le double de celle de ABCD; tirez la diagonale AC, ce sera le côté du carré demandé. Car dans le triangle isocèle rectangle ABC , on a

ÂC'=:ÂB'+BG'=2.ÂF

Ainsi, le carré fait sur AC est le double du carré fait sur AB, c'està-<lire le double du carré donné.

Si le carré cherché doit être le triple du carré donné , soit H le côté de ce carré donné : sur une même droite prenez deux longueurs BD et DC ( fig. 2S0) égales k M. Des points 6 et G comme centres, avec BG pour rayon, décrivez deux arcs qui se couperont en un point A. Joignez AD, ce sera le côté du carré cherché; car, d'après la construction, le triangle ABC est équilatéral , et AD est

GÉOMtTRIE PLANE. 165

perpendiculaire sur BG (177, Rem. IV}; on a donc, en vertu de la remarque II

AD:BD::v/3: 1, ou ÂD":BD*:: 3: 1, c'est-à-dire ÂD':M'::3:1;

le carré construit sur AD sera donc le triple du carré donné.

Si le carré cherché doit être le quadruple du carré donné, prenez le double du côté M du carré donné , ce sera le côté du carré cherché; car son aire aura pour mesure 2M X 2M ou 4M**

Si le carré cherché doit être la moitié seulement du carré donné ABCD (fig. 195), prenez la moitié de sa diagonale AC, ce sera le côté du carré cherché ; car l'aire de ce cairré aura pour mesure

-^ X -â" OU -4" y or » lïous avons vu que AC'= 2AB' ; Taire en ques-

2ÂB* AB* tion sera donc équivalente à — — ou à — ■ , c'est-à-dire à la moitié

du carré donné.

Si le carré cherché doit être le tiers du carré donné dont nous représenterons le côté par M , prenez BC (fig. 280) égal au double de M , et achevez , comme plus haut, le triangle équilaléral ABC. Des points A et B abaissez sur les côtés opposés les perpendiculaires AD et BE. Ces perpendiculaires se couperont en un point 0, la longueur OD sera le côté du carré cherché; car les triangles rectangles BAD etXAD étant égaux, comme ayant Thypoténuse égale et un côté commun , l'angle BAD est la moitié de l'angle BAC, et vaut conséquemment \ d'angle droit. On en peut dire autant de l'angle CBE. Les triangles ABD et OBD sont donc équiangles, et par suite semblables, et l'on a la proportion :

OD:BD::BD:AD, ou ÔD*: BD*:: BD*:Âd';

mais BD' est le tiers de ÂD^, ainsi que nous l'avons rappelé tout à l'heure , donc ÔD* est aussi le tiers de BD* ou de M*. Ainsi le carré construit sur OD sera le Uers du carré donné.

Enfin , si le carré cherché doit être le quart du carré donné dont le côté est M , prenez la moitié de M , ce sera le côté du carré cher-

ché; car 1 aire de ce carré aura pour expression —X -^oxx -j.

5S5. Théorème. Le carré construit sur la somme de deux lignes équivaut au carré construit sur la première ^ plus le carré construit sur la seconde , plus deux fois le rectangle construit sur ces deux lignes.

En effet, soient AB et BC (fig. 281 ) ces deux lignes. Construisons le carré ACGI ; prenons AE = AB; menons EF parallèle à AC, et BH parallèle à AI. Tous les angles de la figure seront droits. Les droites A£ , BD , CF seront égales entre elles , comme parallèles comprises entre parallèles : il en sera de môme des droites AB , ED, m; et comme AE égale AD, les droites AE, BD, CF, ED, IH sont toutes égales à AB.

16e PRÈMlfeRfi l'AltTle.

Les droites £1, 1)H, F6 soiit égales entre elles comme t)arallèles comprises entre parallèles ; il en est de même des droiles BC , DF , HG. D'ailleurs , comme on a AI = AC, puisque ACGI est un carré, et AE==AB,il en résulte AÎ — AE = AC — AB, ou EI = BC. Ainsi les droites El, DH , FG, DF, HG sont toutes égales à BC.

Il suit de là : que ABDE est le carré construit sur AB ; que DFGH est égal au carré construit sur BC; que EDHI est égal au rectangle construit sur AB et sur BC; et qu'il en est de même de BCFD.

Or la somme de ces quatre figures forme le carré ACGI , le carré construit sur la somme AG des deux lignes AB et BC équivaut donc au carré de AB plus le carré de BC , plus deux fois le rectangle con«struit sur AB et BC.

Corollaire. Si Ton remplace ces diverses figures par leur mesure, on obtient :

ÂC'=:ïi*+BC* + 2ABxBC.

Application. Supposons , par exemple , qu'un carré ait 8" de côté, sa superficie sera de 8 x 8 ou 64 mètres carrés. Si l'on augmente son côté de 3">, sa superficie augmentera , d'après le théorème précédent, du carré de 3*", c'est-à-dire de 9~*, plus de deux fois le produit de 8" par 3", c'est-à-dire de deux fois 24*"= ou de 48""^ ; et l'on aura :

et en effet , chacun des deux membres de cette égalité vaut 121""'.

5S4. Théorème. Le carré construit sur la différence de deux lignes équivaut au carré construit sur la plus grande, plus le carré construit sur la plus petite, moins deux fois le rectangle construit sur ces deux lignes.

En effet , soient AB et BC ( fig. 282) ces deux lignes. Construisons les carrés ACKH et ABDE. On aura A£=x AB et AU=AC, d'où

AE— AH=AB— ACouHE=BC.

Prolongeons DE et KH de quantités £F et HG égales à BC , et joignons F6. La figure EFGU sera un carré (S97) égal à celui qui serait Construit sur BC.

Prolongeons CK jusqu'à la rencontre de DE en I ; la droite DB étant égale à AB , puisque ABDE est un carré , le rectangle CBDI est égal à celui qui serait construit sur AB et BC.

On a 1D=BC; mais on a aussi FE — BC; doncFE=ID; donc aussi FI mEDrrr AB; d'ailleurs , FG =HE= BC. Le rectangle GKIF est donc égal à celui qui serait construit sur AB et sur BC.

Or le carré ACKH équivaut évidemment au carré ABDE, plus le carré EFGH, moins le rectangle CBDI, moins encore le rectangle GKIF. Donc le carré construit sur AC, différence des lignes AB et

BG y équivaut au carré construit sur AB^ phu le carré construit sur BC , moins deux fois le rectangle construit sur ÂB et BC.

CoKOLLURB. Si l'on remplace ces diverses figures par leur mesure, on obtient :

ÏC'=ÎB* + BC»— 2ABxBC.

Application Supposons, par exemple, qu'un carré ait 8" de côté, et par conséquent 64""* de superficie. Si Ton diminue son côté de 3", sa superficie, d'après le théorème précédent, augmentera d'une part du carré de 3*, c'est-à-dire de 9"°, et diminuera dé l'autre de deux fois le produit de 8" par 3*, c'est-à-41re de 48«**; et l'on aura:

et en effet , chacun des deux membres de cette égalité équivaut à

3oS. Théobèvs. Le carré du côté'BC (fig. 283 ou 284) opposé à un angle aigu A dans le triangle ABC, équivaut à la somme des carrés des deux autres côtés , moins deux fois le rectangle qui aurait pour base Vun de ces côtés AB et pour hauteur le segment AD déter^ miné par la perpendiculaire Z\^ abaissée du sommet oj^sé.

En effet : on a

dans le cas de la figure 283. . BD=:AB— AD

et dans le cas de la figure 284. . . < . . BDs::AD— AB.

Dans les deux cas, le théorème du n° 354 donne

B]7=ÂB'+ÂD*— 2.ABXAD.

Ajoutant de part et d'autre CD', il vient

BF+CB"=ÂB*+ÂB'+CD*— 2ABXAD;

mais BD*+CD' peut être remplacé par BC'etÂD'+CD'parÂC'; on aura donc

BC'=ÂB*+ÂC'— 2ABXAD;

ce qu'il s'agissait de démontrer.

556. Théorème. Le carré du côté BC (fig. 285) opposé à un angle obtus A dans le triangle ABC , équivaut à la somme des carrés des deux autres côtés, plus deux fois le rectangle qui aurait pour base Fun de ces côtés AB, et pour hauteur le segment AD déterminé par la perpendiculaire CD abaissée du sommet opposé.

En effet, on a BD = AB-j-AD,

d'où BB*«SI'+ÂD*-|-2ABxAD (M5).

Ajoutant de part et d'autre CD* , il vient

BB'+CD*=ÂB'+ÂD'+CD* + 2ABxAD;

mais BB*+ CD' peut être remplacé par BC' et ÂD' + CB* par ÂC* ; on aura donc

BC'=ïff+ÂC'+2ABxAD;

ce qu'il s'agissait de démontrer.

557. Remarque I. En rapprochant les deux théorèmes qui précèdent , on voit que si l'angle opposé au côté que Ton considère est aigu , le carré du côté opposé est moindre que la somme des carrés des deux autres ; et que si cet angle est oblus , le carré du côté opposé est plus grand que la somme des carrés des deux autres.

Il en résulte que, si dans un triangle, le carré d'un côté équivaut à la soinme des carrés des deux autres, on peut affirmer que le triangle est rectangle; ce qui est la proposition réciproque de celle du n*» 340.

588. Remarque II. Le rapprochement de ces deux théorèmes montre aussi que deux côtés d'un triangle restant les mêmes , le troisième est d'autant plus grand que l'angle opposé est plus grand.

En effet, si l'angle aigu À (fig. 283) augmente, les côtés ABet AC restant les mêmes, le point D se rapprochera du point A. Le facteur AD diminuant, la partie soustractive de la valeur de BC* diminuera ; donc BC lui-même augmentera.

Si l'angle devient obtus , d'aigu qu'il était, BC', qui était moindre que la somme des carrés des deux autres côtés , devient plus grand ; donc BC augmente.

Enfin si Tangle obtus BAC (fig. 285) augmente, les côtés ABet AC restant toujours les mêmes, le point D s'éloignera du point A. Le facteur AD augmentant, la valeur deTïC* dont tous les termes sont additifs, augmentera; donc BC lui-même augmentera.

La proposition réciproque est également vraie : deux côtés d'un triangle restant les mêmes, l'angle compris est d'autant plus grand que le troisième côté est plus grand. Supposons , en etîet , que ce troisième côté augmente, l'angle opposé augmentera aussi; car s'il restait le même, le côté opposé ne varierait pas (185), ce qui est contraire à Thypothèse; et si l'angle opposé diminuait, le troisième côté diminuerait aussi, en vertu de la proposition directe , ce qui est également contraire à l'hypothèse.

550. Théorème. Dans tout parallélogramme , la somme des carrés des diagonales équivaut à la somme des carrés des côtés.

Soit en effet ABCD (fig. 286) un parallélogramme; menons les

diagonales AC , BD; par les points C et D menons CI etDH perpendiculaires à âB.

Dans le triangle ADB , le côté DB étant opposé à un angle aigu , nous aurons (5oâ) :

BD'=ÂF+ÂD'— 2ABX AH [1].

Bans le triangle ACB, le côté AC étant opposé à un angle obtus , nous aurons (536) :