INGENIEUR CIVIL, ETC

QUEBEC TYPOGRAPHIE DE C. DARVEAU N° 8, Rue Lamontagne.

PIEUE 99

TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE

Par CMS BAILLAIROR, Ber, Ingénieur Civil, ete

(Luc devant la Société, 20 Mars 1972).

en

FE eut bontibe je pense, de présenter den esetaes pere le cherie du aujet que je vob tenbter ; enr malgré que ce anfot poisse, à premikrn vue, paraitre dépourvu d'intérêt et d'atitité prnthgre, D out mu cutsteubre, de da pos haute beportwnee pr auite de sen rapports aver premque tertiten ben inbatries de bn vie,

La Géométrie eat la base de nos travaux publies ; c'est à sen pré. ceptes que nous devons tons les arte de conatrnetion, nos édifices, nom résidences, leu fortificntions de mon villes, nos fort, nos canaux et nos routes, et in merveilleuse nrehitecture de ven palais et de ces forteresses flottantes qui parcourent nos fleuves et nos rivières, on ail-

points, permet à l'œil d'apprécier l'importance de leurs positions relatives ; c'est lui qui dirige l'emploi de nos engins de guerre ; et les mouvements des

point. C'est ln base de la mécanique, de l'hydraulique, et de l'optique ; et tokes les sciences physiques lui empruntent sans cesse quelque chose,

Dans une sphère moins élevée, la géométrie nous enseigne à mesurer et à dessiner ou représenter nos champs, nos jardins, et nos demeures privées ; elle nous permet de calculer et de comparer leurs produits et leur coût ; elle détermine des hauteurs et des distances inaccessibles, guide la main du dessinateur, et offre une infinité d’usages, souvent applicables à l’économie domestique.

La plus belle moitié du genre humain a la perception la plus vive et la plus appréciative des avantages et des beautés de cette science, comme le prouvent les combinaisons toujours variées et si finement imaginées de leurs dessins pour réseaux, dentelles, broderies, etc.

La Géométrie mesure l’étendue et compare des quantités d'espace les unes aux autres. Ses éléments sont des lignes, des surfaces, et des volumes cu solides U'e quantité d’espace, comme celle qui peut être occupée par un corps solide, s'appelle elle-même en géométrie, solide. Les limites de ce solide géométrique s'appellent surfaces, et l’on peut aussi imaginer ces dernières comme séparant un espace d’un autre espace aussi bien que le bornant. Elles constituent le zéro de solidité, mais elles ont une grandeur qui leur est propre et que l’on nomme superficie. Il est quelquefois intéressant et avantageux, en raisonnant sur les solides et leur mode de mesuragé, de les considérer comme composés d’un nombre infini de surfaces ou de superficies superposées les unes aux autres comme les feuilles d’un livre. Si une surface est déterminée, la limite de tous côtés est une ligne qui n’a ni solidité, ni étendue superficielle, n’ayant de grandeur qu’en longueur, On peut imaginer les surfaces ou superficies, comme composées d’une infinité de lignes posées les unes à côté des autres. Si la ligne est déterminée, ses extrémités sont des points. Uu point, par conséquent est un zéro, non-seulement en solidité et en superficie, mais aussi en longueur, n'ayant aucune grandeur ou proportion et ne conservant que de l’ordre ou une position, comme unique élément de son existence. On peut imaginer une ligne comme composée d’une série infinie de points posés les uns à la suite des autres. Dans la position des points on appelle angle l’écartement qu’il y a entre un premier et un second point, et un troisième. Nous avons ici toutes les notions élémentaires de la Géométrie, savoir : un point, une ligne, une surface, un solide, un angle. De ces définitions comme données on peut, par les lois de la logique, déduire une quantité considérable de science géométrique.

Le rapport de la Géométrie avec les autres sciences est double, donnant et recevant. Elle donne à la mécanique la seule possibilité de comprendre les lois du mouvement ; et elle en reçoit l’idée des points, des lignes et des surfaces mobiles, engendrant ainsi des lignes, des surfaces, des solides. Elie donne à la Chimie le seul moyen de rechercher la cristallisation et ‘a pnlarisation, etc. ; .: elle en reçoit de

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t armee, .

nouvelles idées concernant la Symétrie des surfaces planes. Elle se rapporte également à la botanique et à la zoologie dans les lois de la forme et de la morphologie. Dans l’étude de l'esprit humain la Géométrie propose la question de l’origine des croyances, en donnant les premiers exemples de démonstration ; et par suite des recherches ainsi soulevées la Géométrie a reçu de siècle en siècle de nouvelles idées qui ont été la base d’une foule de nouvelles méthodes de recherche et de preuve. La Géométrie donne à la théologie des notions définies de l’ordre et de la sagesse de la création naturelle, et la théologie l’a poussé à faire de nouveaux et nombreux efforts à la recherche de ces questions théologiques.

Chasle dans son précieux ‘“ Aperçu historique des méthodes en géométrie ” divise l’histoire de la géométrie en cinq périodes. La première est celle de la Géométrie Grecque, durant environ 1,000 ans, ou jusqu’à l’année 550 de l’ère chrétienne. Ensuite, après une pause d'environ 1,000 ans, la seconde période commence dans le rétablissement de l’ancienne géométrie vers 1550. Une troisième période fut signalée au commencement du 17ième siècle par les co-ordonnées de Descartes et la géométrie analytique. La quatrième période fut inaugurée en 1684 par la sublime invention du calcul différentiel. La Cinquième ère est signalée dans notre propre siècle par la ‘ Gréométrie Descriptive ” de Monge, qui développa dans cet ouvrage l’idée de réduire les problèmes de géométrie solide en des problèmes de géométrie plane. On peut trouver un bel exemple de cette branche de la science dans la perspective linéaire, qui projette simplement les points d’un corps solide sur une surface plane au moyen de lignes droites de lumière partant de l'œil.

Depris la publication de l’“ Aperçu Historique ” de Chasle, le nouvel ouvrage intitulé ‘“ Hamilton’s Quaternions ” a donné naissance à une sixième période.

On assure que la Géométrie Grecque commença avec Thalès et Pythagore qui en prirent les premières notions de l’Egypte et des Indes. Diodore, Hérodote et Strabon sont d’opinion que la science du mesurage prit naissance chez les Egyptiens qu’ils nous représentent comme forcés, — par suite de l’enlèvement ou de l'effacement des limites, résultant de l’inondation annuelle du Nil,—d’imaginer quelque méthode de s'assurer des anciennes bornes, après le retrait des eaux. De fait cette science doit être aussi vieille que l’homme, puisque l’Ecriture nous dit que Caïn bâtit une ville, ce qui ne pouvait se faire, il est évident, sans quelque connaissance de l’unité de mesure, qui est le premier principe du mesurage. Par le même témoignage infaillible nous trouvons que les arts et les sciences ont été cultivés à un point remarquable longtemps avant le déluge. Jubal fut le père de tous ceux

qui jouèrent la harpe et l’orgue, et Tubalcain fut le maître de tous ceux qui travailèrlent l’airain et le fer. Il est aussi plus que probable que Noé connaissait très-bien la Géométrie telle qu’on la pratiquait de son temps, car il ne paraît pas qu’il ait éprouvé de difficulté à bâtir l’arche. Que cela soit ou non, il est bien connu que pendant des des siècles l'Egypte a été la mère et la protectrice des arts et des sciences. De l'Egypte elles furent transportées cn Grèce par Thalès, environ 600 ans avant l’ère chrétienne. Euclide, environ 300 ans avant Jésus-Christ, établit une école mathématique à Alexandrie, où Archimède, Apollonius, Ptolémée, Théon, ete., reçurent l'instruction du “ prince des géomètres. ” On doit cependant supposer avec raison qu'il existait avant Euclide des traités de géométrie, car Proclus affirme qu'Euclide perfectionna beaucoup de choses dans les éléments d'Eudoxe et dans ceux de Théatète, et établit, par les démonstrations les plus solides et les plus convaincantes, des propositions qui n’étaient que superficiellement expliquées.

L'école de Pythagore démontra l’incommensurabilité de la diagonale d’un carré et son côté, et rechercha les cinq solides réguliers, Ils avaient quelque connaissance des triangles et des cercles, et ils n’ignoraient probablement pas que le cercle et la sphère sont les plus grandes figures, de même périmètre et de même surface. Environ un siècle après Pythagore, le grand Platon et ses disciples commencèrent une série de découvertes rapides et étonnantes. L'ancienne méthode analytique du raisonnement géométrique consistait à prendre comme vrai le théorème que l’on voulait prouver et ensuite à démontrer qu’il renfermait la vérité de ces propositions seuls que l’on savait déjà être vraies. De nos jours, la méthode algébrique, permettant l’introduction de quantités inconnues, a pris le nom d’analytique. Les sections couiques embrassent, comme l’on sait, l’étude des courbes engendrées en coupant un cône par une surface plane ; et il y er a qui sont vraiment merveilleuses. Le cerele est la plus belle de toutes, et nous en voyons des exemples dans les mille et une formes de la vie journalière. L’ellipse, cette courbe presque magique, est décrite dans les cieux par chaque planéte qui tourne autour du soleil, par chaque satellite qui tourne autour de sa planète primaire. Elle a deux centres ou foyers, et le soleil ou la planète primaire en est un. Dans ces cas elle se rapproche beaucoup du cercle, elle a peu d’eccentricité, tandis que dans le cas des pla. stes elle s’étend presque indéfiniment. Elle est produite chaque fois que le plan d’intersection coupe le cône dans une direction oblique par rapport à son axe, l’angle formé par cette section et la base du cône étant en même temps moindre que celui compris entre la base et le côté. Imitant le divin architecte l’homme a fait servir l’ellipse à ses besoins ; nous la voyons dans les arches de toutes grandeurs qui couvrentnosrivièreset couronnent nos édifices,

grands et petits. L'artiste s’en sert comme d’un cadre parfait pour le plus beau des ovales, la figure adorable de la femme. L’ellipse« des propriétés toutes spéciales : par exemple, la somme de deux rayons ou lignes quelconques tirées de leurs centres à un point quelconque de la circonférence ou du périmètre de la figure, est une quantité constante ; et un rayon de lumière, de son, ou de chaleur lancé ou rayonnant d’nn de ses foyers vers la circonférence, est refléchi vers l’autre foyer. Vous avez tous entendu parier de la voûte acoustique de la Cathédrale St. Paul : c’est tout simplement un espace elliptique entouré de murailles, dans lequel, deux personnes placées aux foyers opposés, et comparativement éloignées l’une de l’autre, peuvent se parler à voix extrêmement basse, et sans le moindre danger d’être entendues par les autres personnes qui se trouvent dans la galerie. Nous avons ensuite l'hyperbole, courbe particulière, où ce n’est pas la somme de deux rayons ou lignes tirées des foyers à un point de la courbe qui est constante, mais leur différence. Nous l’obtenons dans le cône quand il est coupé par un plan à un angle plus grand que celui que forme le côté avec la base. C’est, dans un sens populaire, une figure quelque peu paradoxale, en ce sens que quelque prolongée qu’elle soit, et quoique se rapp: schant airsi de plus en plus de deux certaines lignes appelées ses asymptotes, et malgré que les lignes soient toutes près l’une de l’autre, cependant elle ne peut jamais les rencontrer lors même qu’on la prolongerait jusqu’à la fin des temps. Elle n’a pas, dans la pratique, l'importance des autres sections coniques, mais elle sert quelquefois, comme, par exerple, pour exprimer ou expliquer la pression variée de la vapeur agissant avec expansion à l’intérieur d’un cylindre on autre vaisseau.

Nous arrivons maintenant à la parabole, cette courbe vraiment merveilleuse. Il est singulier que cette figure que présente chaque cône lorsqu'il est coupé par un plan parallèle à son côté, soit celle dans laquelle certaines comètes visitent notre système —les comètes qui n’entrent qu’une fois dans notre système et en sortent pour n’y plus revenir. C’est une courbe qui, comme l’hyperbole, mais différente du cercle et de l’ellipse, ne revient pas sur elle-même, et dont les côtés ou les branches opposés se séparent toujours de plus en plus pour ne plus se rencontrer. C’est vraiment une courbe enchanteresse. N’est-il pas étrange que ce soit exactement la même figure que celle que décrit une pierre qui lancée obliquement dan l’espace, reto: be sur la terre ! .La connaissance de la théorie de cet are si utile guide l’artilleur dans le jet de ses boulets et de ses bombes sur la forteresse ennemie ; la courbe qu'ils décrivent en montant dans l’espace, ils la reproduisent exactement en tombant à leur destination—l’arc ou la courbe entière est une parabole, et chaque partie de cette courbe est la moitié ou la contrepartie exacte de l’autre partie correspondante. Cependant

je n'ai pas fini de vous parler de cette si intéressante section. Chaque jet d’eau ou d’autre liquide sortant, sous l’effort de la pression, du côté d’un réservoir ou d’une citerne, ou de la pipe d’une pompe à incendie, décrit cette courbe ; et ainsi l’on peut s’assurer d’avance de la distance de la projection et en faire le calevl. Maïs elle a encore d’autres applications, savoir : dans la construction du porte-voix, où la bouche se trouve au foyer de la courbe (car l’on a déjà compris d’après la description qu’elle n’en a qu’un,) et les rayons du son frappant sur les côtés di. tube sont lancés en un faisceau, pour ainsi dire, parallèles l’un à Fautre, et droit à l’objet auquel on s'adresse. Vous voyez encore cette ligne courbe dans le miroir qui réunit les rayons parallèles du soleil, ou de toute source de lumière ou de chaleur, et les réfléchit tous de la surface au centre ou foyer, où l’on peut ainsi allumer une lumière ou un feu. Et encore, dans le réfiecteur qui, dans les phares, réunit des rayons divergents du foyer et les lance à la fois au service de l'humanité. Mais moi aussi je m’égare, je crois ; et bien que la courbe ne revient pas sur elle-même, je ne la suivrai pas dans sa course vagabonde.

Moins de 150 ans après Platon, cette étude des sections coniques avait été poussée par Apollonius et d’autres à un degré tel que les géomètres qui les ont suivis l’ont à peine surpassé.

Les lieux (loci) géométriquessont deslignes etdes surfaces déterminées par le fait que chaque point dc la ligne ou de là surface remplit la même condition de position. Ainsi, le lieux (/ocus) d’un point également éloigné de deux points donnés quelconques, est la perpendiculaire tirée du centre de la ligne joignant ces deux points ; le lieux (locus) des sommets de tous les triangles ayant la même base et des surfaces égales est une ligne parallèle à la base ; le lieux (/ocus) des sommets de tous les triangles ayant la même base et le même rapport entre leurs côtés, est la circonférence d’un cercle ayant son centre dans la base prolongée, et de manière à la couper suivant le rapport voulu. La recherche de semblables lieux, depuis Platon jusqu’à nos jours, a été l’une des sources les plus fécondes du savoir géométrique. Avant Apollonius, Euclide introduisit en Géométrie un système de raisonnement extrêmement utile dans les cas où ni la synthèse — c’est-à-dire la preuve directe—ni la méthode analytique ne peuvent faciiement s’appliquer, la réduction à Pabsurde ; 11 consiste à prendre comme vrai le contraire d’une proposition, et ensuite à démontrer qu’il renferme la vérité de ce que l’on sait être faux. En même temps qu’Apollonius vivait Archimède qui introduisit en géométrie l’idée féconde de l’exhaystion. En caleulant les polygones inscrits et circonscrits dans un cercle, et augmentant le nombre de côtés jusqu’à ce que la différence entre les poligones extérieurs et intérieurs devînt extrêmement petite, Archimède arriva au premier rapport connu entre le diamètre et la

mn parts dome L'atenendte à À * Rire : “

circonférence d’un cercle, qu'il trouva être comme 1 est à 3}, Hip. parque, avant Jésus-Christ, et Ptolémée, après Jésus-Christ, appliquèrent les mathémathiques à l’astronomie. Viète, inventeur de l'algèbre, l’appliqua à la géométrie. Képler introduisit l’idée de l’infinitésimale, perfectionnant ainsi l’exhaustion d’Archimède, et conduisit à la solution des questions des maxima et des minima. En même temps la méthode des fluxions de Newton et le calcul diffé: rentiel de Leibnitz paraissaient, et l’on fit une foule de belles découvertes sur les courbes en général. Les résultats en furent si féconds que, comme chacun le sait maintenant, l’on peut, des années d’avan: ce, calculer et prédire le temps d’une éclipse de soleil, et ce, à une minute,—bien plus, à moins d’une seconde,—près. La réapparition d’une comète peut également être prédite pour le jour même qu’elle paraîtra dans les cieux, malgré une absence d’un siècle. Autrefois, quand ces phénomènes n'étaient pas annoncés, ils éclataient tout-àcoup sur le monde, semant partout la terreur, et jetant l’anxiété et la consternation dans toutes les âmes comme si le monde allait finir.

Quoique les éléments d’Euclide soient la base de toute éducation mathématique, cependant l’on tire des branches plus élevées de l’analyse une foule de règlés précieuses, et qui paraissent n'avoir aucun rapport ou bien peu de rapport avec la géométrie. L’Analyse différentielle nous a fait connaître des vérités qui étonneraient les mathématiciens des siècles passés ; et nous devons principalement à Newton les découvertes qui ont fait si considérablement avancer l’art du mesurage. Les artisans de toutes espèces doivent à la géométrie et au mesurage l'établissement de leurs diverses occupations ; et la perfection de leurs travaux, et la valeur qui en est la conséquence, dépendent entièrement de leur rapprochement plus ou moins grand des règles de l’exactitude géométrique. Toutes les grandes et ingénieuses découvertes de l'humanité doivent leur origine à cette science sublime. A l’aide de cette science l'architecte tire ses plans et construit ses édifices. Pour bâtir des ponts au-dessus des rivières il faut une connaissance des plus exactes de la géométrie. Dans la construction des vaisseaux de toutes espèces, le savoir géométrique est également nécessaire ; et le marin connaît très-bien l'utilité d’un bon astronome à bord de son vaisseau pour le guider à travers l'océan. La science sublime de l’astronomie est bâsée sur le savoir géométrique ; et l’observateur avec son télescope tient pour ainsi dire une conversation avec les cieux. Enfin, toutes les élégances de la vie et une grande partie de son comfort doivent leur existence à l’art géométrique. Le monde végétal abonde en productions formées avec plus que de l’habileté humaine ; l’admirable réseau que l’on remarque dans les pétales de quelques fleurs est vraiment étonnant, et la plus exacte proportion y est toujours observée. Dans le monde minéral, la même

vérité frappe l'imagination ; et partout où l’œil de l’homme peut pénétrer, l’on tr ue la mime harmonie géométrique entre toutes les parties de ] . inatit "e créée,

Et quel est le fondement, la base sur laquelle s'élève cette science de la géométrie ? Eh bien! Ce n’est pour ainsi que sur une ou deux propositions élémentaires ; car si les vérités que l’on tire de ces propositions n’existaient pas, la science elle-même ne pourrait exister. Un de ces théorèmes fondamentaux est que dans chaque triangle rectiligne la somme des angles est constante et égale à deux angles droits, ou à 180 degrés ; de sorte que quand deux angles queleonques sont donnés, on trouve le troisième avec la plus grande facilité ; et nous pouvons ainsi arriver à connaître les distances qui nous séparent d'objets inaccessibles, ou qui divisent ces objets les uns des autres. C’est ainsi que l’arpenteur et l'ingénieur, à l’aïde d’une ligne de longueur connue, et des angles observés à chacune des extrémités de cette ligne, peuvent, par une facile construction géométrique, ou par un calcul arithmétique, arriver à l’exacte largeur d’une rivière sur laquelle on veut jeter un pont. C’est ainsi que l’astronome, en adoptant une base plus large, arrive également au diamètre de la terre que nous habitons, sans qu’il soit nécessaire d’en faire le tour. La terre, à son tour, sert de base pour calculer la distance de la lune, du soleil, et des planètes ; et lorsque cette base fait défaut, eomme dans le cas ‘des étoiles fixes,—lorsque l’astronome aux deux bouts opposés de la terre, ou avec une ligne pour base d'environ huit mille milles d’étendue, ne peut trouver de différence entre la somme des angles observés et deux angles droits, il prend son temps, et prenant un des angles, un certain jour, il prend le second six mois après, lorsqu'il sera arrivé, avec la terre dans sa révolution annuelle autour du soleil, au bout opposé de l'orbite terrestre, et se sera ainsi assuré pour base d’une ligne de 200,000,006 de milles d’étendue—et cependant, même avec cela, il sera cruellement éprouvé, et rencontrera des difficultés presque surhumaines à résoudre ce grand preblème de la distance des étoiles. Car, le croira-t-on ? cette distance est tellement eftrayante, tellement inconsevable, que le troisième angle du triangle —celui qui est opposé à cette immense base de 200 millions de milles —n’est que la fraction d’une seconde, ou de la 5; partie d’un degré. Et cependant, étrange contradiction, eette énorme distance de l'étoile fixe la plus proche—dont la lumière, qui parcourt avec une vitesse inconcevable, 200,000 milles par seconde, nous arrive en trois ans—est tellement petite, comparée à cet univers sans bornes, qu’il y a des étoiles dix fois—bien plus, 10,000 fois—plus éloignées, et encore plus loin, au delà des espaces où peuvent pénétrer les plus puissants téleseopes, comme celui de Lord Rosse qui n’a pas moins de six pieds de diamètre, et qui a plus de 60 pieds de loig.

Et si cette propriété du riangle n'existait pas—si la sor.med es trois angles n'était pas une quantité constante—uous aurions probablement ignoré et pour toujours, non pas peut-être la grosseur de la terre elle-même que l’on peut ceindre et soumettre à un mesurage direct, mais les distances et les grosseurs de t sus les objets au-delà de la terre ou hors de notre portée immédiate, et l’homme serait privé d’une grande et inépuisable source de jouissance.

Les triangles ont une autre propriété sur laquelle je dois appuyer un instant : c'est que lorsqu'ils sont semblables et équiangles, leurs cotés homologues ou correspondants sont proportionnels ; et ae cette propriété il résulte que dans chaque triangle à angle droit le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ces deux propositions ou théorèmes, avec celui plus important dont nous avons déjà parlé, sont la base, pour ainsi dire, de toute science géométrique ; et tous les autres théorêmes et tous les problèmes de géométrie en dépendent intimement dans leur existence comme dans leur solution.

De ce que les côtés et les hauteurs des triangles semblables sont proportionnels, il s’en suit que leurs surfaces sont comme les carrés de chacune de leurs dimensions correspondantes. C'est-à-dire, si la base d’un triangle est double de celle d’un autre, sa hauteur est également double ; et comme deux fois deux font quatre, la surface du second est quatre fois celle du premier ; ou si la base de l’un est trois fois celle de l’autre, sa hauteur le sera également, et la surface sera 3 fois 3, ou 9 fois celle du premier. De là, tandis que les dimensions linéaires augmentent comme les nombres naturels 1, 2, 3, etc., les superficies augmentent comme les carrés de ces nombres,-1, 4, 9, etc., et cela fournit le moyen de diviser toute figure ou tout espace triangulaire en parties qui seront égales l’une à l’autre, ou auront entre elles un rapport désiré. Et ce qui est vrai pour les triangles semblables, est également vrai pour toutes les autres figures semblables —<c'est-à-dire pour celles qui sont composées d’un nombre égal de triangles semblables et semblablement situés, cu qui peuvent se décomposer ainsi. Encore, de ce que . chaque figure rectiligne peut se diviser en autant de triangles que la figure a de côtés, moins deux, et que la somme des angles de chacun des triangles constituants est égale à deux angles droits, il s’en suit donc que la somme des angles intérieurs de tout quadrilatère ou figure à quatre côtés a 4 angles droits ; que pour tout pentagone la somme des angles est égale à 6 angles droits ; pour un octagone, 12 angles droits ; et ainsi de suite. Cette propriété importante permet à l’arpenteur ou à l’ingénieur après avoir mesuré les angles d’une étendue de terre quelconque de vérifier l'exactitude de sa triangulation, et de découvrir une erreur, s’il y en a, puisque la somme de tous les angles, pris ensemble, et

SG

quelles que soient les fractions d’un degré ou d’une minute qu'ils puissent séparément contenir, doivent, de toute nécessité, former un nombre exact ; et ce nombre doit être un nombre pair d’angles droits —2, 4, 6, 8, 10 ou 20, selon le cas, — mais jamais 3, 5, 7, 9, ou tout autre nombre impair,

J'ai fait allusion au cerele comme étant la plus belle de toutes les figures, mais je n’ai encore jusqu’à présent rien dit de quelques propriétés très-utiles qu’il possède, Par exemple, un angle au centre d’un cercle se mesure par l’are qu'il sous-tend ; nous savons tous cela et il ne paraît pas étrange qu’il en soit ainsi : il semble, au contraire, qu’il ne devrait pas en être autrement, et il suffit en conséquence de définir la chose, ou d'énoncer la proposition, pour qu'on y croie. Mais il est singulier que lorsque le sommet de l'angle est dans ou sur la circonférence, un tel angle ne soit que la moitié—ni moins, ni plus —e l’angle correspondant au centre ; d’où vient cette si curieuse et si utile propriété que tous les angles dans le même segment sont égaux l’un à l’autre ; aussi que chaque angle dans un demi-cerele est un angle droit. De là la possibilité de mener une tangente à un cerele de tout point quelco"que en dehors du cercle ; de là aussi, le dessinateur sur sa planche ou son papier, ou l’arpenteur dans un champ, peut-il plus facilement et plus promptement tracer un angle droit. De là, encore, peut-on résoudre le très-beau et très-utile problème de trouver une moyenne géométrique entre deux lignes quelconques données, opération graphique par laquelle on peut extraire la racine carrée du produit de deux nombres quelconques données, ou trouver le côté d’un carré égal en superficie à celui d’un rectangle donné. Mais de même que l’on peut trouver une moyenne géométrique entre deux lignes quelconques, de même aussi peut-on déterminer l’une ou l’autre de ces lignes quand on en connaît une, ainsi que la moyenne entre elles. C’est de cetre manière que l'ingénieur peut trouver le rayon d’une courbe de chemin de fer, car ces courbes sont généralement d’une vaste étendue, et, contrairement à ce qui se fait pour le cercle sur une planche ou une feuille de papier, on n’en peut ni voir ni trouver le centre, ni on n’en peut mesurer le rayon. Si vous rencontrez une partie de tronc. d’arbre, et si vous êtes curieux de connaître la grosseur de l'arbre d’où elle a été coupée, tirez une corde sur cette partie de trone d'arbre, bissectez cette corde, carrez-en la moitié, divisez le produit par le sinus verse ou la hauteur ou largeur du segment à son centre, et vous aurez le reste du diamètre. Ce n’est pas tout ; car l’astronome caleule sur une éctelle 10,000 fois plus vaste, où même sur des millions, et presque de la même manière, d’après une connaissance d’une petite partie de l’arc ou de l’orbite, ces cercles immenses, quelqu’eccentriques qu’ils soient, que les satellites décrivent autour de leurs primaires, et les

planètes autour du soleil, Oui, et de même que l'ingénieur, sans un centre où un rayon, peut suivre sa courbe à travers les forêts et les eaux de la terre, de même l’astronome peut suivre ses immenses circuits à travers les forêts étoilées des cieux d'azur, C’est encore ainsi que l’on suit la comète vagabonde, l'œil fixée sur sa course toujours variée à travers les étoiles, et qu'avec la plus petite partie de son circuit l’on peut caleuler sa forme elliptique qui permettra de prédire avec certitude l’époque de son retour périodique, La même série d'observations fera aussi connaître si sa route à travers les planètes n’est pas elliptique, mais plutôt parabolique, ou celle de quelque étrange météore qui approche de ce monde pour la première fois, et le laissera pour n’y jamais reveuir—à moins, sans doute, que la route décrite ne se rapproche de bien près de la forme elliptique, et que, comme dans l'astronomie politique, l'influence ou l'attraction de quelque grande planète ne le fasse s’écarter de sa voie, dérangeant ainsi sa direction, de manière à amener le phénomène d’une transformation,

Je viens de dire que l'angle à la circonférence d’un cercle est la moitié de l’angle au centre sur le même are, et l’on peut tirer un grand avantage de cette propriété. En levant le plan de la côte d’un pays dans le but d’en reproduire, sur des cartes marines et géographiques, les bas fonds ++ les éeueils, l’hydrographe prend ses angles de points immédiatemer c au dessus de ceux dont on veut s'assurer des positions à trois points ou plus du rivage, et dont les distances entre eux sont connus. Maintenant si les angles auxquels on a fait allusion étaient adjacents à l’une des distances mesurées, la solution du problème se réduirait à déterminer le troisième angle et les deux autres côtés d’un triangle dont deux angles et un côté seraient connus. Mais les éléments ne sont pas en contact ; ils ne sont pas adjacents ; comment alors peuvent-ils être réunis afin d’en fäire le ealeul ? Comment ? par cette si belle propriété du cerele que l’on vient d’énoncer—qu’un angle ayant son sommet dans la circonférence est égal à tout autre angle semblablement situé, portant sur le même are, c’est pourquoi si l’on décrit un cerele autour de trois des points indiqués dans le problème—et, comme nous le savons tous, il est facile de décrire ainsi un cerele—et si l’on fait tourner les deux angles, pris du point hydrographique sous considération, autour du cercle, jusqu’à ce que le sommet de chacun arrive aux extrémités de la base, on aura fait disparaître toute difficulté, et le problème se réduira à résoudre un cas de trigonométrie plane. C’est ainsi qu'un de mes anciens élèves, Mr. R. Steckel, maintenant employé au Département des Travaux Publics, à Ottawa, a résolu, de la manière la plus ingénieuse et la plus simple, le problème de l’interpolation d’une ligne, ou le problème consistant à trouver la partie inconnue B C, d’une ligne droite, A B C D, à la-

14 GÉOMÉTRIF, TOISÉ

quelle trois angles ont été pris d'un cinquième point, P, dont on vent connaître la position, La solution en est donnée à la page 251 de mon traité de C'éométrie, ete, publié en 1866 ; et à la page 277 du même ouvrage se trouve une solution très-ingéniense d'un problème vraiment difficile dans la division des terre—celui de diviser un quadrilatère en superficies égales ou proportionnelles, avec des côtés aussi proportionnels à ceux de toute la figure.

Il y a encore quelques autres propriétés du cercle que je ferai remarquer avant de laisser tout-à-fait le sujet. Ainsi, deux tangentes menées à un cercle d'un pont quelconque en dehors sont égales, et la tangente est perpendiculaire au rayon qui est tiré à son point de contact ; et de ces circonstances, et du fait déjà énoncé, que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits, il devient possible de eculeuler le diamètre de la terre en observant simplement l'angle de dépression de l’horison, du sommet d'une montagne ou autre lieu élevé, dont on connaît la hauteur au dessus de la surface de la terre, On peut toujours décrire un cerele capable de contenir un angle donné sur une base donnée ; de là, par exemple, si l’on connaît la hauteur du mât sur la citadelle, et l'angle qu'il sous-tend du côté opposé de la rivière, et la largeur de la rivière, on peut facilement calculer la hauteur de la citadelle elle-même. On trouve la solution ou construction géométrique de ce problème, ainsi que d’un grand nombre d’autres d'utilité pratique, de la page 2% à la page 331 de mon traité. Du fait qu’un angle à la circonférence est la moitié d’un angle au centre, il résulte aussi que pour inscrire une figure à quatre côtés dans un cercle il faut que les angles opposés, pris ensemble, soient égaux à deux angles droits ; et de ce que deux lignes ou cordes quelconques qui se coupent l’une et l’autre dans un cercle ont les parties de l’une proportionnelles à celles de l’autre, on peut trouver le diamètre ou le rayon d’un cercle dont forme partie, une zone, ou partie renfermée entre deux cordes parallèles quelconques. Et, encore, du fait que si deux lignes sont tirées d’un point quelconque en dehors d’un cercle au côté opposé ou concave du cerele, ces lignes sont réciproquement proportionnelles à leurs segments situés en dehors du cercle, résulte une des manières de résoudre c cas de trigonométrie plane où les trois côtés d’un triangle étant donnés il faut trouver les angles ; et une tangente menée du même point extérieur au cercle est une moyenne géométrique, ou une moyenne proportionnellé entre l’une ou l’autre des lignes ci-dessus mentionnées, et sa partie extérieure ; d’où résulte une manière de tracer une courbe de chemin de fer, par exemple, à travers deux points quelconques données, et tangente à la partie droite ou courbe d’un autre chemin.

Que de choses encore je n’ai pas le temps de raconter ! Et cependant, chose étrange, cette figure, la plus régulière de toutes les figures,

celle que l'homme a fait servir à une foule d'objets d'utilité pratique, celle que l’on peut tracer avec tant de facilité, on n'en à jamais pu encore trouver ln cireonférence ni ln surface, Archimède, comme je l'ai déjà dit, trouva un rapport rapproché du diamètre à la circonférence celui de 1 à 3}; Metius, un rapport de 1 à 3, 141592, ete, En 1590 Ceulen, qui vivait du temps de Métius, étendit la calcul à 36 décimales, qui furent gravées sur sa tombe, Il arriva à ce résultat en caleulant les cordes des ares successifs, dont chacun était ln moitié Au précédent ; le dernier are dans ce eas étant le côté d’un polygone de 36,893,488,147,419,103,233 —près de 37 millions de fois 419 millions de côtés. Le mode de caleul fut plus tard grandement simplifié par Snell, qui, à l’aide d’un polygone de 5,242,880 côtés seulement, porta le rapprochement à 55 chiffres, Le calcul fut continué durant le dernier siècle par d’autres mathématiciens, qui portèrent successivement le nombre des chiffres à 75,100,128, et 140 décimales,

Malgré que Lambert, en 1761, et Legendre, dans ses éléments de géométrie, aient prouvé que le rapport du diamètre d’un cercle à sa circonférence ne peut pas être exprimé en nombres, le désir de satisfaire ceux qui espéraient encore trouver ce rapport, conduisit d’au.-es mathématiciens à continuer d'ajouter à ces chiffres, En 1846, on avait obtenu 200 décimales, et 250 l’année suivante. En 1851 le nombre fut porté à 315 ; ensuite à 350, Shanks le porta à 527, et en 1853 à 607 décimales. Quand il devn + évident que l'expression arithmétique pour ce rapport était hors de question, un grand nombre de personnes continuèrent à espérer quelque solution géométrique du célèbre problème : mais il est généralement reconnu à présent que cette méthode est impraticable ; et l’on doit admettre qu'il n’est résulté qu'un insignifiant avantage, si même il en est résulté, de cette quantité énorme de temps et de travail consacrée à cette fameuse proposition. L'Académie Française des sciences, en 1775, et, peu après la Société Royale de Londres, dans le but de décourager des recherches aussi futiles et aussi stériles, refusèrent de prendre davantage connaissance de toute communication se rapportant à la quadrature du cercle, à la trisection d’un angle, à la duplication du eube, ou au mouvement perpétuel. Une approximation de 600 chiffres, où même moins, équivaut à une parfaite et complète exactitude ; car, qu’on remarque bien qu’il suffit de prendre seulement 17 décimales pour éviter une erreur de la millième partie d’un pouce sur les six cents millions de milles qui constituent la longueur de l'orbite de la terre autour du soleil. Dix décimales donnent la circonférence de la terre à moins d’un pouce près, et 13 décimales à moins de la millième partie d’un pouce, ou moins que l’épaisseur d’un cheveu; et, dans tous les cas, les chiffres déjà trouvés sont plus que suffisants pour déterminer avec ure exactitude absolue, non seulement les dimensions et les

distances des planètes, mais aussi des étoiles ou nébuleuses les plus éloïign“es que l’homme puisse découvrir à l’aide des têlescopes les plus puissants, ou de celles qu’il pourrait découvrir avec des instruments d'optique 10,000 fois plus pui:sants que ceux qu’il possède déjà.

Faisant encore allusion au célèbre problème de la trisection d’un angle, je dois encore une fois saisir l’occasion de protester, v'ibliquement, comme je l’ai déjà fait, quoique sans résultat, à la page 330 de mon traité de 1866, non contre la solution prétendue et ridicule de ce problème par un certain M. Thorpe, d'Ottawa, après avoir, dit-il, lui-même—le pauvre homme ! —consacré 34 années de sa vie à sa découverte, mais contre le gouvernement du Canada—le Bureau des Patentes—pour avoir sanctionné la prétendue solution en émettant des Lettres-Patentes qui la confirment, et donnant aïnsi le pas aux opinions des employés du gouvernement sur celles de cette foule de savants d'Europe et d’autres pays qui ont, et avaient longtemps auparavant, déclaré impossible la solution géométrique de ce problème— quoiqu'il y ait, sans doute, comme pour le cercle, des méthodes au moyen desquelles on puisse se rapprocher le plus près possible de la véritable solution.

Encore quelques remarques sur quelques propriétés de certaines figures planes, et j'en aurai fini avec cette partie de mon sujet.

Dans les parallélogrammes (inutile pour moi de vous rappeler ce qu’ils sont ; leur étymologie le fait assez comprendre), M. Steckel démontra que chacun des compléments autour du diamètre est une moyenne proportionnelle entre les parallélogrammes qui lecomposent, propriété que j'ai heureusement pensé à appliquer (voir page 190 de mon traité) à la solution d’un problème qui se présente souvent dans la division des terres par une ligne droite passant à travers ‘uu point donné. Ce problème était autrefois une affaire de quelque difficulté, qu’on le considérât d’une manière algébrique ou géométrique (voir de la page 519 à la page 522 de “ Gillespie’s Land-surveying, ” où la formule prend trois lignes de chiffres imprimés.

L'hexagone régulier ou polygone à six côtés est la seule figure, outre le carré et le triangle équilatéral, qui puisse se joindre à une autre sans laisser d'espace entre elles, comme en laisse l’octogone, par exemple—fait dont un peut voir des exemples dans les tapisseries, les patrons de prélats, et dans les tuiles de marbre ou de mosaïque. Maintenant, l'abeille même sait si bien sa géométrie qu’elle construit ses cellu'es en hexagones. Le carré ou le triangle auraient rempli la condition de ne laisser aucun intcrstice, aucune perte d’espace entre les cellules ; mais ni l’un ni l’autre n’auraient été aussi bien adaptés que l'hexagone à la forme presque circulaire du corps de l’insecte. Mes jeunes amis diront sans doute que la forme circulaire au lieu de la forme hexagone aurait même été préférable pour que l’abeille put

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