PERPENDICULAIRES

52. Deux droites AB, BC (P. I, F. 18) qui font ensemble un angle droit ABC, sont ilhe?, perpendiculaires l'une sur l'autie.

Le plus grand des angles d'une équerre est un anglT droit; par conséquent, les deux arêtes qui le forment sont perpendiculaires l'une sur l'autre. C'est donc la même chose pour deux droites, d'être d'équerre ou perpendiculaires. Aussi emploie-t-on indifféremment ces deux expressions.

La perpendiculaire BG au milieu d'une droite DE eut le lieu de tout point également éloigné des deux extrémilés D, E de la droite (P. 1, F. 25).

D'abord, tout point A de la perpendiculaire BC est h égales distances des extrémités de DE, si B est le milieu de cotte dioite. En effet, la dislance de A à D est la droite AD; la distance de A à E est la droite AE. Or, si nous faisons tourner la figure ABE autour de AB, considérée comme une charnière, les points A, B ne bougeront pas; BE se couchera sur BD , puisque les angles ABE, ABD sont égaux (41); E tombera sur D, puisque BE = BD. Par conséquent, AE se confondra avec AD. Ces deux droites sont donc égales, car le rabattement opéré n'a pas altéré leurs longueurs.

Ensuite, tout point F pris hors de BG, est inégalement éloigné de D, E, c'est-à-dire que FE n'est pas égal à FI). Effectivement, FD est plus court que la ligne brisée FAD, et cette ligne brisée égale FE , puisqu'elle se compose de FA, qui fait partie de FE , et de AD, qui est égale à AE.

53. Si une droite a deux de ses points également éloignés >hacun des deux extrémités d'une autre, elle est perpendiculaire au milieu de cette autre droite.

Supposons que les points A, G de la droite BC (P. I, F. 25) •oient également éloignés chacun des extrémilés de la droite DE.

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BC est perpendiculaire au milieu de DE, si elle renferme tous les points qui so Irouvoiit dans le nirine cas que A , C (.*>2). Or, admettons qu'un seul V soit hors de BC. Les trois points A , F, G ne pouvant êirc unis par une lij;ne droite, il s'ensuivrait quo le lieu de tous les points l'galeiuent éloignf's < liacun des extrémités d'une droite, ne serait pas une droite, ce qui contredirait la démonstration précé'dento.

54. Tracer la direction d'un mur qui doit être d'équerre sur un autre AB et le rencontrer en C (P. I , F. 26).

La direction de ce mur sera une perpendiculaire élevée sur AB, au point C (o2). Pour tracer une telle perpendiculaire, vous pourriez vous servir du cordeau-équerre (52) ou d'une équerre ordinaire; mais on n'a pas toujours un cordeau-équerre à sa disposition et il est difficile de rendre cet instrument très-exact; l'équerre ordinaire n'est pas assez grande pour que les opérations auxquelles elle servirait sur le terrain, eussent quelque précision; d'ailleurs, peu d'équerres sont justes, et quand on les fait telles, le jeu du bois ne tarde pas à les fausser. Il vaut donc mieux employer le tracé suivant, qui peut servir h élever des perpendiculaires sur le papier, comme sur le terrain , et qui donne toujours beaucoup d'exactitude.

Marquez sur AB deux points D, E , qui soient également éloignés de C; décrivez de chacun de ces points, avec le uîème rayon , un . petit arc de cercle, au-delà ou en-deçh de AB; puis joignez au point C, le point F intersection des deux arcs. FC sera la perpendiculaire demandée ou la direction du nouveau mur; car le point C est également éloigné de D et de E, les distances FD, FE sont égales, et par suite FC est perpendiculaire au milieu de DE (o3).

Le rayon des deux petits arcs doit être plus grand que la moitié de DE : moindre que cette moitié, il ne permettrait pas aux deux arcs de se couper; égal à cette moitié, il donnerait seulement le point C d(jà connu, lin outre, pour que la droite CF ne dillère pas de la viaie perpendiculaire, quelque loin qu'on la prolonge» il importe de choisir d'avance la place du point F, h la plus grande distance possible de C, et de prendre CD, CE égales à cette distance estimée à vue.

Opérez ainsi dans tous les cas où il vous faudra élever une perpendiculaire en un point donné d'une droite.

55. Tracer la direction d'un fossé qui doit aboutir à V extrémité A d'un autre fossé , dont AB est une arête, et le rencontrer d'équerr» (P. 1, F. 27).

Prolongez BA h droite du point A , et employez le procédé précédent, pour élever en A une perpendiculaire sur RC.

28 PKRPENMCCLAIRES.

Voilà ce qu'il faut faire, toutes les fois qu'on doit élever une perpendiculaire à l'extrémité d'une droite qui peut être prolongée.

56. Couper carrément le bout A d'une planche AB (P. I , F. 281, en d'autres termes, tracer, par le point A, un trait qui soît d'équerre sur l'arèie AB de la planche.

Prenez un point C qui avoisine le bout A et soit placé à peu près au milieu de la lari^cur de la plaiit:l)e. De ce point, comme centre, et d'un rayon égal à la distance CA, décrivez un arc de cercle. Joignez C au point D on l'arc coupe l'arête AB de la planche, et prolongez la droite DC jusqu'à ce qu'elle rencontre une seconde fois le mémo arc; joignez enfin le point d'intei»ection E avec A. La droite AE se trouvera d'é(|uerre sur AD, parce que l'angle DAE sera droit, et cet angle sera droit, parce qu'il aura son sommet A sur la circonférence et comprendra le diamètre DE (48).

On se sert de ce moyen sur le papier, comme sur le terrain , toutes les- fois qu'on doit élever une perpendiculaire à l'extrémité d'une droite qui ne peut être prolongée.

57. Tracer la direction d'une allée qui, partant d'un point donné A, aille couper d'équerre une autre allée, dont BC figure un des côtés (P. I, F. 29).

Marquez sur BC deux points également éloignés de A, et pour cela, coupez celle droite par un arc de cercle DE décr-ii de A, avec un rayon arbitraire. Ensuite, décrivez de D, E, deux arcs qui se croisent en dtçà de BG , au point F. La droite AF sera la direction demandée (o5).

C'est ainsi qu'il faut opérer toutes les fois qu'il s'agit iXàbaisser une perpendiculaire AG sur une droite BC, d'un point extérieur A.

58. Les trois tracés qui viennent de nous occuper, peuvent, sur le terrain, s'exécuter avec une grande exactitude , au moyen de ïéquerre d'arpenteur.

Cet instrument a deux formes dilTérentes : sous l'une , il présente une espèce de boite en laiton, à 10 faces, portée par un pied; les deux faces des bouts ont 8 arêtes et les autres en ont quatre ; chacune de ces dernières a une fente étroite, nommée mire; de deux mires opposées, l'une est partagée en deux parties égales, dans le sens de sa longueur, par un crin ; c'est ;i l'aiiii-e que l'œil doit être appliqué; enfin, l'alignement «jue délermineiii deux mires opposées, se trouve croise d'équerre par celui de deux des 6 autres mires.

Sous sa seconde forme, l'équerre d'arpontenr offre deux règles en laiton, qui se croisent et surmontent une douille propre à recevoir un pied ; à chacpie extrémité de ces règles , sélève une petite

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plaque appelée pinnule , qui a une mire ; deux des mires contiennent aussi un Cl in cl les deux alignements se coupent à angles droits.

Pour résoudre le problème du n" 57 à l'aide de l'écpierre d'arpenteur, on fait planter ii plomb un jalon sur la droite liC , en B par exemple (I*. I, F. 29| ; on cherche ensuite, sur celte m^me droite, un fxnnt G tel qu'en y plantant l'équerre à plomb, on voie le jalon llilans un «les alignements de rinsti'unient, et le point A dans l'alignenjenl perpendiculaire à celui-là. Remplaçant alors l'équerre par un jalon mis à plond), on a la direction AG de la pei'pendiculaire demandé-e.

Il faut un peu iriiabiiude, pour trouver proniplemenl le point G ; encore n'y parvient-on qu'après avoir place et déplacé deux ou trois lois l'équerre.

On ne rencontre pas cet inconvénient dans les problèmes des n*'*o4, o*i, 56. Il suflllt, effcciivement, pour les résoudre, de planter l'é'qnene à plondj au point où doit éire élevée la |ierpen(liculaire ; de viser, par un des deux alignements qui se coupent à angles droits, un point nunqné sur la droite donnée, et de l'aire planter Il ploujb un jalon sur l'autift alignement.