Cuber une paroi sphérique

Il s'agit du volume de la matière d'une sphère creuse, de la matière renfermée entre deux surfaces sphériques concentriques. Calculez donc le volume de la sphère que limite la surface extérieure, et celui de la sphère que limite la surface intérieure; puis, retranchez ce dernier du premier.

456. Le secteur sphérique est un cône circulaire et droit CSBTG (P. IV, F. 24) , qui a pour sommet le centre C de la sphère, et pour base une calotte sphérique SBÏS (380), au lieu d'un cercle ST.

Le volume d'un secteur sphérique égale le tiers du produit fait avec la superficie de la calotte et le rayon.

La démonstration est analogue à celle du n° 451.

457. Cuber un secteur sphérique isolé CSBTG (P. IV, F. 24). Mesurez en mètre une droite CS de la surface conique, et

doublez-la, pour avoir le diamètre de la sphère; multipliez ce diamètre par 3, 1410, afin d'obtenir la circonférence d'un grand cercle; faites le produit du résultat et do la hauteur SU de la calotte, mesurée en mètres; vous aurez la superficie de cette calotte (386) , et le tiers du produit fait avec ces mètres carrés et la longueur CS, vous donnera le volume du secteur CSBTC, en mètres cubes.

458. Le volume du segment sphérique limité par une calotte égale la somme faite avec le demi-cylindre de même base et de même hauteur que la calotte, et le volume d'une sphère dont le diamètre vaut cette hauteur.

On peut vérifier ce principe en l'appliquant îi un segment sphérique donné SBTS (P. IV, F. 24), et cherchant ensuite l'excès du secteur sphérique CSBTG sur le cône CSTG , excès qui vaut évidemment le segment SBTS : les deux résultats seront absolument égaux.

459. Le volume de la tranche sphérique limitée par une zone égale la somme faite avec le demi-cylindre de nu'wc lumteur, formé sur la grande base, le demi-cylindre de même hauteur, formé sur la petite base, et une sphère dont le diamètre vaut cette hauteur (588).

Pour vérifier ce principe, il faut l'appliquer à une tianche sphéri<|ue déterminée I)I'X)NI) (P. IV, F. 2 i) , puis calculer le même volume en retranchant celui du segment NAON de celui du segment DALD : les deux résultats seront égaux.

MESL'RACE DES CORPS nOMDS. 175

460. Le vohimc d'un anneau rond est le quart du produit fait avec la somme du plus grand et du plus petit rayon ^ le quarré numérique de leur différence et celui du rapport de la circonférence au diamttre.

L'anneau rond peut être considéré comme composé d'une infinité de troncs cylindriques et circulaires (391) , tels que IIKLUI (P. IV, F. î2o). Soit b la base IIK cl a l'axe MN de ce tronc. Le volume (4ii) sera b Xa, cl si C représente la circonférence dont

MN fait partie, le volume de l'anneau vaudra 6 XaX — =6xG.

Mais (391), C=3,l ilG =3,1416 (R + r); le cercle b a

IIK AH— AK R — r

pour rayon IIM = — = — = , et par conséquent

(341), 6 = 3,1416 ( ) =3,1416 -. Donc, l'anneau

A = 3,1416^^ X 3,1416 (R-fr) = -^^ '-^ — -,

comme le dit le principe.

Supposons 0°',33 pour le rayon AU de la plus grande circonférence , et O^jS pour le rayon AK de la plus petite. La formule donne

(3,14i6;=(0'",33 — 0"',5)2(0'",53 + 0-,3) (3,1 41 G) MO", 03) ^ (O-, 63)

9,869 6S056 X O-^-^jOOOg X 0'",63 9,869 eSOSexO^'SOOO 567

461 . Cuber une pièce de bois courbe, uniforme d'un bout à l'autre. La pièce peut être un secteur IIKLIII d'anneau rond (P. IV, F. 23).

Alors et d'après rarliclc précédent, son volume vaut 6 X a; 6 est la superficie d'un cercle dont il faut mesurer le rayon HM; et a on MN égale la moyenne des arcs III , KL, comme la circonférence de rayon AM égale la moyenne des ciiconférences dont AH et AK sont les rayons. 11 faut donc mesurer directement les arcs HI, KL, au moyen d'une ficelle, ou mieux, au moyen d'une règle irèsllexible.

Si les bouts AH, CD ou DE (F. 26), ont pour arêtes des courbes h centre, autres que la circonférence, mais telles que l'une AB au moins soit d'écpierre sur les arcs AI), BC , vous multiplierez la superficie renfermée dans celle-là, par la moyenne du plus grand et du plus petit arc AD, BC ou BE; car la pièce redressée deviendrait un cylindre complet ou tronqué (444).

176 MESURAGK DBS CORPS KOHUS.

Si aucune des courbes a centre BF, DE n'est d'équerre sur les arcs AD, BE, et que la pièce soit sensiblement ronde, vous l'entourerez près de A , d'une ficelle A'B', perpendiculairement à ces arcs. La longueur de la ficelle divisée par le double de 3,1416 donnera le rayon du cercle A'B' (52) ; vous pourrez calculer la superficie de ce cercle (341) , puis le volume de la partie A'B'EDA', et celui de lu partie A'B'BFA', considérées comme des troncs de cvlindre droit (444); le total sera le volume de la pièce entière BEDFB.

La pièce ABCDA est-elle écarrie? Multipliez la superficie de l'un des bouts par la moyenne d'une grande et d'une petite arête courbe AD, BC ; car la pièce redressée deviendrait un prisme droit et complet qui aurait cette moyenne pour hauteur.

Dans le même cas , le volume de la pièce ABEDA est le produit de la superficie du bout AB et de la moyenne des arcs AD, BE, parce que le redressement produirait un tronc de parallélipipède, doni les quatre arêtes auraient la même moyenne que AD, BE (429).

Pour cuber la pièce écarrie BEDFB , on mesurerait la superficie du rectangle A'B', afin d'en déduire le volume de A'B'EDA', et celui de A'B'BFA'; puis ou ferait le total.