I. Corps terminées rar des plans, latéralemenc
Tous les corps de cette catégorie ne sont pas eubab.es par la formule ; il y a certaines limites : car il faut que les sections parallèles aux bases soient régies par une loi constante : donc chacun des plans latéraux doit conserver la même direction, d’une base à l’autre: en
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effet il est évident que si un plan a existé en vertu d’une loi pendant un certain temps, il continuera tant que la loi n’aura pas changé.
Mais si chaque plan latéral conserve d’une base à l’autre la même direction, il s'ensuit que les arêtes latérales (non parallèles aux bases) doivent être des lignes droites allant d’une base à l’autre,
et non des lignes brisées.
Ces arêtes peuvent se rencontrer sur le périmètre de l’une ou de l’autre des bases et même entre les bases ; mais dans ce dernier cas, il faut que toutes les arêtes latérales se coupent en un seul et même point (pour faire 2 solides opposés au sommet).—Autrement toutes les lignes ne changeraïent pas de signe en même temps, et l’on obtiendrait pour l'expression des superficies, des nombres négatifs ; ce qui est absurde.
N.B. En pratique rien de plus aisé que de vérifier ces conditions en s’assurant 1° si les bases sont parallèles ; 2° si les surfaces latérales sont des plans ; 3° si chaque arête est une ligne droite, d’une base à l’autre ; 4° si, entre les bases, toutes les arêtes se coupent au même point.
Reste à prouver que l'expression des surfaces sectionelles a la forme convenable.
Il est facile de voir que une quelconque des sections parallèles aux bases, sera, pour un solide unique, un polygone d’un même nombre de côtés, et ensuite que ces côtés croissent ou décroissent en progression arithmétique.
On doit admettre aussi aisément la possibilité de décomposer le solide donné en un certain nombre des solides élémentaires suivants : 1° en pyramides triangulaires 2° en Li & renversées 3° en double — coins.
Ainsi la section polygonale du solide primitif se trouve remplacée par un certain nombre d’autres sections : triangulaires ou quadrangulaires : en effet les sections, dans une pyramide triangulaire (nonrenversée), sont des triangles décroissants de bas en haut, tandis qu'ils sont croissants de bas en haut, si la pyramide est renversée ; dans les double-coins, ce sont des quadrilatères dans lesquels une dimension est croissante, tandis que celle contiguë est décroissante : de sorce que les quadrilatères sont croissants pendant un certain espace, et ensuite déeroïissants. à
Exprimons la surface d’une section de pyramide triangulaire en fonction de la distance de cette section à la base supérieure.
Un triangle égale le produit continu de deux
côtés contigus et de + sinus de l’angle compris. A ge À :
a . ñ FAT Li è VIN Sin. mop: a:: EE ç’ — A Sin. pmo
} * sin. MOp.
Sin. mnp: a:: Sin, pmn: C = * NM: PDsin. mnp.
mais X = à COS. p.
donc a = - *__
cos. p.
Ï . X i n x si 2 Done $ = “in: 1pO* sin. pmo x sin pmn j
2 sin. mop * Sin. Mnp * COS ? p.
Pour toutes les autres sections parallèles, dans cette pyramide, les angles et par suite les sinus seront constants, et je puis représenter le coefficient de x? par D, et j'obtiens S= Dx?
Comme on voit, la surface S ne surpasse pas le 24 degré, etilen serait de même dans une pyramide renversé et dans un double-coin—- Ainsi leur somme ou la section polygonale du solide à cuber rentre dans la formule
S=A+Cx+Dx?
et la formule stéréométrique donne exactement et d’un seul coup la solidité d’un tel corps.
IT. Corps terminés latéralement par une surface courbe.
Les cylindres n'étant que des prismesinfinitaires rentrent dans la même catégorie, ainsi que les cônes qui sont des pyramides à base circulaire ; mais pour un cône on le démontre aussi en coupant ce cône par un plan diamétral, i. e, passant par l’axe du cône.
Ce plan diamétral, par son intersection avec la surface latérale du cône détermine deux lignes droites qui se coupent au sommet du cône et que je nomme les lignes directrices ; voici pourquoi : c’est qu’au lieu de me représenter le cône comme produit par la révolution d’un triangle rectangle sur un de ses côtés, je le conçois, suivant l’idée foudamentale du théorème précédent, engendré par la trace d'un cerele qui d’abord forme la base du cône, et qui ensuite s’en éloigne parailèlement à lui-même, en diminuant à chaque instant, tandis que dans ce mouvement chaque extrémité de son diamètre s’appuye sur une des deux lignes directrices.
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Or dans un cône les s sont tous des cercles et il est facile d’exprimer le rayon de ces cercles en fonction de la distance du cercle au sommet du cône, puisque l’axe et une des directrices forment les deux côtés d’un angle qui seront coupés par le rayon de chaque cercle.
Ceci indique la marehe à suivre au sujet des corps terminés par une surface courbe, dont les principaux sont la sphère, l’ellipsoïde, l’hyperboloïde et le paraboloïde.
Un mot sur chacun d’eux.
Comme tous ces solides ont un axe, au lieu de m’occuper de deux directrices, je n’en considérerai qu’une seule, car 12 cercle se trouve parfaitement déterminé au centre par l’axe et à lex rérhité du rayon par une des ? directrices.
1° La sphère est nn solide de révolution engendré par un demicercle tournant autour de son diamètre, lequel devient l’axe de la sphère ; d’où il suit que toutes les sections planes sont des cercles.
Ici la courbe directrice est un demi-cercle.
2° Une demi-ellipse tournant autour du grand axe engendre l’ellipsoïde allongé, et tournant autour du petit axe, l’ellipsoïde aplati. Dans les 2 cas, les sections perpendiculaires à l’axe da révolution sont des cercles, et la courbe directrice est une demi-£llipse.
3° L’ellipsoïde à trois axes inégaux diffère de l’eflipsoïde de révolution seulement en ce que les sections perpendiculaires à l’axe sont des ellipses : dans ce cas il faut deux demi-ellipses directrices, une pour l'extrémité du demi-grand axe et une pour celle du &emipetit axe. Ces deux courbes directrices, qui se coupent à angle droit, sont deux demi-ellipses, non identiques, et n’ayant qu’un seul axe eommun lequel est l’axe même de l’ellipsoïde.
4° Ce qui précède s'applique aux hyperboloïdes et aux paraboloïdes.
Une demi-hyperbole tournant autour du premier axe (prolongé,) engendre une nappe d’un hyperboloïde de révolution à deux nappes. La courbe directrice est une demi-hyperbole.
Une hyperbole tournant autour du 24 axe engendre l’hyperboloïde de révolution à une nappe — la courbe directrice est une des deux hyperboles conjuguées.
Dans les deux eas les sections perpendiculaires à l’axe sont des cercles. Si on remplace les cercles par des ellipses semblables entr’elles, on obtient deux hyperboloïdes à 3 axes inégaux, l’un à 2 nappes et l’autre à 1 nappe. Les ellipses ont pour directrices dans le premier cas, deux demi-hyperboles qui n’ont d’identique que leur axe réel, et dans le 2d cas, deux hyperboles ayant seulement le même axe imaginaire.
Enfin une demi-parabole tournant autour de son axe engendre le paraboloïde de révolution, dans lequel les sections perpendiculaires à l’axe sont des cercles, et la courbe directrice une demi-parabole, tandisque dans le paraboloïde elliptique, les sections sont des ellipses, et les deux directrices, deux demi-paraboles ayant leur sommet au même point. La formule stéréométrique donne le volume exact de tous ces corps, comme on va le voir.
Pour fixer les idées, je prends l’ellipsoïde à 3 axes inégaux A BCDEF; l’ellipse E C F D est perpendiculaire a l’axe A B ; on a mené l’ellipse e c f d parallèle àECF D.
L’ellipsoide peut être supposé formé par un nombre infini d’ellipses toutes traversées, dans leur centre, par l’axe A B, et ce sont justement ces ellipses qu’il s’agit de carrer pour s'assurer si l'expression générale de leur superticie reste dans les limites voulues ; e € f d est une de ces ellipses.
Surface d’une ellipse égale le produit
. LŒTÉ . .
continu de” {l et de ses 2? demi-axes, i.e
r.1.r’; doncecfd = x x o d x of; il s’agit d'exprimer odetof en fonction de o A = x
Or il est visible que o d est une ordonnée (y) à l'axe A B dans l’ellipse AC B Det of, une ordonnée (z) à l'axe A B dans l’ellipse AEBF.
Les 2 ellipses directrices ACBD, AEBF ont un axe commun AB=a ; et soit b, B le second axe de ces 2 ellipses.
En comptant les abscisses du sommet A, on à
2 D. À 2.» D ne (od) ” = y: = 5 (20 ): «à AY=— xx
(of)? = 27 = de (2 ax—x? ); d’où z= 24 2ax-x ? a
Comme les valeurs de y et de z sont 2 quantités irrationnelles semblables, leur produit sera rationel ; ainsi e c f d ou toute ellipse parallèle, aura pour surface.
S= I x LE @axx°
I. Pour un ellipsoïde de révolution, la seule différence c’est que = B et par suite
Lz + mu ga Mb” (%axx7 a 2
