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ÿ établir sa demeure et s'y mouvoir. Accordé ; maïs les cercles, comme les octagones et d’autres figures, ne se joignent pas sans perte d'espace ; et il y a une autre considération, et sans doute de beaucoup plus importante pour l’abeille : c’est que, avec l’hexagone, chaque cloison sert pour deux cellules contiguës, tandis qu'avec le cercle ou le eylindre il en aurait fallu une complète pour chaque petit animal] et la quantité de cire nécessaire en aurait été presque doublée.

J1 y a, et depuis longtemps, une tendance vers la vulgarisation des sciences, exactes et autres, et cette tendance a encore plus sa raison d’être qu'autrefois. Il y a deux mille ans, du temrps d’Eueclide, la vapeur et l'électricité étaient inconnues ; on n’était pas versé dans la pneumatique, l'optique et la chimie ; et personne ne songeait à la photographie. L'on pouvait alors consacr’:r des années à l’étude seule des mathématiques. Nous ne le pouvons pas maintenant : la vie est trop courte, et il y a trop de choses à apprendre, C’est imbu de cette idée-que j'écrivis mon traité en 1866. Personne n'avait osé avant moi porter une main sacrilége sur les vénérables enseignements du prince et &u patriarche des géomètres ; je ne l’ai point voulu non plus ; mais cé que j'ai fait (et l’on admettra que je n’avais pas tout-àfait tort) a été de réduire, de plus de la moitié, les propositions distinctes et démontrables du géomètre Grec, tout en retenant toutes ses conclusions.

J'ai retranché entièrement le cinquième livre. Je l’ai ôté des éléments et j'ai placé tout ce qu’il enseigne dans mes ‘“ principes, ” changeant en axiomes quelques-unes des propositions d’Euclideet en ccrollaires quelques autres ; car je considère que pour concevoir et admettre la vérité d’un axiome, il se fait dans l’esprit une certaine suite de raisonnements, quelque courte qu’elle soit. Par exemple, des rapports égaux sont des quantités égales, et les quantités qui sont égales à une même quantité ou à des quan “tés égales, sont égales entre elles. Il s’en suit, par conséquent, comme simple corollaire de cet axiome, que ‘ Les Rapports qui sont égaux à un même rapport ou à des rapports égaux sont égaux entre eux ; de là je ne vois pas la nécessité d’en faire une proposition démontrable. J’ai encore fait un axiome de la proposition F de “ Playfair’s Enclid, ” et je me crois justifiable ; car les quantités qui sont composées des mêmes quantité ou de quantités égales, sont égales l’une à l’antre ; et puisque les rapports sont des quantités—munériques —donc les ‘“ Rapports qui | sont composés des mêmes rapports ou de rapports égaux sont égaux | l'un à l’autre.” J'ai fait des demandes des ?2de et 3ème propositions d’Euclide, livre I. De sa 22ème proposition j'ai fait ma 1ère, et j’en ai déduit sa 1ère proposition comme simple conséquence. Pourquoi, par exemple, faire un théorème de l’énonciation du fait que deux lignes parallèles à une 3ème sont parallèles l’une à l’autre, on que

deux triangles semblables à un troisième sont semblables l’un à l’autre ? car, qu'est-ce qui constitue ce parallélisme de lignes, cette similitude des triangles, sinon l'égalité de distance dans le premier et l’égalité de l’espace angulaire dans le second ? De là, j'ai fait de l’un un corollaire à ma définition des lignes parallèles, et de l’autre un corollaire à ma définition des figures semblables. Je n’ai fait qu’une proposition de la 35ème et de la 36ème du ler livre d’Euclide ; car Euclide lui-même qui dans sa 4ème et sa 8ème proposition du même livre, place ses figures l’une sur l’autre pour prouver leur égalité, aurait de même pu superposer les bases égales de ses parallélogrammes, de manière à les considérer comme une et même base, ce qui lui aurait permis de faire de la seconde proposition un simple corollaire de la première. Encore, pourquoi Euclide n’a-t-il pas réduit à de simples corollaires de ses 33ème et 34ème propositions, les denx propositions suivantes, 37 et 38, du même livre, d’après sa propre assertion dans ses axiomes que les moitiés ou doubles d’une même quantité, ou de quantités égales sont égales entre elles ? Dans le second livre j'ai ajouté un lemme qui démontre combien est importante et féconde en résultac: la cinquième proposition de ce livre. Je ne puis qu'approuver Clairaut lorsqu'il dit que si Euclide considérait nécessaire de démontrer une proposition aussi évidente d’elle-raême que celle qu’une ligne joignant deux points dans la circonférenc: se trouve entièrement dans le cercle, c’est parce qu’il avait à rérondre, en les réfutant, aux objections de sophistes obstinés qui se faisaient une loi de refuser de se rendre aux vérités les plus évidentes ; car il vaudrait autant prouver que la diagonale d’un carré se trouve dans la figure et non au dehors, ou que le centre d’un cerele est à l’intérieur. Quelle différence y a-t-il entre trouver le centre d’un cercle ou d’une partie seulement de sa circonférence ? Et encore, quelle différence entre circonscrire un cercle à un triangle, et en faire passer un par trois points donnés ? Pourquoi, alors, Euclide et ses commentateurs, ont-ils fait de ces problèmes autant de propositions différentes, quand ils ne constituent réellement qu’une seule et même opération ? Une solution différente de la 33ème proposition du 3ème livre d’Euclide permet de réduire ses trois cas différents en un seul ; et il en est de même des 35ème et 36ème du même livre. J’ai suivi de semblables procédés pour réduire en nombre les propositions démontrables du 4ème livre ; et dans le 5ème que j'ài mis, comme je l’ai déjà dit, parmi les principes, la substitution du mot “ quantité ” au lieu de # grandeur ” avec sa signification définie, devant comprendre des quantités numériques aussi bien que d’autres, m’a permis de raisonner sur les nombres, et de donner, comme je l’ai fait, la méthode d’arriver à la solution numérique et pratique des nombreux problèmes contenus

dans mon ouvrage. Dans le sixième livre d’Euclide, pourquoi les théorèmes 14 et 15 seraient-ils séparés, vu l’axiome deux, qui dit que ce qui est vrai pour le tout est vrai pour la moitié? Ces citations sufliront pour donner une idée du procédé de réduction et de généralisation que j'ai suivi dans la géométrie des lignes et des surfaces ; j'ai modifié de la même manière les démonstrations ordinaires de la géométrie solide, et de la trigonométrie plane et sphérique. Et mon traité n’est pas moins strictement logique dans tous ses enseignements qué celui d’Euclide, chaque proposition dépendant pour sa démonstration ou sa solution de celles qui précèdent et nullement de celles qui suivent.