IL. Pour la sphère a = b=B d'où S$ — IT (2ax—x

III. Pour un hyperboloïde à 3 axes inégaux et à 2 nappes, les axes des ellipses parallèles sont ordonnées d'hyperbole (ordonnées au

BAILLAIRGÉ. 19

ve L

ler axe) ; or dans une hyperbole y —— Raxt+x 2), au reste le

raisonnement serait le même que dans r'ellfpéoide et on arriverait à

S=rx M ax + x?) S'il s’agit de l'hyperboloïde à une nappe, il vaut mieux ie pe A .

bz (N. B. lei A et a sont les premiers axes des “0-2 IV. Si les deux hyperboloïdes précédents étaient de révolution b=Bet À = a et ainsi

abscisses à partir du centre, et on trouve que S8=7 x °° x (b 24 x ?,

2 ds 8= =? Gax+x ge Tt h?+x?

a 2 V. Dans une parabole l'équation des ordonnées est y 2 = px et

pour le paraboloïde elliptique

S=%ypxx VPx = 7 xV P p, tandisque pour le paraboloïde de révolution S = 7, p. x

VI. Si les solides précédents étaient tronqués par des plans perpendiculaires à l’axe, il y aurait tout au plus à remplacer dans les expressions des $, (x nar x + une quantité constante,) et le degré de l'expression ne dépasserait pas le deuxième.

VII. Si c'était par des plans également inelinés sur l’axe, il y aurait un léger changement dans les facteurs constants venant de ce que les axes des ellipses parallèles seraient non plus des ordonnées aux axes mais bien des ordonnées aux diamètres. Comme dans la parabole, l’ellipse et l’hyperbole, l'équation aux diamètres est tout-àfait semblable à celle aux axes, on peut conclure immédiatement que même les troncs à bases également obliques à l’axe peuvent être cubés par la formule.

Si je voulais m'assurer, dans un cas pratique, qu’un corps supposé être un elipsoïde tronqué, en est r n véritable, et peut être eubé par la formule, la première chose à faire *erait de le compléter par la pensée.

Pour que le solide ainsi complété puisse être cubé exactement, il faudra nécessairement que les ? directrices à angle droit, ainsi prolongées, soient 2 courbes de même espèce ; i-e, ? demi-circonférences, une demi-circonférence et une demi-ellipse, ? demi-ellipses, 2 demi-hyperboles, ou enfin ? demi-paraboles : car si l’un était une demi-hyperbole et l’autre ne demi-parabole, les ? quanüités r, r’ ne seraient plus 2 radicaux semblables, et leur produit r r' resterait irrationnel.

Mais il ne suffit pas que ce soit 2 courbes de même espèce ; il faut encore que l'axe des 2 directrices prolongées coïncide avec celui

du solide : sinon le corps ne saurait être eubé exactement par la formule stéréométrique. En effet en se reportant à la démonstration ci-dessus, r etr’ se composeruient de 2? termes, l’un rationnel et l’autre radical, de sorte que le produit rr’ demeurerait irrationnel.

Il y a cependant une exception, quand r et r’ sont l’un la somme et l’autre la différence des deux mêmes quantités : car en vertu du principe (a + b)(a—b) = pb 4 le produit rr’ deviendrait certainement rationnel.

On peut se convaincre aussi qu'un corps dont les 2 directrices seraient par exemple 2 demi-circonférences, ayant leur convexité tournée vers l’axe du corps ne pourrait être eubé exactement par la formule : car, pour cette hypothèse, il faudrait changer, dans lu démonstration ci-dessus, les x en y et les y en x, ce qui donnerait pour valeur de 8, un radical.

Tout revient done à dire 1° que les deux directrices à angle droit doivent être des courbes de même espèces, lesquelles com plétes s’il le faut, aient leur sommets au même point ; 2° que l’axe de ces 2 courbes coincide avec l’axe du solide.

Entre parenthèse, pour le cas exceptionnel de tout à l'heure, il faut 1° que les directrices soient deux arcs identiques et 2° que les axes de ces arcs soient placés à la même distance de l’axe du solide, l’un en deça et l’autre au-delà, par rapport aux directrices.

Il est aisé de conclure que, en pratique, à moins de savoir d’avance qu’on à à cuber v. g. une sphère, un ellipsoïde, ou des trones de ces corps, il serait extrêmement long et difficile de constater

1° l'espèce de courbe à laquelle appartiennent les 2 directrices et

2° la position de leur axe.

Ainsi il est beaucoup plus simple de supposer le corps à cuber partagé en un certaii nombre de tranches de manière que le côté courbe soit sensiblement une ligne droite, Ces tranches, à la manière des cônes tronqués, se cuberont très promptement par la formule stéréométrique.

C’est d’ailleurs la seule ressource pour tous les solides que la formule stéréométrique ne pourrait pas euber d’un seul coup. La même remarque s'applique a fortiori aux solides terminés latéralement, partie par des plans, et partie par une surface courbe,

De ce que, en pratique, la formule stéréométrique ne peut pas donner, d’un séul coup, le volume exact de certains corps, il ne faudrait pas en tirer un argument contre cette formule ; et cela pour la raison bien simple, que, dans ces cas, le toisé du corps en bloc est impossible. Et si dans quelques cas excessivement rares, il existe certaines formules très compliquées, pratiquement elles donneront un résultat moins exact que la formule stéréométrique.

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Jusqu'à présent, un certain nombre de corps se toisaient par des formules faciles ; d’autres se toisaient par des formules très compliqués ; pour d’autres enfin, il fallait les partager mentalement en différentes parties, ou bien on en était réduit à des approximations ; or la formule stéréométrique s'applique avec avantage dans tous ces cas,

1° Elle est aussi facile à retenir que l'une quelconque des anciennes formules élémentaires.

2° Elle est d’une application beaucoup plus simple qu’une foule d’autres,

3° Elle peut lutter très avantageusement avec toutes les autres par sa grande exactitude, suivant les cas : la démonstration et la discussion précédentes ayant pour but de montrer les conditions dans lesquelles le résultat est rigoureusement exact afin de mieux indiquer la route à suivre pour résoudre certains problème d’une manière satisfaisante.

Revp. N. MAINGut, Professeur de Mathématiques au Séminaire de Québec.

(Extrait d'un journal de Paris.)

TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

Nouveau système de toiser tous les corps, quelles que soient leurs formes, par une seule et même règle; par ©. BAILLAIRGE, Architecte, ete., à Québec (Canada.)

M. C. Baillairgé, architecte du gouvernement à Québec (Canada), nous à adressé un tableau qu’il appelle stéréométrique.

Ce tableau, espèce d’armoire, contient deux cents petits solides en bois, affectant deux cents formes différentes, sphères, demi-sphères, segments, cônes, troncs de cônes, pyramides, troncs de pyramides, polyèdres les plus variés, onglets, ete. ; —enfin figurant toutes les formes élémentaires de solides qu’on peut rencontrer dans les arts, la construction et la nature.

M. C. Baillairgé donne, inscrite en tête de ce tableau, pour trouver le volume d’un de ces deux cents corps, une formule qui pourra s’appliquer à un corps quelconque de la nature, car son volume pourra toujours se décomposer en un de ceux compris dans le tableau ou s’en rapprochera infiniment.

Voici cette règle :

À la somme des surfaces des extrémités parallèles ajouter quatre fois la surface au centre, et multiplier le tout par la sixième partie de la hauteur ou longueur du solide.

Cette formule est évidemment d’une simplicité extrême et abrésera considérablement les ecaleuls pour les hommes qui s'occupent spécialement de mesurage et de métrage,—tels que les toiseurs-véri- ‘icateurs, les mesureurs, jaugeurs des contributions indirectes et des

uanes, les arpenteurs, géomètres, constructeurs, architectes et ingenieurs.

Quant aux élèves des maisons d'éducation, des écoles d’arts-etmétiers, il est bon de leur faire connaître une méthode abrégée et se rapprochant infiniment de l’exactitude. Mais nous pensons qu’il convient de leur enseigner comment on arrive par les données de la science à formuler cette règle universelle.

Si l’on doit éviter de donner trop de temps aux études théoriques, ! faut bien prendre garde à l'excès contraire. Le jeune homme dont

ute la science consiste en une mémoire bien farcie de formules dont i ne sait pas retrouver les éléments est toujours un praticien bien inbarrassé, lorsque les conditions du travail qu'il a à reraplir sortent des données ordinaires.

Ce sera un bon caboteur, si vous le voulez, qui manœuviera bien son navire en vue des côtes; mais, une fois en plei1e mer, il sera désorienté, ne sachant ni faire le point, ni déterminer sa position par le calcul.

M. Baillairgé, du reste, paraît être complétement de notre avis, car, antérieurement au tableau dont nous parlons, il a publié un excellent ouvrage sur la géométrie et la trigonométrie, dans lequel il a développé une foule de questions pratiques, de théorèmes et de formules remarquables par leur nouveauté, parmi lesquelles se trouve celle que nous venons d'exposer concernant la mesure des solides de forme queleonque.

Cet ouvrage à attiré à M. Baillairgé les éloges mérités des hommes compétents du Canada.

Ncas regrettons vivement eue l'ouvrage n'ait pas accompagné le tibleau qu’on nons a adressé; le compte-rendu que nous avons entrepris y aurait gagné en intérêt et en clarté. Réduits aux éléments ordinaires de la science, nous sommes entraînés à des calculs tron longs, et probablement par des sentiers moins directs que ceux indiqués par l’auteur, pour que nous vous invitions à vérifier avec nous l'exactitude de la règle donnée par M. Baillairgé. A ceux à qui la trigonométrie et la géométrie descriptive sont famillières, nous dirons :

Faites comme nous, cherchez et vous trouverez. — À ceux qui travaillent pratiquement, nous eonscillerons d'appliquer la règle que nous indiquons à un solide quelconque, dont ils savent mesurer le volume par une autre méthode, et ils se rendront compte de lexactitude de la formule par la similitude des deux résultats ; d'où ils concluront que ce qui est vrai pour un cas le sera pour l’autre.

On reconnaîtra ainsi que la formule est mathématiquement exacte pour les prismes et prismoïdes, cylindres et cylindroïdes droits où inclinés, pyramides régulières et irrégulières, et les troncs de ces solides entre bases parallèles, pour le cône droit ou oblique et son tronc entre bases parallèles, pour la sphère et le spheroïde e' tout segment ou tronc de ce corps séparé du solide entier par un plan incliné d’une manière quelconque aux axes où diamètres, ou compris entre deux plans parallèles quelconques, pour les conoïdes paraboliques et hyperboliques droits ou inclinés et les troncs de ces solides compris entre plans parallèles ; et ces divers solides constituent dans leur ensemble la presque totalité des solides élémentaires que l’on puisse être appelé à évaluer.

Il n’y a que pour les fuseaux seuls et les onglets que la formule n’est pas mathématiquement exacte, mais encore se rapproche-t-on sensiblement de la vérité.

Du reste, il est toujours facile, quand un corps affecte une forme par trop fantaisiste, de le décomposer en plusieurs solides se rapprochant des formes plus géométriques et auxquels on peut appliquer la formule en toute sécurité. Le tableau construit par M. Baillairgé donne précisément les formes les plus diverses qui permettent, en rapprochant les différents solides, d’en construire de nouveaux de formes composées. On fait ainsi l'analyse et la synthèse de la méthode, d’une part, en appliquant la méthode au volume total composé des différents solides ; de l’autre, en calculant le volume de chaque morceau séparé et en additionnant les résultats ; l’addition de cette seconde manière d'opérer doit donner le même chiffre que l'application de la règle au volume total.

Est-il nécessaire d’indiquer les applications qu’on peut faire de cette méthode dans la pratique ? Cela nous paraît inutile, nous remplirions toutes les colonnes de la Xevue ; les hommes pratiques sauront bien le moment de s’en servir.

Quant aux élèves, je laisse aux professeurs le soin de leur faire toucher du doigt ces applications, si multiples et si journalières. J'aurais assez aimé que M. Baillairgé, poussant plus loin son application pratique, eût mis, à côté de ses petits solides géométriques, des petits solides que j'appellerai pratiques, c’est-à-dire à côté d’un trone de cône à base renversée une tour ou un phare ; à côté d’une pyra-

mide un elocheton ; à côté d’une calotte de sphère un dôme et ainsi de suite ; enfin le corps dans sa réalité avec la formule pratique.

Un tableau ainsi fait serait très-attrayant pour la jeunesse, qui s’habituerait, à la seule vue d’un monument ou d’un objet usuel, à appliquer la formule, à tracer dans son esprit les bases extrêmes et médianes et la hauteur, et à en conclure rapidement le volume.

Voilà, ce me semble, une belle occasion pour les lecteurs de la Revue des familles d'exercer leurs connaissances géométriques.

Pour me résumer, je dirai que la méthode de M. C. Baillairgé est d’une simplicité et une exactitude remarquables, qu’elle est appelée à rendre de très-grands services aux praticiens, en leur évitant des pertes considérables de temps et en leur permettant d’obtenir les résultats cherchés aussi exactement que par les anciennes formules mathématiques ; c’est done un devoir pour tous de propager ce système ; et pour moi un plaisir d’en féliciter l’auteur.