ANGLES

33. Deux droites ne peuvent se couper qu'en un seul poinl ; on appelle ce point leur inlcrseclion.

Deux droites AH, DC qui se rencontrent en un point B (P. 1, F. 13), laissent entre elles un espace qu'on nomme angle. AB et BC sont les côtés do cet angle; le point B en est le sommet.

Il sufiit de trois points pour désigner un angle : celui du sommet et deux autres pris sur les côtés. Ainsi, l'on dit: l'angle ABC, n)ettanl la leiire du sommet entre les lU'ux autres. Quelquefois aussi l'angle est désigné par la seid*; lettre du sommet, et l'on dit: l'angle B; mais il faut pour cela que ce sommet ne soil pas commun a plusieurs angles.

De même qu'il suflit d'une petite partie d'une droite, pour qu'on puisse la coniinuer juscpi'i» une distance quelconque (4), il suflit aussi d'une petite pariie de l'angle, pour (|u'oti pjiisse lui donner telle étendue (jui sera assignée : toute l'opération consiste k prolonger les côtés. Un angle est donc réellement un espace sans limite, cl néanmoins il esl toujours sutîisamment indiqué parla

partie qui avoisine le sommet. Aussi se contente- t-on â'amorcer, pour ainsi dire, comme dans la figure 15, les angles qu'il faut repi'ésenter.

54. Transporter sur la face d'une pierre de taille, V angle ABC qm forment les fondations de deux murs (P. 1, F. 14).

On emploie pour cela une fausse-équerre. Cet instrument est composé de deux règles unies par une charnière; la fausse-équerre du tailleur de pierres a des pointes, pour qu'elle puisse servir de compas.

Ouvrez Tinstrument, puis placez-le de manière que l'une des arêtes intérieures se confonde avec l'arête AB d'un des murs, et qu'en même temps l'autre arête intérieure couvre l'arête BC de l'autre mur. Alors, l'angle ABC sera fcyê, ou relevé^ comme disent les ouvriers , c'est-h-dire que les deux règles feront entre elles le même angle que les arêtes des murs. Ensuite, sans altérer l'écartement de ces règles , placez-les sur la face de la pierre de taille , de façon qu'une- des arêtes intérieures couvre une arête de la pierre; et avec une pointe h tracer, tirez une droite le long de l'autre arête intérieure. Cette droite fera évidemment, avec le bord de la pierre, l'angle ABC.

Ce procédé convient i{ tous les cas où il faut transporter un angle d'un lieu dans un autre.

55. Un angle (P. I , F. lo) peut être considéré comme ayant été formé par le côté AB qui , d'abord appliqué sur le côté BC , s'en est écarté ensuite, en tournant autour du sommet B, jusqu'au moment où il s'est trouvé dans sa position actuelle. Comme co mouvement est le même que celui de la perche employée pour tracer un cercle (îJ), le point A, par exemples, n'a pu passer de G à sa nouvelle position, sans décrire un arc do cercle CA dont le sommet B forme le centre. Si donc du sommet d'un angle, on décrit un arc enti-e les côtés, avec un rayon quelconque, la grandeur de cet arc dépendra de celle de l'angle, et le principe suivant montre qiie si l'angle se double, se ti-iple, etc., il en sera de mêu>e de l'arc.

Une pareille dépendance fait (pie, pour désigner, pour indiquer un angle, on se sert de l'an' décrit du sonmiet, entre les côtés^ Mais observez bien (ju'un arc conjpiis entre les côtés d'un angle n'en est plus Vindication , s'il a pour centre tout autre point que le sommet.

30. Deux angles se contiennent comme leurs cnrcs d'indication de même rayon.

Suit AB = BC=xDK = KF (P. 1, I". lo), et supposons que

COlPARAlSOil DES ANGLES. 21

l'arc DE se trouve contenu -4 fois dans l'arc AC. Si nous joignons B h réxlréniilu G du premier <]uart de AC , nous fornirrons un angle AUG qu'ôvidemnieul l'angle DKF pourra couvrir exactement. Opérant de la mcn»e manicre sur les trois autres quarts de AC , nous aurons encore trois autres anjîlcs égaux a DKF. Par conséquent, l'angle ABC vaut 4 Cois DtlF, comme l'arc AC vaut 4 fois l'arc DF.

La comparaison des angles revient denc k celle de leurs arcs d'indication de m(!^me rayon.

37. TrouferlerapportdedeuxangleadonnésWiCjDEF (P. 1,F. 15). Avec une ouverture de compas arbitraire , je décris du sommet

B, nn arc AC, entre les côtés de l'angle ABC, et avec la même ouverture, je décris du sommet E, un arc DF, entre les côtés de l'angle DÏ-^F. Je cherche ensuite le rapport de l'arc DF à l'arc AC (30), et si je trouve que ce rapport esl 4, par exemple, j'en conclus que l'angle ABC est quadruple de l'angle DEF.

38. Deux angles sont égaux, quand il y a égalité entre les cordes de leurs arcs d'indication de même rayon.

En effet, les arcs sont alors égaux (22) et leur rapport est l. Par conséquent (3G), le rapport des deux angles esl aussi 1 , ou bien , en d'autres termes , ils ont la même grandeur.

39. Former sur une droite donné? AB , et à l'aile du compas^ un angle qui soit égal à un autre CDE (P. 1 , F. IG).

Du point D, sommet de l'angle donné CDE, je décris, avec une ouverture de compas arbitraire , un arc EF entre les côtés de cet angle. Du point A, et avec la même ouverture, je décris un second arc BG (|ui soit visibicmejil plus grand que le premier. Je prends ensuite la corde de EF, et du point B, avec celte corde pour ra)on, je décris un tout petit arc (jui coupe BG quelque part, en H. Cette dernière opération revient h porter la corde de DE sur FG ; mais il esl préférable de marquer le point H par l'inierseclion d'un petit arc: on ne court pas le risque de percer U' papier, si l'on dessine, ou de mal placer le point, si l'on opèrtj sur le lerrain. Traçant alors la droite AU , on a l'angle BAII égal à CDE.

C'est ainsi qu'il faut s'y prendre pour transporter un angle , sans enjployer la fausse équerrc (34). Lorsque l'un des côtés de Tangle h faire n'est pas donné, on tire une droite de position arbitraire qui remplace AB.

M). Deux droites AB, BC cpii se coupent ou se croisent eu nn point B, forment deux angles ABC, DBE ou ABD, CBE qu'où dit opposés jKir le soinmii (P. I, F. 17).

22 COMJ'ARAISOK DES ANGLES.

Les angles opposes par le sommet sont égaux.

Décrivons iiii c(Mcle doiil D soil le centre. La droite CD sera un diamètre, et l'arc CED une demi-circonférence (28). AK sera aussi un dinmèiro, et l'arc ACE une demi-circonférence. Ainsi, CED = ACE. Hclranchons à cluicun do ces aies , l'arc CI*] qui leur €'sl commun , les restes seront égaux. Or, ces restes sont AC pour ACE, et Dl'] pour CED. Donc AC ^: DE , et par conséquent, les angles ABC , DBE sont égaux (36).

Toutes les fois donc que vous rencontrerez dés angles opposés par le sommet, vous pourrez prononcer qu'ils sont égaux , sans avoir besoin de comparer leurs arcs d'indication.

41. L'angle qui a pour arc d'indication le quart de la circonférence , est appelé angle droit.

Tous les angles droits sont égaux.

En effet, leurs arcs d'indication de même rayon sont égaux, comme quarts de circonférences égales (15) , et par conséquent, le rapport de deux (quelconques de ces angles est 1 (56).

42. Une droite BC ne peut faire un angle droit ABC avec une autre AB , sans en former un second CBD avec le prolongement BD de cette autre (P. 1, F. 18).

Décrivons de B un arc de cercle qui parte d'un point de AB et se termine à BD ; AD sera un diamètre (8) et l'arc ACD une demicirconférence (28). Mais, puisque ABC est un angle droit, son arc d'indication AC forme un quart de circonférence , c'est-h-dire la nioiiié de ACD. L'arc CD est donc l'antre moitié; il vaut aussi un quart de circonférence; et connue il sert d'indication à l'angle CBD, cet angle est droit aussi.

43. Toute droite AB qui en croise une autre CD à angle droite forme quatre angles droits (P. I, F. 19).

C'est-à-dire que si l'angle AEC esl droit, les trois autres le sont aussi.

En eflet, l'angle AED est droit comnnî AEG (42). Or l'angle RED = AEC, attendu qu'ils sont opposés par le sommet, et l'angle BEC = AED pour la même raison. Les angles BED , BEC doivent donc avoir, chacun , pour arc d'indication, un quart de la circonférence qni serait décrite du point E, avec un rayon quelconque (36).

44. Tous les angles ABC, CBD, DBE, EBF, FBA , qu'on peut faire autour d'un point B (P. I, F. 20), valent en somme quatre angles droits.

En effet, la somme de leurs arcs dindicijon forme la circonférence dont le centre est en B, et cette circonférence contient 4 fois l'arc d'indication d'un angle droit (41).

COMPAHMSOM DES ANGLKS. 25

4^. Tmui les angles \\\C , ♦lUf) . DlîK , qu'on peut faire en un point \\, (lu ninnc râlé d'une droite AI!, valent en sonunr deux anijies droits (I*. I, K. 21).

Km rllVl, la soiimic «le Icjiis ;ucs {l'in(lic:ilioii forme 'a dcinicircoMf«Mriicp diuii !»• rciiiin «-si on W , vl colle «leini-circoiiféreiice ronliecii 2 fois Tare «rindicalidii «l'nii aii^'lc droit.

m. Vu aiijîle Al>(] uioiiidrc «lu'uii angle droit, est dit aigu (P. I, F. 21). Un angle CBK plus grand qu'un angle droit, est dit obtus.

Par eonst^quent, une droite CB 7»» ru rencontre une autre \K entre les deux extrémités et 7»/ ne fait jias d'atKjles droits, forme deux angles, l un A15C aigu, l'autre C\)E obtus, dont la somme vaut deux angles droits (45).

4'7. L'angle AI5C qui, lorTm* par doux cordes, a son soniniet sur la eirroidérenee I), esl appelé angle inscrit (P. 1, F. 22). ï.augle .\I)(; duiil !<• souHuel se eoiifoiid avec le centre, est nomme angle au centre.

L'angle iiuicrit ABC esl la moilié de V angle an centre ADG qui renferme le même arc W.C

rionsidérons d'aijord l'angle inscrit CBE et langle au centre ri)F, dont deux côtés se trouvent sur le diamètre DE; le'irs arcs d'indication «le même rayon seront FC pour le second , et pour le premier, l'arc 1)G décnt de B avec BD. Si doncDG=7sFC, 1 angle CBE vaudra eOeclivemeni la moitié de CDK (56), et en

cir.D

l'eprésenlant par lu partie FC de la circonlérence D, iiou>

"* fir.D

aurons à démonlier que DG = .

Décrivons de B, avec BE, une ciiconférence, et prolongeons BC jus(pi'à celte courbe. L'arc DG est évidemment contenu dans la circonléience dont il lait paitie, ou dans la cir.D qui égale celle-là (iii), comme FF esl contenu dans nr.B; de sorte que si

cir. B cir. D

Lr = , DG = . Il reste donc seulement a faire voir

«pie n = 2m.

Or, le cercle D peut être consijjéré comme une roue qui ea con«luit une autre B, par engrenage. Alors, le rais BF, qui avait d'abord la position BE, a éié poussé où il est par le rais DG , parti «le la position DE, et l'exlrémiié F du |)remier a [)ai-couru lare FF, peiitlant que l'exlnhiiilé (> du se(;ond parcouiait l'arc EG. Mais, puisqu(f DE = 'l^WV., la roue D ferait 2 tours, p«mdanl que la roue B en ferait un (18). Le point G pourrait «loue parcourir 2 cir.D, pendant que le point F jjarcoiirrail une seule «•»/■.!'..

Comme le rapport de ces deux cliemins simultanés doit nécessairement ôtre le môme que relui des deux autres chemins simultanés

fjV. D cir. B 11

EC,EF, : ::2ar.D:ctr.B. Il en résulte -:-:: 2:1 ,

puis nim:: 2:1 et enfin w = 2m.

On verrait de môme que ABE vaut la moitié de ADE. Donc, enfin l'angle inscrit ABC forme seulement la moitié de l'angle au centre ADC.

Pour le cas où le centre D serait en dehors d'un angle inscrit tel que ABU , on dirait : EBII = '/^EDH , EBA = '/.EDA, et par conséquent, EBH — EBA = ABU = '/2EDII — V^EDA = '/.(EDH — EDA):^ Ya^^DH, Ainsi, dans tous les cas, l'angle inscrit est la moitié do l'angle au centre qui renferme le même arc.

Du principe ou de sa démonstration , on doit conclure que l'arc d'indication d'un angli inscrit ABC , est la moitié de l'arc AEC compris c.itre les côtés et pris sur la circonférence où est le sommet.

48. Tout angle inscrit ABC qui comprend un diamètre AC , est un angle droit (P. 1 , F. 23).

Son arc d'indication est, en effet, la moitié de la demi-circonférence (47) ou le quart de la circonférence entière (41).

49. On ne peut mesurer l'angle avec l'unité ordinaire des superficies 5 bien qu'il en soit une, attendu qu'il présente une superficie sans fin , tandis que l'are est limité. Vous concevez effectivement qu'il y aurait impossibilité à trouver combien une chose infinie contient de fois une chose analogue , mais bornée de toutes parts : ce nombre de fois est infini lui-même.

L'unité de mesure doit être toujours et en tout point de même nature que les choses à mesurer. Ainsi, la mesure des longueurs est une longueur qu'on appelle mètre , décamètre , etc. ; la mesure des capacités est une capacité nommée litre, hectolitre, etc.; la mesure des poids est un poids ; celle des monnaies est une monnaie. La mesure des angles doit donc être un angle. Celui qui est adopté, a pour arc d'indication la ôOO" partie dune circonférence quelconque décrite du sommet. Comme cette 560° partie est appelée degré y c'est l'angle d'un degré qui sert de mesure pour les angles.

Lors donc qu'on dit : un angle de 10 degrés, de 90 degrés, etc., on exprime non-seulement que l'arc d'indication contient 10 fois, 00 fois, etc., la 560' partie d'une circonférence, mais encore que cet angle vaut 10 fois, 90 fois, etc., l'angle d'un degré. Ainsi,

L' indicalinn d' un an-^îe , donnée en degrés, fait conncûtre en méine temps le nom et la grandeur de cet an/jle.

Ne TÔpt'iei poiril ce qui est écrit dans presque tous les livres de ^tk)nuHtie, que l'aie ex|)rin)é eu degrés est hi mesure de l'auj^le. Celle locution est fausse et donrre de i'ausees idées; un arc ne peut pas plus mesurer un angle, que le mètre linéaire ne peut mesurer un cliauif). l/arc indique la grandeur de l'angle, sans équivaloir à cette grandeur, à peu près comme une monnaie de papier indiquerait la valeur des clioses, sans avoir cette valeur.

50. Toute circonférence, pouvant être divisée en 360 parties égales . renferme 500 degrés. Le degr»'- a 60 parties égales nommées minuits; la minute se compose de (H) secondes -, la seconde contient 6U tierces, etc. Un a choisi ces Monibrcs, parce que, avant beaucoup de diviseurs, ils sont d un emploi commode dans le calcul.

Observez que la minute et la seconde du degré dillèrent beaucoup de la minute et de la seconde de l'heure : il y a 21 000 minutes de degré dans une circonic'rence; il n'y a que 00 minutes d'heure dans le ctrcle d'un cadran de montre.

On marque (ju'un nombre exprime des degrés, en écrivant un petit zéro à droite et un peu au-dessus. Pour les minutes, on met un accent aigu h la même place que le zéro; pour les secondes, on ejnpioie deux accents. L'arc ou l'angle de 55 degrés, 14 minutes et 57 secondes, s'ex|)rime, d'après cela, comme il suit : 55° lA' 37".

51. 11 existe des instruments qui, portant un cercle divisé en degrés et parties de degié, sont propres au mesurage des arcs et par suite h celui des angles, Riais l'usage de ces instruments ne convient qu'aux personnes avancées dans l'étude de la Géométrie, et d'ailleurs, celles qui se bornent aux connaissances pi imaires, n'ont guère besoin de savoir mesurer les angles; il leur suffit de pouvoir les comparer. '

Nous dirons seulement que l'emploi de tels instruments repose sur le principe suivant :

Des arcs de rayons différents ont toujours le même nombre de degrés, quand ils sont compris dans le même angle, et que le sommet est centre commun.

Supposez, en eU'et, que l'angle ABC (P. I, F. 2i) puisse être placé 12 fois autour du point B. Les 12 angles qui occuperont alors tout le grand cercle B seront égaux, et par conséquent, les 12 arcs de rayou BD qu'ils comprendront entre leurs côtés, seront

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f($ PERPENDICULAIRES.

aussi égaux (36). Or, ces 12 arcs formeront en somme la grande circonférence. Un quelconque DE sera donc le douzième de 360° ou 30°. Par la même raison, les 12 arcs de rayon BF, compris entre les côtés des mêmes angles, seront égaux, et comme leur somme fera la polile circonféronce B, un quelconque FG sera aussi le douzième de 3G0" ou 30° (50).

Que l'arc employé pour connaître l'angle soit donc d'un petit ou d'un grand rayon, situé près ou loin du sommet, il n'importe; on aura toujours le même nombre de degrés. Voilà pourquoi des cercles divisés , de toute grandeur , peuvent servir au mesarage du même angle.