AB ABCD EP""ÊFGB

ou ABCD:EFGH::àB:EF.

CoROLLÀiBB. Par un simple changement de noms , on déduit de ce théorème que deux rectangles de même base êont entre euœ etmme leurs hauteurs.

Application. Supposons qu'il s'agisse de recouvrir d'une couche de peinture les murs d'un appartement; pour savoir la quantité relative de couleur nécessaire à chacun d'eux , il faudra comparer leurs superficies; et comme ce sont des rectangles de même hauteur, il suffira de comparer leurs bases. Si , par exemple, l'un des murs a 8 mètres de long, et qu'un autre en ait 5, les quantités de couleur nécessaires pour recouvrir ces deux murs seront entre elles comme 8 : 5.

35fi. TutotJaa. Deux rectangles quelconques sont entre eusf comm^ les produits de leurs bases par leurs hauteurs.

Appelons B la base du premier rectangle , B sa hauteur, A son aire ; b la base du second , h sa hauteur, a son aire. Concevons un troisième rectangle qui ait pour base B , la bfBe du premier rec* tangle, et pour hauteur A, la hauteur du second; appelons S l'aire de ce troisième rectangle. Le premier et le troisième ayant même base, seront entre eux comme leurs hauteurs, et l'on aura

Le troisième- et le second ayant la même hauteur seront entre eux conune leurs bases , et l'on aura

Si l'on multiplie ces deux proportions terme à terme , il vient

8XA:axS::BxH:6XA,

IM PUmftU FAETII.

oa , en sapprimant le (acteur S , commun aux deux termes du premier nq>porty

A:a::BxH:6x*,

ce qui revient à l'énoncé du théorème.

559. CoROLLAïas I. Si le second rectangle se changeait en un carré , ayant pour côté l'unité de longueur, l'aire que nous avons désignée par a serait alors l'unité d'aire , et si l'on nomme u l'unité de longueur, on aurait à la fois (=:iietA = «, et la proportion ci-dessus deviendrait

A:a::BxH:«x«.

On tire de là

^ = Bgl ou ^ = ?X? [1].

Or, -, c'est-à-dire le rapport qui existe entre l'aire du rectangle

et l'unité d'aire , c'est le nombre d'unités d'aire contenues dans l'aire

de ce rectangle ; -, ou le rapport qui existe entre la base B et l'unité

de longueur, c'est le nombre d'unités de longueur contenues dans

cette base; de même - désigne le nombre d'unités de longueur

contenues dans la hauteur H. L'égalité [1] signifie donc que le nombre d'unités d'aire contenues dans l'aire d'un rectangle équivaut au produit du nombre d'unités de longueur contenues dans sa base , par le nombre d'unités de longueur contenues dans sa hauteur, ou , en termes abrégés , que l'aire d'un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Nous retombons sur le théorème du n"" 517. II se trouve ainsi démontré, d'une manière générale , que les côtés du rectangle soient commensurables ou incommensunÂles. Par suite tous les autres théorèmes relatifs à la mesure des aires, qui en ont été déduits, acquièrent la même généralité.

Nous ferons encore remarquer que c'est pour plus de simplicité seulement qu'on a adopté le carré pour unité d'aire. On eût pu choisir un rectangle quelconque, dont la base eût servi d'unité de base et la hauteur d'unité de hauteur.

La proportion A : a :: B X H : bxh

pouvant s'écrire ~ = ? x - ,

si a est l'unité d'aire, b Tunité de base et A l'unité de hauteur, eUe

GfiOHtTRIB PLANE. 157

voudra dire encore que le nombre - d'unités d'aire contenues dans le rectangle à mesurer est égal au nombre -^ d'unités de base con-

tenues dans sa base , multiplié par le nombre r- d'unités de hauteur

contenues dans sa hauteur ; ou que son aire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur,

CoROLLÂnis II. Deux rectangles sont équivalents lorsque le produit de leur base par leur hauteur est le môme.

Si quatre longueurs B, H, 6, A, sont en proportion, de manière qu'on ait B : H :: 6 : A, le rectangle des longueurs extrêmes , c'està-dire le rectangle qui aurait peur base B et pour hauteur A, sera équivalent au rectangle des longueurs moyennes, c'est-à-dire au rectangle qui aurait pour base b et pour hauteur H.

Cette considération sert à résoudre les problèmes suivants :

340. Problème. Étant donné un rectangle ABCD (fig. 273), construire un rectangle équivalent, dont la base soit une ligne donnée EF.

Cherchez une quatrième proportionnelle (158) aux trois longueurs EF, AB et AD, et donnez au rectangle à construire une hauteur EH égale à cette quatrième proportionnelle , on aura

EF:AB::AD:EH; d'où EFxEH==ABxAD.

Ainsi , la mesure du rectangle EFGH équivaudra à la mesure du rectangle donné ABCD ; par conséquent ces rectangles seront équivalents.

341. Problème. Étant donné un rectangle ABCD (fig. 274), construire un carré équivalent.

Cherchez une moyenne proportionnelle (168) entre la base AB et la hauteur AD du rectangle donné , et construisez un carré EFGH qui ait pour côté cette moyenne proportionnelle. On aura

AB:EF::EF:AD, d'où ABxADrrrlF*.

Ainsi la mesure du carré EFGH équivaudra à la mesure du rectangle donné ÂBCD; ce carré sera donc équivalent à ce rectangle.

RehÂrqcb. On nomme en général quadrature le problème qui consiste à chercher un carré équivalent en superficie à une figure donnée. La quadrature d'un rectangle s'obtient, d'après ce qui précède, en cherchant une moyenne proportionnelle entre sa base et sa hauteur.

54«. Problème. Construire un rectangle équivalent à un carré donné, et dont les côtés adjacents fassent une somme égale à une ligne donnée.

Sur ime droite AB (fig. 275), égale à la ligne donnée, comme

158 PBBIOËRB PARTIE.

diamètre , on décrit une demi-circonférence, k rextrémité A de ce diamètre , on élève une perpendiculaire AC égale au côté du carré donné. On mène par le poini C une parallèle à AB ; cette parallèle rencontre la circonférence en un point D. De ce point on abaisse sur le diamètre une perpendiculaire DP. Les deux segments AP et PB satisfont à la question , car leur somme équivaut à AB, c'est-à-dire à la ligne donnée ; et comme DP est moyenne proportionnelle entre ces deux segments (167, CoroU.)) on a:

AP:DP::DP:PB, doù APxPB:^DP=ÏC",

c'est-à-dire que la mesure du rectangle qui aurait AP pour hauteur et PB pour base , équivaut à la mesure du carré qui a pour côté AC, c'est-à-dire à la mesure du carré donné. Le rectangle construit sur AP et PB équivaut donc au carré donné.

Remarque. Soit AC égal à la moitié du diamètre AB, c^est-à-dire au rayon OA ; par le point C menons une parallèle à OA, et par le point 0, une parallèle i KG; ces deux droites se rencontreront en un point D^. Les lignes AC et CD' seront égales comme parallèles comprises entre parallèles ) Oiy sera donc égal à AO , et le point IV sera sur la circonférence. De plus , comme tout les angles de la figure sont droits , Giy perpendiculaire à rextrémité du rayon CD' sera une tangente.

n résulte de Ik que si le côté du carré donné était égalk la moitié de fa ligne donnée , la construction indiquée plus haut donnerait pour les deux cdtés du rectangle cherché les deux segments AO et OB, qui sont égaux entre eux et à AC; le rectangle cherché ne serait donc dans ce cas autre chose que le carré donné lui-même.

Si le côté du carré donné était plus grand que la moitié de la ligne donnée , et égal, par exemple, k AC^, la ligne menée par le point C* parallèlement h AB, ne rencontrerait plus la circonférence, puisqu'elle serait située au delà de la tangente CD'; ainsi le problème serait impossible.

On voit que , parmi tous les rectangles que Ton peut former en faisant varier les côtés adjacents de manière que leur somme reste égale à AB, le plus grand en superficie est le carré construit sur la moitié de AB; ce qu'on exprime en disant que ce carré est un fMuùimum»

543. TflÈoaÈMi. Detia parallélogrammes quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs.

En effet, appelons A et a les aires de ces parallélogrammes , B et 6 leurs bases, H et A leurs hauteurs; nous aurons (320)

A=BxH et a=6xA>

d'où résulte la proportion identique

A:a::BxH:ixA.

CoROLLAiRB. Si Ics hautcurs sont égales, on peut, dans le seoUDd rapport, supprimer d'une part le facteur H, et de l'autre le fiicleur h qui lui est égal, et il reste A : a ;: B : 6; c'est-è-^re que

deux parallélogrammes qui ont même hauteur sont entre < kurs tasei.

On démontrerait absolument de la même manière que deuœp^ rallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Si les bases et les hauteurs sont égales, les parallélognunmes sont équivalents.

REMAftQUi. La quadrature d'un parallélogramme s'obtient comme celle d'un rectangle en cherchant une moyenne proportionnelle entre la base et la hauteur. Car, si B désigne toujours la base, H la hauteur, et que G soit une moyenne proportionnelle entre B et H , on aura:

B:C::C:H, doù t?:==BxH,

c'est-à-dire que la mesure du carré qui a pour côté G , équivaut à la mesure du parallélogramme proposé ; et que , par conséquent , ce carré est équivalent à ce parallélogrammo.

544. Théorème. Tout losange éf[aivaui à la moitié du rectangle construit sur ses deux diagonales.

Car, soit le losange ABCD (fig. 104); la diagonale AC le partage en deux triangles isocèles égaux ABC et ADC. Les deux diagonales étant perpendiculaires entre elles (955) , et se divisant mutuellement en deux parties égales au point 0 , Taire du triangle ABC a pour

mesure —-^ — -, ou - — ^ — . La somme des deux trianglei ABC

et ADC, c'est-4i-dire le losange ABCD, a donc pour valeur le double

• ,, ACxBDxa A ACxBD ,. .

de cette expression , ou j ^, ou enfin — -^ — , et équivaut par conséquent à la moitié du rectangle construit sur les diagonales AC et BD.

Corollaire. Pour obtenir la quadrature d*un losange, il suffit de chercher une moyenne proportionnelle entre l'une des diagonales et la moitié de Tautre.

54i$. L*aire d'un trapèze ayant pour mesure le produit de sa hauteur par la demi-^omme de ses bases , on obtiendrait le côté d'un carré équivalent en cherchant une moyenne proportionnelle entre la hauteur et la demi-somme des bases , ou , ce qui revient au même, entre la hauteur et la droite qui Joint les milieux des côtés non parallèles.

546. Théorème. Deux triangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs.

En effet, si Ton désigne par A l'aire du premier triangle, par B sa base , par H sa hauteur , et par a , 6 , A , les quantités analogues dans le second triangle, on aura (521) :

A=~-^ et «=-jf-i

160 PRBiaÈRB PâBTIE.

d'où résulte la proportion identique

A:a::^:^, ou ::BxH:6xA.

Corollaire. Si les hauteurs sont égales , les deux triangles sont entre eux comme leurs bases. Si les bases sont égaies , ils sont entre eux comme leurs hauteurs. S'ils ont même hauteur et même base , ils sont équivalents : ainsi tous les triangles ACB, AC'B, AG"B, AC^B, etc. (fig. 276), qui ont même base AB, et dont les sommets sont situés sur une môme parallèle à la base, ayant dès lors même hauteur, puisque deux parallèles sont partout également distantes , ces triangles sont tous équivalents entre eux.

REMAaQaB. La quadrature d'un triangle s'obtient en cherchant une moyenne proportionnelle entre sa base et la moitié de sa hauteur , ou entre sa hauteur et la moitié de sa base.

347. Théorème. Deux triangles qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles contfruits sur les côtés qui comprennent cet angle.

Soient ABC et DEF (fig. 277) deux triangles qui ont un angle égal, A=D. Prenons Am = DE, An = DF, et joignons m». Les triangles Amn et DEF seront égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Cela posé, si l'on tire Cm, les triangles AmnetAmC, qui ont même sommet m , et leurs bases An et AC sur une même ligne droite , ont même hauteur , et sont par conséquent entre eux comme leurs bases ; et l'on a :

Ainn:A9nC::An:AC.

Les triangles kmC et ABC , qui ont même sommet C , et leurs bases Am et AB sur une même ligne droite , ont même hauteur , et sont entre eux comme leurs bases ; on a donc :

AmC:ABC::Am:AB.

Multiplions ces deux proportions terme à terme , et supprimons le facteur AmC qui deviendrait commun aux deux termes du premier rapport, nous aurons :

kmn : ABC :: AnxAm : ACxAB,

ou, en remplaçant les quantités Amn, An, Am, par leurs égales DEF,DF,DE,

DEF:ABC::DFxDE:ACxAB, ce qui revient à l'énoncé du théorème.

GÊOUÉTRIE PLAM& 161

Remà&qub. Les deux triangles seraient équivalents si Ton avait

DFxDE=ACxAB,

ce qui revient à la proportion