IH

c'est-à-dire que pour obtenir la longueur de la parallèle , il faut multiplier le carré de AB par m, le carré de CD par n, saouler les deux produits, diyiser la somme par tn + n, et extraire la racine carrée du quotient.

182 PRSMIÈRB PABTIB.

Applicatio». Supposom, par exemple, que l'on allCDsa?-; ABs5-;«iis|;

n=: 5; il viendra:

IH=y 8475 y^T'

ou IH = \/ÏÔ=^=6-,324.

RcMAïQUE. Il est à remarquer que la toluUon ne dépend que de la grandeur dea deux bases parallèles, el nullement de la hauteur du trapèie, ni de TincU* naison des cOlés non parallèles sur les bases.

S81 SI les deux parties du trapèze devaient être équivalentes. Il foudrait faire m= l et n= i, et l'égalité [i] ci-dessus donnerait

HP— Âg+a?

c'est-à-dire que IH est le côté du carré équivalent à la demi-somme des carrée de AB et de CD.

Au point D ( fig. 299) élevons donc la perpendiculaire DF égale à AB; etlow gnons GF, qui sera le cOté du carré équivalent à la somme des carrés de AB el de CD. Sur le milieu L de CP, élevons-lui la perpendiculaire LK égale I CL, el joignons CK, qui sera le cOlé du carré équivalent à la moitié du carré de CF» puisqu'on aura

CK*=cî7+ iS'= 2Ci? =2 (^?y = 2?=?-

Rabattons donc GK sur CD, par un arc de cercle KE décrit du point G comme centre; par le point E, menons EH parallèle à CA; et par le point H, menons m parallèle à CD ; ce sera la parallèle demandée.

383. PaoHLÈiiK. Dtviter un trapiu en parties proportionnêUêM à dts nombres donnés, par des droites qui coupent les deux bases.

Pour tixer les idées, supposons qu'il s'agisse de diviser le trapèze ABGD (flg. 300) en tfi.is parties qui soient entre elles comme les nombres 3,4,5.

Divisez AB en trois parties km, mn , nB, telles qu'on ait Am: mn: nB :: 3: 4 : 5.

Divisez CD en Irois parties Cp^pq, qD, telles qu'on ait

Cp : p9 : 9D :: 3 : 4 : 5.

Joignez mp et nq.

Les trapèzes GpmA, pqnm, qDBn, ayant même hauteur, sont entre eux comme les demi-sommes de leurs bases parallèles (34S), ou, ce qui revient au même, comme les sommes de ces bases elles-mêmes. Or, on a, d'après la manière dont AB et CD ont été divisés,

Aw H- Gp = A AB H- tVCD= A (AB H- CD) TOn + pg=-iSAB-f-ACD=A(AB + CD) nB + «D = J^ AB -h AGD=tV (AB-I- CD).

Les sommes des bases de ces trois trapèzes sont donc entre elles comme les nombres 3, 4, 5. Les trapèzes eux-mêmes sont donc entre eux comme ces nombres.

Corollaire 1. Si les parts devaient être équivalentes , il Diudrait diviser les bases parallèles en un même nombre de parties égales.

Corollaire II. Le même mode de division s'appliquerait évidemment à un parallélograme , ou k un rectangle ; mais il suffirait alors de diviser l'une des deux bases, et de mener par les points de division des parallèles aux cétés adjacents.

384. Problème. Diviser un polygone en parties proportionnelles à des nombres donnés, par des lignes brisées partant de deux sommets du polygone.

GtOXÉniE PLANS. fSS

Soll ÀBGDEF6 (if. SOI) un polygont quelconque , qull s'agit de dtvtier, par exemple , en trois parties qui soient entre elles comme les nombres 8,4,5.

Par les sommets B, G, G, F, D, choisis de telle sorte que les deux sommets restants, A , E, soient les deux sommets les plus éloignés du polygone, menez les parallèles 66, G^, Ce, F/; Dd, dont la direction commune est d'ailleurs arbitraire, pourvu que toutes ces parallèles passent dans l'intérieur du polygone. Divisez chacune d'elles en trois parties proportionnelles aux nombres 3, 4, 5, ces parties se succédant dans le même ordre de grandeur pour toutes les parallèles. Joignez entre eux les points de division et les sommets A, E, ainsi que l'indique la ligure ; le polygone se trouvera divisé conformément ^ l'énoncé. Car les triangles extrêmes ABb, DEd , et tous les trapèzes intermédiaires se trouveront divisés chacun entrais parties proportionnelles aux nombres 3, 4, 6 (376, 3S3}; les sommes des parties analogues seront donc aussi proportionnelles à ces nombres , en vertu des propriétés des suites de rapports égaux.

Corollaire 1. Le même mode de subdivision s'appliquerait avec une approximation suffisante k une figure curviligne quelconque. 11 suffirait de choisir sur son contour une série de points assez rapprochés pour que l'arc compris entre deux points consécutifs put se confondre sensiblement avec sa corde.

On considérerait alors ces points comme les sommets d'un polygone, et l'on opérerait èomme il vient d'être dit, et comme Tmdique la figure a02.

CuBOLLAiic H. Si les parties devaient être équivaienles , il faudrait diviser toutes les parallèles en uo même nombre de parties égales.

3S3. PftOBLÈMB. Diviser un polygone quelconque ABCDEF (flg. 803) en parties ^oponionnelles à des nombres donnés ,'par des droites issues d'un même point intérieur donné 0,

Nous pouvons eneore supposer Ici que le point 0 soit un puits, une fontaine, etc. , où doivent aboutir les différentes portions d'une pièce de terre ABCIMSF quil s'agit départager proportionnellemeut aux droits de plusieurs héritiers. Ici, de marne, l'une des droites de division peut être donnée d'avance par un sentier, une haie, un ruisseau, etc. Dans le cas contraire, on peut prendre la première droite de division arbitrairement. Soit 01 cette droite.

Admettons qu'on ait évalué l'aire du polygone ; il sera facile , par des moyens purement arithmétiques , d'obtenir la valeur des différentes parts. Imaginons un triangle OIG équivalent à la première part, dont nous représenterons l'aire par a. Si OP est la perpendiculaire abaissée du point 0 sur AB, on devra avoir

a=:AGIxOP d'où Gl=^.

Or la longueur de OP peut se mesurer directement; l'aire a est connue ; on peut donc par une simple division obtenir la valeur de Gl.

Le point G éUnt ainsi déterminé, tirons AO ; menons GH parallèle li AO, et joignons HO. Les triangles AGO, AHO, seront équivalents, comme ayant même base AO , et même hauteur, puisque leurs sommets G et H sont sur une même parallèle à la base. Si on ajoute à chacun d'eux le triangle I AO , on aura donc

AGO + lAOsAHO + IAO, ou lOGsrlÀHO,

c'eat-à-dire que la figure 1 AHO équivaudra )i la première part.

Connaissant la seconde part et la longueur de la perpendiculaire abaissée du point 0 sur le côté AF, longueur que l'on peut mesurer directement , on obtiendra par les mêmes moyens que ci-dessus la troisième droite de division. Les autres s'obtiendront pareillement de proche en proche.

U$. 11 pourrait arriver que la parallèle GH ne rencontrât le côté AF qu'au delà du point F. Pour ne point compliquer ce celé de la figure , nous supposerons que le cas se présente en cherchant à obtenir à droite de 01 la dernière des parts cherchées.

iSU PREMIÈBE PABTIE.

Imaginons on triangle OIK équivalent k celte dernière part, dont noua repréaenlerons Taire par b ; on devra avoir

b = }lKxOP; d*où IK=5g.

Le point R étant ainsi déterminé, tirons 06, et menons KL parallèle à OB, qui coupe en L le prolongement du cdlé BC, et joignons OL. Les triangles OBK» OBL, ayant même base 06 et même iiauleur, sont équivalents; en sorte que la figure 016L équivaut au triangle OIK, c'est-à-dire à la part cherchée.

Tirons OC, et menons LN parallèle à OC: les triangles OCL et OCN seront équivalents, comme ayant même base OC et même hauteur, puisqu'ils ont leurs sommets L et N sur une même parallèle à la base. U suit de là que OIBL équivaut à OIBCN, et que 016CN est la part cherchée.

387. I^OBLÈME. Diviser un cercle en parties proportionnelles à des nombres données m, n, p, q, par des droites menées du centre.

Divisez la circonférence en arcs A6, 6C, CD , DA (fig. 304), qui soient entre eux comme les nombres données m, n, p, q, et lirez les rayons OA, 06, OC, OD. On aura

Ces secteurs sont donc entre eux comme les arcs AB, BC, CD, DA, qui leur servent de base , c'est-à-dire comme les nombres donnés.

CoRoixAiRE 1. Pour diviser ainsi un cercle en parties égales, il suffirait de diviser sa circonférence en parties égales, et de mener des rayons à tous les points de division.

Corollaire 11. On diviserait de la même manière un secteur en parties égales ou en parties proportionnelles à des nombres donnés.

388. Problème. Diviser un cercle en deux parties proportionnelles à det nombres donnés m et n, par une circonférence concentrique.

Soient OA (fig. 305) te rayon du cercle donné , 06 le rayon de la circonférence demandée ; il faudra que l'aire «j^u cercle 06 soit à l'aire de la couronne AB , comme m est à n, c'est-à-dire qu'on devra avoir

icxôP'.wxÔÂ*— luxôë*::»!: n, ou, en supprimant le facteur ic, commun aux deux termes du premier rapport,

Ô5":Â(?— 06*:: min.

On en tire , en i^outant à chaque conséquent son antécédent ,

ÔB" : ÔÂ"— ÔB* + Ô6' :: m : w + n, ou simplement 06* : OÂ* iimim-hn.

La question est donc ramenée à chercher le cdté d'un carré dont Taire soit à celle d'un carré donné ÔÂ*, comme le nombre m est au nombre m-^n (3SS).

Corollaire 1. S'il s'agissait de diviser ainsi un cercle en deux parties équivalentes, il faudrait supposer m=:n= i ; la proportion ci-dessus deviendrait alors

55*:ÔÂ"::i:î,

c'est-à-dire que 06 devrait être le côté du carré qui a pour diagonale OA. Pour obtenir 06, il faudrait donc, sur le milieu C de OA, élever une perpendiculaire CD égale à OC, et joindre OD, qui serait le rayon de la circonférence demandée.

Corollaire II. Les aires des secteurs semblables étani entre elles comme les carrés de leurs rayons , U Caudrait opérer de même pour diviser un secteur en deux parties équivalentes, ou en deux parties proportionnelles à des nombres donna, par un arc concentrique.

389. On peut diviser un cercle en parties équivalentes par des demi-circonférences, ayant leur centre sur un même diamètre.

Soit AF (fig. 306) le diamètre d'un cercle dont on veut diviser la superflcie en S parties équivalentes , par exemple. On divise AF en 5 parties égales , aux pointe B , C , D , E. Au-dessus du diamètre AF, on décrit des demi-circonférences, ayani respectivement pour diamètres AB, AC, AD, AE. Au-dessous du diamètre AF, on décrit des demi-circonférences, ayant respectivement pour diamètres EF, DF, CF, BF. Le cercle se trouve divisé en 5 espaces curvilignes équivalents.

En effet, si l'on appelle a l'aire du demi-cercle AmB, celle du demi-cercle AnG sera 4a, puisque les aires des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs diamètres , et que AC est le double de AB. Par une raison semblable , l'aire du demi-cercle ApD sera da, celle du demi-cercle A^E sera 16a, et celle du demicercle ArF sera 26a. Il en résulte

que l'espace AmBCnA vaut 4a— a ou 8a

AnCDpA «a— 4a ^

ApDE^A 16a— 9a 7a

AqEFrA 2&a — 16a 6a

On Terrait de la même manière

que l'espace F*ED(F vaut 8a

F(DCt«F Sa

FttCBvF la

FvBkxF 9a

Par conséquent , l'espace AmBvFâ^A , qui est )a somme de l'espace FvBXxf et du demi-cercle AmB, vaut 9a + a ou 16a.

L'espace AnCiiFTBmA, qui est la somme des espaces Fi«CBvF et AmBCfiA, vaut 7a+ 3a , ou 16a.

L'espace ApDfFuCnA, qui est la somme des espaces FtDCuF et AnCDpA, vaut 5a 4- 5a, ou lOa.

On Terrait, en continuant ainsi, que chacun des deux autres espaces est aussi équivalent à 10a. Tous ces espaces sont donc équivalents entre eux.

Reharqub. D'après ce que nous avons dit dans le corollaire du n* S93, les contours des espaces équivalents que nous venons de considérer sont tous égaux entre eux.