I. Toute ligne droite reste droite en perspective

II. Toute droite parallèle au plan du tableau reste parallèle à elle-même en perspective.

III. Les droites parallèles entre elles, mais qui ne sont point parallèles au plan du tableau, concourent en perspective ; el pour obtenir leur point de concours, il faut par l'œil du spectateur mener une droite parallèle aux premières et la prolonger jusqu'à la rencontre du plan du tableau«

lY. Enfin, toute droite qui passe par le pied du spectateur est Terticale en par* spective.

Soit XY (fig. 602] la ligne de terre, c'est-à-dire Tintersection du plan du tableau avec le plan horizontal de projection. Soient 0 et P les projections de Tœil du spectateur. Joignons OP qui coupera XY en H ; prenons Hm et Hn égaux à HP; joignons Pm el Pn. Elevons les verticales mD et nD', et menons par le point 0 une parallèle DIV à la ligne de terre.

Le point 0 est le pied de la perpendiculaire abaissée de Tœil du spectateur sur le plan du tableau ; si Ton imagine , par conséquent, au delà de ce tableau une droite quelconque qui soit perpendiculaire au plan de ce tableau, en vertu du principe 111, sa perspective passera par le point 0. Ce point se nomme \e point de vue, el la droite Diy menée par ce point parallèlement à la ligne de terre se nomme la ligne d*horixon ou simplement Vhorison,

Les droites OD et Pm sont les projections d'une droite menée par l'œil du spectateur parallèlement à Pm (S09); et d'après la construction, le point D est la trace verticale de cette droite (840). D'après le principe déjà cité , si Ton imagine au delà du tableau une droite parallèle à Pm, sa perspective passera par le point D. On ferait voir de même que si une droite est parallèle à Pn , sa perspective passera par le point IV. Les points D et ly se nomment les points de distance, parce que les distances OD et OW sont égales à PH , c'est-à-dire à la distance de l'œil du spectateur au plan du tableau.

Remarquons que le irianglePHm étant isocèle rectangle, l'angle HmP vaut 45*; H en est de même de l'angle HnP. Remarquons en outre que , si une droite est parallèle à Pm ou à Pn, et que par un point de cette droite on mène une parallèle à XY, l'angle compris sera égal à HmP ou à HnP (428) , c'est-à-dire vaudra 45*.

Ce que nous venons de dire se résume donc dans ces deux lois générales, qui

suffisenl à elles seules pour résoudre la plupart des problèmes ordinaires de la perspective :

Si une droite est perpendiculaire au plan du tableau, sa perspective va passer par le point de vue.

Si une droite fait avec la ligne de terre (ou avec une parallèle à la ligne de terre) un angle de 46^ sa perspective va passer à Vun des deux points de distance.

Voyons maintenant le parti qu'on peut tirer de ces deux lois.

Remarque. Les divers points dont nous aurons à cherclier la perspective étant situés derrière le plan du tableau , leurs projections horizontales seront situées au-dessus de la ligne de terre (oOé), c'est-à-dire précisément dans l'emplacement destiné à la perspective demandée. Pour éviter cet inconvénient, nous reporterons dorénavant la ligne de terre parallèlementà elle-même au delk des projections données , atin de pouvoir exécuter à part les constructions relalives aux données du problème , et celles qui se rapportent à la perspective demandée.

738. Problème. Mettre en perspective un point situé sur le plan honjKotitoi de projection.

Soit M [fig. Ô63) le point donné. Abaissons MA perpendiculaire sur XY ; rabattons MA en BA par un arc de cercle ; reportons les points A et B en a et 5 par des perpendiculaires li ^ry. La droite AM étant perpendiculaire au plan du tableau , sa perspective sera une droite aO dirigée vers le point de vue. La droite BM élant inclinée de Ab^ sur XY, puisque MAB est un triangle isocèle rectangle, sa perspective sera une droite 51) dirigée vers le point de distance; la perspective du point M est donc l'intersection m des droites aO et bD.

739. Problème. Mettre en perspective un polygone ABGDE (fig. 5G4) situé sur le plan horixontal de projection,

11 sufilt de répéter pour chaque sommet la construction que nous venons d'iudtquer, et de joindre les points obtenus par des droites. Le polygone abcde qui en résulte est la perspective du polygone proposé.

74#. Problème. Mettre en perspective un cercle situé sur le plan horixontal de projection (fig. 565).

Circonscrivez au cercle un polygone régulier. Mettez en perspective ce polygone, ainsi que les points de tangence, et tracez à la main une courbe qui passe par les perspectives de ces points de tangence et soit tangente aux côtés du polygone perspectif. Cette courbe sera la perspective du cercle projiosé.

Remarque. Quand le cercle proposé n'a pas de trop grandes dimensions, il suffit de lui circonscrire un hexagone régulier ; et si on le place , comme nous l'avons Tait dans la figure, de manière que deux de ses c6tés soient parallèles à la ligne de terre, il en résulte plusieurs simplifications que l'on découvrira sans peine.

Quand le cercle proposé est très-petit, on se contente de lui circonscrire un carré.

741. Problème. Mettre en perspective un parquet composé de carrés (fig. 56C). Toutes les lignes parallèles à XY resteront parallèles sl xy en perspective.

Toutes les lignes perpendiculaires à XY iront en perspective concourir au point de vue. La droite AC qui fait avec XY un angle de 45* ira en perspective passer par le point de distance. Pour obtenir la perspective demandée, il faut donc : par tous les points de division de ah mener des droites au point de vue; par le point a mener une droite au point de distance ; et par les points où cette dernière droite rencontre les premières, mener des parallèles à ab,

742. S'il s'agissait de mettre en perspective une figure située dans un plan horizontal quelconque , connaissant la hauteur de ce plan au-dessus du plan horizontal de projection, on se donnerait sa trace verticale (sur le plan du tableau-, et Ton répéterait les constructions précédentes en se servant de cette trace

omnme de la ligne de terre. La figure 567 représente la perspective d'un plafond obtenue de cette manière : ap est la hauteur du plafond.

143. Problème. Mettre en perspective une pyramide régulière à hâte carrée (flg. 568).

Supposons que sa base ABGD ait deux de ses cdtés parallèles à la ligne de terre. Mettons cette base en perspective , ainsi que la perpendiculaire PM abaissée du pied P de son axe sur la ligne de terre. Aux points m et p élevons des verticales. Prenons mS égal à la hauteur de la pyramide ; par le point S menons une droite au point de vue, le point où elle rencontrera la verticale du point p sera la perspective s du sommet de la pyramide , et Ton n'aura plus qu'à joindre «t», sb^se, sd. En effet : t« l'axe de la pyramide étant vertical, la perspective de cet axe est verticale aussi ; 2* les droites SO et mO étant les perspectives de deux droites parallèles , ps est la perspective d'une droite égale à mS , c'est-à-dire à la hauteur de la pyramide.