CHAPITRE PREMIER

mt LÀ LIQIIB DROITS BT DU HJkM EH cAllteAL.

500. n résulte de la définition que nous avons donnée de la ligne droite et du plan, que si une droite a deux de ses points dans un plan, elle est tout entière dans ce plan. Si, par exemple, on marque deux points sur une surface plane, et qu'on applique contre ces deux points le bord d'une bonne règle , ce bord coïncidera dans toute son étendue avec la surface plane.

n'suit de là qu't^n^ droite ne peut rencontrer un plan en plus d'un point, à moins d'être tout entière dans ce plan,

501. Deux points, A etB(fig. 308), suffisent pour déterminer une ligne droite; on peut, au contraire, imaginer une infinité de surfaces planes différentes , auxquelles ces deux points appartiennent, et qui toutes contiendraient la droite ÀB, déterminée par ces deux points. Deux points ne suffisent donc pas pour déterminer un plan. Mais si on l'assujettit à passer en outre par un troisième point C , pris au dehors de la droite ÀB qui contient les deux premio^, ce plan sera entièrement déterminé ; car on peut concevoir qu'après avoir fait passer un plan quelconque par les deux points A et B , on fasse tourner ce plan autour de la droite AB, jusqu'à ce qu'il vienne passer par le point C : sa position sera dès lors tout à &it fixée. C'est, pour nous servir d'une comparaison grossière, ce qui arrive à un battant de porte : les gonds figurent deux points fixes par lesquels la surface vient constamment passer, quelle que soit la position qu'on lui donne; et pour fixer cette position, il suffit d'à-

GÊOMÊTBIB DANS L'ESPAGS. 189

mener la surface à passer par un troisième point , par exemple par la gâche où s'engage le pêne de la serrure.

Ainsi , trois points , non en ligne droite, déterminent un plan.

On pourrait en conclure immédiatement la proposition qui va suivre; mais comme elle est fondamentale, il ne sera pas inutile d'en donner une démonstration directe.

302. Théorème. Deux plans qui ont trois points communs, non en ligne droite , coïncident dans toute leur étendue.

Soient À, B, C (fig. 308), trois points non en ligne droite; et supposons , s'il est possible , qu'ils appartiennent à deux plans distincts , que nous appellerons M et P pour faciliter le discours. Si par les deux points À. et B on fait passer une ligne droite , d'après ce que nous avons dit plus haut, elle sera tout entière dans le plan M ainsi que dans le plan P. Si par les deux points A et C on fait passer une ligne droite , elle sera aussi tout entière dans ces deux plans.

Cela posé 2 soit D un point quelconque du plan M. Dans ce plan, menons par le point D une droite £F, qui coupe AB ou son prolongement en un point E , et qui coupe AC ou son prolongement en un point F. La droite £F ayant deux de ses points, £ et F, dans le plan P, sera tout entière dans ce plan. Le point D appartient donc au plan P; et comme ce point D est un point quelconque du plan M, le raisonnement précédent prouve que tous les points du plan M appartiennent au plan P. On démontrerait de la même manière que tous les points du plan P appartiennent au plan M. Ces deux plans ont donc tous leurs points communs, et coïncident par conséquent dans toute leur étendue.

593. Deux droites qui se coupent, AB, AC (fig. 308), déterminent un plan; car, si Ton prend sur chacune d'elles les points B et C, ces points, avec le point de rencontre A, détermineront un plan, et ce plan contiendra les deux droites AB et AC, puisque chacune d'elles y a deux points.

304. Si l'on imagine qu'une droite quelconque £F se meuve sur les droites AB et AC sans cesser de les couper, pendant tout ce mouvement la droite £F demeurera tout entière dans le plan déterminé par les droites AB et AC, puisqu'elle ne cessera pas d'y avoir deux points; si donc cette droite laissait des traces de toutes ses positions successives, la réunion de ces traces formerait le plan même dont nous parlons. C'est ce qu'on exprime en disant que ce plan serait engendré par le mouvement de la droite £F sur les deux droites AB et AC.

Appugatioiis. I. On réalise ce mode de génération du plan dans la fabrication des tuiles plates , des briques, des carreaux. Le moule dont on fait usage est une petite caisse en bois : Touvrier la remplit de terre molle un peu au-dessus des bords; U MX alors glisser le bord d'une règle sur deux bords conligus de

ta caliM ; la règle , dans ce mouvement , enlèye tout ce qut dépasse le moule ,

el la surface ainsi obtenue est plane» puisqu'elle est engendrée par le mouvement d'une droite sur deux autres droites qui se coupent.

H. Lorsqu'un charpentier veut scier transversalement une pièce de bois équarrie , il trace , à partir d'un point marqué sur l'un des bords de la pièce , deux droites sur les deux faces eontigues à ce bord; il fait ensuite mouvoir la scie de manière que son trancliant vienne toujours passer par les droites ain^ tracées. Dans ce mouvement la scie produit une surface plane, puisque cette surface peut être considérée comme engendrée par le mouvement d'une droite sur deux autres droites qui se coupent.

111. Les tailleurs de pierre ont recours à un procédé analogue lorsqu'ils ne peuvent point faire usage de la scie : ils enlèvent avec le ciseau tout ce qui dépasse le plan de deux droites qu'ils ont préalablement tracées , et vérifient au tar et ^ mesure que la surface obtenue est plane, en y appliquant le bord d'une règle , dans tous les sens.

La détermination des surfaces planes au moyen de deux droites qui se eoupeot est mise à profit dans presque tous les arts mécaniques.

595. Considérons deux droites AB et ED (fig. 309), placées d'une manière quelconque dans Tespace. Par deux points A et B de Tune, et un point C de l'autre , faisons passer un plan illimité. Il pourra arriver que la droite ED n*ait que le seul point C commun avec ce plan , en d'autres termes qu'elle perce ce plan au point C. On sera assuré alors qu'il n'existe aucun plan qui puisse contenir à la fois les deux droites AB et ED ; car si un tel plan existait, il se confondrait avec le plan ABC , puisqu'ils ont trois points communs ; or, le plan ABC ne contient, par supposition, que la droite AB; la droite ED le perce et n'y est point contenue.

Les droites AB et ED , qui ne peuvent appartenir à un même plan , pourraient être prolongées indéfiniment sans jamais se rencontrer; car si elles se rencontraient, elles détermineraient un plan (595). Cependant ces deux droites ne sont point parallèles ; la définition que nous avons donnée des parallèles dans la Géométrie plane suppose implicitement que les droites comprises sous cette définition sont situées dans un même plan.

596. Deux parallèles déterminent un plan; cela devient évident d'après les remarques qui précèdent. Par deux points de l'une des parallèles, et par un point de l'autre , faisons, en effet, passer un plan, ce plan devra contenir les deux droites; car si la seconde ne faisait que le percer, les deux droites ne pourraient appartem'r à un même plan , et ne seraient par conséquent point parallèles.

597. Si l'on imagine qu'une droite quelconque se meuve sur deux parallèles , sans cesser de les couper, pendant tout ce mouvement elle demeurera tout entière dans le plan déterminé par les deux parallèles, puisqu'elle ne cessera pas d'y avoir deux points; si donc cette droite laissait des traces de toutes ses positions succesaivea , la réunion de ces traces formerait le plan môme dont nous

GÈOUÈna DANS L'B8PAG£. 191

lMirl<ms ; ce plan peut donc être considéré comme engendré par le mouvement de cette droite.

Avpucàtions. I. On réalise ce mode de génération dam plusieurs industries. Nous pouvons reproduire ici l'exemple déjà cilé des tuiles plaies, des carreaux et des briques. Les bords supérieurs de la caisse qui sert de moule forment un rectangle ABCD (flg. 310); l'ouvrier, pour enlever l'excès de terre el rendre plane la surface sur laquelle il opère , ait d'abord glisser la règle sur les deux bords contigus AB et AD ; elle continue à glisser sur les bords parallèles AB et DG, et achève sa route sur les deux bords contigus hC et BC. La surface plane se trouve donc déterminée, d'abord par deux droites qui se coupent , ensuite par deux droites parallèles, et finalement par deux droites qui se coupent Les trois portions de surface plane ainsi obtenues ne font qu'une seule et même surface plane, parce que les droites AD et BC sont dans le plan déterminé par les parallèles AB et D€ , puisqu'elles y ont chacune deux poinU.

II. Les scieurs de long, pour se guider dans leur travail, tracent une ligne droite sur la face supérieure de la pièce à débiter, et une parallèle à cette droite sur la face inférieure $ ils font ensuite mouvoir la scie de manière que son trancbant passe constamment par les deux parallèles ; les surfaces ainsi obtenues sont planes , puisqu'elles peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement d'une droite sur deux autres droites parallèles.

ill. Le même procédé s'emploie dans la coupe des pierres : si l'ouvrier ne fait point usage de la scie , il enlève avec le ciseau tout ce qui dépasse le plan des deux parallèles, et vérifie avec la règle que la surface obtenue est plane.

lY. C'est en vertu du même principe que, pour rendre plane la surface d'une toile sur laquelle on veut dessiner ou peindre , on tend fortement celte toile, dans le sens des fils qui forment la chaîne , sur deux des bords parallèles d'un cbâssis rectangulaire, et, dans le sens des fils qui forment la trame, sur les deux autres bords parallèles du même châssis. Chaque système de fils tendus dans leur longueur sur deux droites parallèles , forme une surface plane.

On rend également plane la surface d'une feuille de papier, en la collant mouillée sur les bords d'un cadre rectangulaire ; en séchant elle s'étend de chaque bord au bord opposé, qui lui est parallèle, et devient ainsi parfaitement pJane.

Dans presque tous les arts mécaniques, on fait usage des parallèles pour la détermination des surfaces planes.

308. Théohèmb. L'intersection de deux plans est une ligne droite.

En effet, rintersecfion de deux surfaces ne peut être qu'une ligne ; celle de deux plans ne peut être qu'une ligne droite ; car s'il s'y trouvait seulement trois points qui ne fussent pas en ligne droite, les deux plans coïncideraient dans toute leur étendue , en vertu du théorème du n^" 593.

Applications. 1. Les menuisiers se fondent sur ce principe pour dresser le bord d'une règle. Après avoir rendu plane la plus large face de la règle, ce qu'ils obUenaent au moyen du rabot, et en plaçant de temps en temps l'œil dans le prolongement de cette face pour s'assurer qu'elle n'offre aucune partie saillante, qui, dans celte position . deviendrait appréciable, ils n'ont plus qu'à rendre également plane la petite face de la règle conligue îi la première -, le bord de la rHIe , qui est nntersectlon de cet deux faces planes , est nécessalnmtni uoa Ugaa droite*

II. Supposons qu'une bougie allumée soil placée sur une table rectangulaire ABCO (flg. 311 ) dans l'inlérieur d'un apparlement ; tous les rayons lumineux , partis de la flamme de la bougie , qui viendront raser un même bord kB de la table , seront dans un même pian. Si le bord dont nous parlons est placé assez près d'une muraille pour que son ombre s'y projette , la ligne de sépann tion ah entre l'ombre et la partie éclairée sera TintersecUon du plan de la muraille avec le plan des rayons dont nous parlons. Celte ligne de séparation sera donc une ligne drotle , quelle que soit la direction que Ton donne au bord de la table ; et c'est ce qu'on observe , en effet, lors même que la muraille a une position inclinée , comme cela arrive dans les mansardes.

m. Le problème général de la perspective consiste à représenter sur une surface plane la forme apparente des objets que nous avons sous les yeux ; et comme nous rapportons les objets dans la direction des rayons visuels menés de notre œil à ces objets, le problème se réduit k trouver rintersecUon de ces rayons visuels avec la surface sur laquelle les objets doivent être représentés, et que Ton nomme le plan du tableau, lorsqu'elle est plane, ce qui est le cas ordinaire.

Tous les rayons visuels menés de notre œil aux différents points d'une même ligne droite, telle que le bord d'une corniche, d'un toit, etc. , sont dans un même plan. Leur intersection avec le plan du tableau doit donc former une ligne droite ; c'est-à-dire qu'une ligne droite reste droite en perspective, quelle que soit d'ailleurs sa position. Si, par exemple, MN (fig. 312) représente le plan du tableau , 0 rœil du spectateur, A , 6 , C , D , différents points d'une ligne droite AD, et a, &, c, d, les Intersections respectives des rayons visuels OA, OB, OC, OD avec le plan du tableau , ces intersections seront en ligne droite, et la droite ad sera la perspective de la droite AD.